exercicios analise numerica, Exercícios de Engenharia Física

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MATEM ´ATICA COMPUTACIONAL

Exerc´ıcios

Filipe J. Romeiras

Departamento de Matem´atica Instituto Superior T´ecnico

Junho de 2008

(b) Calcule os erros absolutos e relativos de ˜x e ˜y. (c) Calcule, efectuando as opera¸c˜oes num sistema FP(10, 6, -10, 10) com arredon- damento sim´etrico, valores aproximados das quantidades

x × y, x ÷ y, x + y, x − y.

(d) Calcule os erros absolutos e relativos as quantidades calculadas na al´ınea ante- rior.

(e) Determine o n´umero de algarismos significativos que se pode garantir a cada um das quantidades calculadas na al´ınea (c).

(f ) Repita as al´ıneas (a) e (b) e a parte respeitante `a quantidade x − y das al´ıneas (c)-(d)-(e) considerando um sistema FP(10, 9, -10, 10) com arredondamento sim´etrico.

[1.6] Determine o erro absoluto cometido no c´alculo do determinante da matriz

A =

[

]

se utilizar um sistema de ponto flutuante com 6 d´ıgitos na mantissa e arredondamento sim´etrico.

[1.7] Considere os valores

A = 0. 492 , B = 0. 603 , C = − 0. 494 , D = − 0. 602 , E = 10−^5

Com a finalidade de calcular

F =

A + B + C + D

E

dois indiv´ıduos, usando uma m´aquina com 3 d´ıgitos na mantissa e com arredondamento sim´etrico, efectuaram esse c´alculo de forma distinta, mas aritmeticamente equivalente. O indiv´ıduo X calculou A + B, depois C + D, somou os valores, e dividiu por E, obtendo F = 0. Por seu turno, indiv´ıduo Y calculou A+C, depois B +D, somou os valores, e dividiu por E, obtendo F = −100. Verifique os c´alculos efectuados pelos dois indiv´ıduos e comente a disparidade de resultados obtidos, atendendo a que se usaram processos matematicamente equivalentes.

[1.8] Sendo x e y n´umeros positivos considerados num sistema de ponto flutuante decimal tais que x > y e

10 −q^ ≤ 1 −

y x

≤ 10 −p,

mostre que pelo menos p e no m´aximo q d´ıgitos significativos s˜ao perdidos ao efectuar a diferen¸ca x − y.

[1.9] Considere um sistema de ponto flutuante FP(10, 7, -38, 38) com arredondamento sim´etrico. Sendo u = 0. 5 × 10 −^6 a unidade de arredondamento do sistema e v = 0. 9 u calcule fl(1 + u) e fl(1 + v).

[1.10] Considere a fun¸c˜ao f : R → R, f (x) = 1 − cos x, e os seguintes dois algoritmos para o c´alculo de z = f (x):

(1) u = cos x, z = 1 − u;

(2) u 1 =

x 2

, u 2 = sin u 1 , u 3 = u^22 , z = 2u 3.

(a) Determine para que valores de x o c´alculo de f (x) conduz a um problema mal posto.

(b) Determine as express˜oes dos erros relativos dos dois algoritmos. (c) Determine para que valores de x os algoritmos s˜ao numericamente inst´aveis.

[1.11] Sejam ˜x, y,˜ z˜ valores aproximados de x, y, z, respectivamente, com erros relativos δx˜, δ˜y, δz˜. Determine uma estimativa do erro relativo cometido no c´alculo de v = xy + z num sistema de ponto flutuante com unidade de arredondamento u e usando os valores aproximados.

[1.12]∗^ Considere a fun¸c˜ao f : R^2 → R, f (x, y) = x^2 − y^2 e os trˆes algoritmos seguintes para o c´alculo de z = f (x, y):

(1) z = x × x − y × y; (2) z = (x + y) × (x − y); (3) z = (x + y) × x − (x + y) × y.

(a) Determine as express˜oes dos erros relativos dos trˆes algoritmos. (b) Supondo que x e y s˜ao representados exactamente no sistema de ponto flutu- ante utilizado, determine para cada algoritmo condi¸c˜oes para as quais este algoritmo ´e numericamente de mais confian¸ca que os outros.

[1.13] Considere o seguinte algoritmo para o c´alculo de z = φ(x), φ : Rn^ → R):

{ z = ψ(u), ψ : Rp^ → R, u = (u 1 , u 2 ,... , up) ui = θi(x), θi : Rn^ → R, i = 1, 2 ,... , p,

onde θ 1 , θ 2 ,... , θp, ψ s˜ao p+1 fun¸c˜oes elementares. Determine a express˜ao do erro relativo de ˜z em termos dos erros relativos das componentes de x e dos erros de arredondamento no c´alculo dos valores das fun¸c˜oes θ 1 ,... , θp, ψ.

[1.17]∗^ Considere a equa¸c˜ao quadr´atica

x^2 + 2bx + c = 0,

com coeficientes b e c reais positivos. Considere os dois seguintes algoritmos para o c´alculo das ra´ızes x 1 e x 2 da equa¸c˜ao:

(1) x 1 = −b −

b^2 − c, x 2 = −b +

b^2 − c;

(2) x 1 = −b −

b^2 − c, x 2 =

c x 1

(a) Para b = 34. 56 , c = 1, verifique que as ra´ızes tˆem os valores x 1 = − 69. 105529... e x 2 = − 0. 014470622...

(b) Para b = 34. 56 , c = 1, e supondo que efectua os c´alculos num sistema FP(10, 4, -10, 10), com arredondamento sim´etrico, obtenha valores aproximados para as ra´ızes usando os algoritmos indicados.

(c) Determine os erros relativos dos valores obtidos na al´ınea (b). (d) Determine as express˜oes dos erros relativos dos dois algoritmos indicados em termos dos erros relativos dos coeficientes b, c e dos erros de arredondamento das opera¸c˜oes efectuadas. Suponha que a raiz quadrada ´e uma opera¸c˜ao elementar.

[1.18] Considere o sistema linear

[ 10 −^6 1 1

] [

x y

]

[

]

(a) Resolva o sistema pelo m´etodo da elimina¸c˜ao de Gauss. (b) Suponha que o sistema ´e resolvido numa calculadora onde os n´umeros s˜ao representados num sistema de ponto flutuante com 6 d´ıgitos na mantissa. Que solu¸c˜ao obteria nesse caso? Compare com a solu¸c˜ao exacta.

(c) Suponha que o sistema ´e resolvido na mesma m´aquina, mas usando pesquisa parcial de pivot. Qual ´e o resultado nestas condi¸c˜oes? Compare com o resultado da al´ınea anterior e comente.

[1.19] Considere o sistema linear

[ 1 106 1 1

] [

x y

]

[

0. 5 × 106

]

(a) Verifique que este sistema ´e equivalente ao do exerc´ıcio anterior. (b) Ser´a que, neste caso, a pesquisa parcial de pivot permite superar os efeitos dos erros de arredondamento, como acontecia no exerc´ıcio anterior? Justifique.

(c) Resolva o sistema, utilizando o m´etodo da pesquisa total de pivot. Comente.

[1.20]∗^ Considere o sistema linear

A

[

x y

]

= b,

onde A ´e uma matriz 2 × 2 n˜ao singular de elementos reais e b ´e um vector de R^2 , ambos supostos conhecidos.

(a) Para

A =

[

]

, b =

[

]

verifique que a solu¸c˜ao exacta do sistema ´e x = 10. 00 , y = 1. 000.

(b) Supondo que efectua os c´alculos num sistema FP(10, 4, -10, 10), com arre- dondamento sim´etrico, determine as solu¸c˜oes aproximadas do sistema pelo m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss, sem e com pesquisa parcial de pivot.

(c) Determine os erros relativos das solu¸c˜oes aproximadas obtidas na al´ınea (b). (d) Para A e b com componentes arbitr´arias, sem erros inerentes e com repre- senta¸c˜ao exacta no sistema de ponto flutuante utilizado, determine a express˜ao dos erros relativos dos valores aproximados ˜x, y˜ de x, y, obtidos pelo m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss, em termos dos erros de arredondamento das opera¸c˜oes utilizadas.

[1.21] Considere o sistema linear

A

x y z

 =^ b,

onde

A =

10 −^6 0

1 10 −^6

 ,^ b^ =

Representando os n´umeros com 6 d´ıgitos na mantissa, resolva este sistema pelo m´etodo da elimina¸c˜ao de Gauss, sem e com pesquisa parcial de pivot. Compare os resultados e comente.

a) un = 1 +

na^

; b) vn = 1 +

an^

c) xn = 1 +

abn^

; d) yn = 1 +

abn

e) wn = 1 +

2 + (−1)n 4 n^

[2.6] Determinar a solu¸c˜ao do problema de valor inicial:

{ xm+2 − xm+1 − xm = 0, m ≥ 0 ,

x 0 = x 1 = 1.

Esta solu¸c˜ao ´e conhecida como sucess˜ao de Fibonacci. Mostre que

lim m→∞

xm+ xm

[2.7]∗^ Determinar a solu¸c˜ao do problema de valor inicial:

{ xm+3 − 8 xm+2 + 20xm+1 − 16 xm = 0, m ≥ 0 ,

x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = − 4.

[2.8] Determinar a solu¸c˜ao do problema de valor inicial:

 



xm+2 =

xm+1 −

xm, m ≥ 0 ,

x 0 = α, x 1 = β,

onde α, β s˜ao n´umeros reais.

3. RESOLUC¸ ˜AO DE EQUAC¸ ˜OES N ˜AO-LINEARES

[3.1] Para calcular a menor raiz positiva da equa¸c˜ao

x^2 − 101 x + 1 = 0,

considere as f´ormulas

x =

, x =

e ainda o m´etodo iterativo

x 0 = 0, xm+1 =

x^2 m + 1 101

, m = 0, 1 ,...

Use cada um dos referidos m´etodos e comente a precis˜ao dos resultados obtidos sabendo que o valor da raiz ´e 0.0099019608794976148...

[3.2] Tente localizar os zeros do polin´omio

p(x) = x^4 − 4 x^3 + 6x^2 − 4 x + 1,

no intervalo [0.975, 1.035] estudando as mudan¸cas de sinal ocorridas em pontos distanci- ados de 0.001. N˜ao utilize a simplifica¸c˜ao

p(x) = (x − 1)^4 ,

que fornece imediatamente a ´unica raiz do polin´omio.

[3.3]∗^ Considere a equa¸c˜ao ex^ − sin x = 0. (a) Mostre que a equa¸c˜ao tem uma e uma s´o raiz z no intervalo [− 3. 5 , − 2 .5]. (b) Utilize o m´etodo da bissec¸c˜ao para determinar um valor aproximado da raiz z com um erro absoluto inferior a 0.05.

(c) Determine o n´umero de iterac¸c˜oes do m´etodo da bissec¸c˜ao suficientes para ga- rantir que o erro absoluto do valor aproximado da raiz z seja inferior a 10−^6.

[3.4] Considere a equa¸c˜ao sin x − e−x^ = 0. (a) Mostre que esta equa¸c˜ao tem uma raiz z ∈ [0. 5 , 0 .7]. (b) Efectue uma itera¸c˜ao pelo m´etodo da bissec¸c˜ao e indique um novo intervalo que contenha z.

(c) Determine o n´umero m de itera¸c˜oes do m´etodo da bissec¸c˜ao necess´arias para garantir que |z − xm| < 10 −^6.

(c) Determine valores aproximados da raiz z com um erro inferior a 10−^5 usando o m´etodo iterativo com α = 0.4 e α = 0.8. Considere em ambos os casos x 0 = 2.

(d) Determine o valor de α para o qual a convergˆencia do m´etodo iterativo para a raiz z ´e a mais r´apida poss´ıvel.

[3.8]∗^ Considere os seguintes m´etodos iterativos:

(1) xm+1 = g 1 (xm), m ≥ 0 , g 1 (x) = −16 + 6x +

x

, x 6 = 0;

(2) xm+1 = g 2 (xm), m ≥ 0 , g 2 (x) =

1 + x

, x 6 = −1;

(3) xm+1 = g 3 (xm), m ≥ 0 , g 3 (x) =

x +

x^2

, x 6 = 0;

(4) xm+1 = g 4 (xm), m ≥ 0 , g 4 (x) =

x(x^2 + 3a) 3 x^2 + a

, a > 0.

Determine em cada um dos casos:

(a) os pontos fixos de gi para os quais o m´etodo converge; (b) a ordem de convergˆencia do m´etodo; (c) o factor assimpt´otico de convergˆencia.

[3.9]∗^ Considere uma sucess˜ao {xm}∞ m=0 e outra {ym}∞ m=0 constru´ıda a partir da primeira pela f´ormula

ym = xm −

(xm+1 − xm)^2 xm+2 − xm+1 − (xm+1 − xm)

xmxm+2 − x^2 m+ xm+2 − 2 xm+1 + xm

para m ≥ 0.

(a) Pondo xm = z − em verifique que ym se pode escrever na forma

ym = z −

emem+2 − e^2 m+ em+2 − 2 em+1 + em

(b) Mostre que se {xm} converge linearmente para z ent˜ao {ym} converge para z mais depressa do que {xm}. Sugest˜ao: Pondo em+1 = em(K + δm), onde 0 < K < 1 e δm → 0, quando m → ∞, exprima z − ym em termos de δm, δm+1 e K, e finalmente verifique que

lim m→∞

z − ym z − xm

(c) Tomando x 0 = 6, xm+1 = g(xm), m ≥ 0, onde g : R → R, g(x) = 6.28 + sin x, e z = 6. 01550307297... calcule xm, z − xm para m = 0, 1 ,... , 9 e ym, z − ym para m = 0, 1 ,... , 7.

Nota. A utiliza¸c˜ao da sucess˜ao {ym} para acelerar a convergˆencia da sucess˜ao {xm} ´e conhecida pelo m´etodo ∆^2 de Aitken para acelera¸c˜ao da convergˆencia de uma sucess˜ao.

[3.10] Considere a equa¸c˜ao 3 x^2 − ex^ = 0. (a) Localize graficamente as ra´ızes da equa¸c˜ao e indique intervalos de comprimento unit´ario que as contenham.

(b) Considere a seguintes sucess˜oes

(S1) xm+1 =

exm 3

; (S2) xm+1 = ln (3x^2 m).

Mostre que ´e poss´ıvel obter aproxima¸c˜oes das ra´ızes positivas da equa¸c˜ao usando, para cada raiz, uma dessas sucess˜oes. Indique, em cada caso, um intervalo onde poder´a escolher a iterada inicial x 0.

(c) Efectue duas itera¸c˜oes usando a sucess˜ao (S1) com x 0 = 1. Estime o n´umero de algarismos significativos da aproxima¸c˜ao obtida.

(d) Ser´a poss´ıvel usar a sucess˜ao (S1) para aproximar a maior raiz positiva da equa¸c˜ao? E poder´a usar a sucess˜ao (S2) para aproximar a menor raiz positiva da equa¸c˜ao?

(e) Determine uma fun¸c˜ao iteradora g tal que o m´etodo do ponto fixo associado convirja para a raiz negativa da equa¸c˜ao.

[3.11] Considere uma sucess˜ao de n´umeros reais, definida do seguinte modo:

x 0 = 1, xm+1 = 1 −

bxm

, m = 0, 1 ,...

onde b ´e um n´umero real dado.

(a) Com base no teorema do ponto fixo, mostre que se b > 4 esta sucess˜ao converge e que todos os seus termos est˜ao compreendidos no intervalo

[ 1

2 ,^1

]

(b) Considere b = 254. Usando a defini¸c˜ao de ponto fixo, calcule z = limm→∞ xm. (c) Para o mesmo valor de b, mostre que todos os termos da sucess˜ao pertencem ao intervalo

[ 4

5 ,^1

]

e que se verifica

|z − xm+1| ≤

)m , m = 0, 1 ,...

[3.12] Considere a fun¸c˜ao g : R → R,

g(x) =

ln(x^2 + 1).

(a) Prove que a sucess˜ao definida por xm+1 = g(xm), m = 0, 1 ,.. ., converge para um n´umero z ∈ [− 1 , 1], qualquer que seja x 0 ∈ R. Determine z e a ordem de convergˆencia.

(b) Efectue algumas itera¸c˜oes, come¸cando com x 0 = 5, e calcule os quocientes

|e 1 | (e 0 )^2

|e 2 | (e 1 )^2

|e 3 | (e 2 )^2

[3.18] Pretende-se determinar um valor x que verifique a equa¸c˜ao

cos(x) = − cos(x + a cos(x)).

(a) Mostre que se a 6 = 0 isso ´e equivalente a encontrar z = g(g(z)), com

g(x) = x + a cos(x),

e que se a = 1, g tem um ´unico ponto fixo no intervalo I = [1, 3]. Justifique que para a = 1 a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ´e ´unica em I e coincide com o ponto fixo de g.

(b) Considere os valores de (a). Calcule duas itera¸c˜oes pelo m´etodo do ponto fixo aplicado `a fun¸c˜ao g come¸cando com x 0 = π/2 e com x 0 = 1. O que pode concluir? Calcule o valor exacto do erro |e 2 | com 8 d´ıgitos correctos, quando come¸ca com x 0 = 1. Mostre que a ordem de convergˆencia local ´e c´ubica.

(c) Considere os valores de (a). Come¸cando com z 0 = 1, e sendo zm = g(zm− 1 ), considere os pontos (xm, ym) com xm = log |z − zm| e ym = log |z − zm+1|, onde z ´e o ponto fixo de g. Quando m → ∞ os pontos (xm, ym) ir˜ao aproximar-se de uma recta y = αx + β. Determine os valores dos coeficientes α e β.

[3.19] Mostre que, para a > b ≥ 1 , a sucess˜ao

x 0 = 1, xm+1 = a +

b xm

, m = 0, 1 ,...

converge alternadamente para a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao x^2 − ax − b = 0 que se encontra no intervalo [a, a + b].

Nota. Esta sucess˜ao define aquilo que se designa por uma frac¸c˜ao cont´ınua, ou seja,

x = a 0 +

b 0 a 1 + (^) a b^1 2 +^ .b^2 ..

no caso particular em que am = a, bm = b.

[3.20] Ao utilizar o m´etodo do ponto fixo para determinar uma raiz de uma equa¸c˜ao, foram obtidos os valores

x 3 = − 0. 914260304 , x 4 = − 0. 825329540 , x 5 = − 0. 884002249 , x 6 = − 0. 847330076.

(a) Sabendo que a fun¸c˜ao iteradora era um polin´omio do quarto grau, da forma p(x) = αx^4 + βx^2 + γ, determine aproximadamente as duas ra´ızes reais da equa¸c˜ao.

(b) Determine os valores poss´ıveis para x 2. (c) Determine uma estimativa para a majora¸c˜ao do erro absoluto em x 20.

[3.21] Seja g ∈ C([a, b]) uma fun¸c˜ao tal que g(a) = b e g(b) = a.

(a) Mostre que existe pelo menos um ponto fixo de g em [a, b]. (b) Mostre que se g ∈ C^1 ([a, b]) ent˜ao a derivada de g toma o valor −1 em algum ponto desse intervalo. O que pode concluir quanto `a contractividade de g nesse intervalo?

[3.22] Considere f (x) = 0 ⇔ x = g(x),

uma equa¸c˜ao em R e sejam z 1 e z 2 duas ra´ızes consecutivas da equa¸c˜ao (ou seja, n˜ao existe nenhuma outra raiz entre elas).

(a) Mostre que se g ∈ C^1 (R) e |g′(z 1 )| < 1 ent˜ao g′(z 2 ) ≥ 1. (b) Suponha que z 2 ∈ I = [a, b], que |g′(x)| > 1 , ∀x ∈ I, e que I ⊆ g(I). Mostre que o m´etodo iterativo xm+1 = g−^1 (xm), m = 0, 1 ,... , converge para z 2 qualquer que seja x 0 ∈ I.

(c) Seja f ∈ Cp(R), tal que a raiz z 2 tem multiplicidade p ≥ 1, e seja g tal que g′(z 2 ) > 1. Indique uma fun¸c˜ao iteradora que assegure uma convergˆencia local linear para z 2 , e uma outra que assegure convergˆencia quadr´atica, para cada caso de p.

[3.23] Considere um intervalo I = [a, b] que tem um ´unico ponto fixo z de uma fun¸c˜ao g ∈ C^1 (I). Seja g′(z) = 1.

(a) Mostre que se 0 < g′(x) < 1 , ∀x ∈ I{z}, ent˜ao o m´etodo do ponto fixo converge qualquer que seja x 0 ∈ I. Sugest˜ao: Verifique que a sucess˜ao definida pelo m´etodo do ponto fixo ´e estritamente mon´otona e limitada.

(b) Aplique este resultado para mostrar que xm+1 = sin(xm) converge para 0, qualquer que seja x 0 ∈ R.

[3.24]∗^ Considere o polin´omio do 3o^ grau

p(x) = x^3 − 9 x^2 + 23x − 16.

(a) Mostre que o polin´omio tem trˆes ra´ızes reais, z 1 < z 2 < z 3 , tais que

z 1 ∈ [1. 0 , 1 .2], z 2 ∈ [2. 6 , 2 .8], z 3 ∈ [5. 0 , 5 .2].

(b) Mostre que o m´etodo de Newton com iterada inicial x 0 ∈ [1. 0 , 1 .2] converge para a raiz z 1.

(c) Utilize o m´etodo de Newton para obter um valor aproximado da raiz z 1 com um erro absoluto inferior a 10−^6.

[3.25]∗^ Considere o polin´omio do Exerc´ıcio [3.24].

positivas da equa¸c˜ao −x^3 + 14x − 1 − ex^ = 0. (a) Mostre que se x 0 for escolhido no intervalo [2.6, 3] est˜ao asseguradas as condi¸c˜oes de convergˆencia do m´etodo.

(b) Calcule um majorante para o erro da segunda iterada (n˜ao efectue itera¸c˜oes).

[3.31] Mostre que a equa¸c˜ao ln x − (x − 2)^2 = 0,

tem duas e s´o duas ra´ızes reais distintas e indique, para cada uma delas, um intervalo (de comprimento n˜ao superior a 2) que a contenha (sem conter a outra). Se pretendesse utilizar o m´etodo de Newton para calcular a raiz mais pequena, diga, justificando, qual (ou quais) dos seguintes valores poderia utilizar como aproxima¸c˜ao inicial: x 0 = 2.1, x 0 = 2.5 ou x 0 = 1.4. Mostre que para o x 0 que escolheu est˜ao garantidas as condi¸c˜oes de convergˆencia e efectue uma itera¸c˜ao.

[3.32] Para calcular a raiz quadrada do n´umero a > 0 recorre-se frequentemente ao m´etodo iterativo

x 0 ∈ R, xm+1 =

(xm +

a xm

), m = 0, 1 ,...

(a) Verifique que esta f´ormula corresponde `a utiliza¸c˜ao do m´etodo de Newton para resolver o problema.

(b) Mostre que o erro do m´etodo satisfaz a condi¸c˜ao

em+1 = −

e^2 m 2 xm

onde em = z − xm e z ´e a raiz.

[3.33] Seja f : R → R uma fun¸c˜ao de classe C^4. Considere a seguinte modifica¸c˜ao do m´etodo de Newton para a aproxima¸c˜ao dos zeros de f :

x 0 ∈ R, xm+1 = xm −

Φ(xm) Φ′(xm)

, m = 0, 1 ,...

onde Φ(x) = (^) ff ′^ ((xx)). Mostre que o m´etodo tem ordem de convergˆencia quadr´atica tamb´em no caso em que os zeros de f s˜ao m´ultiplos.

[3.34] Construa uma tabela com valores de y para os valores de x = 0. 0 , 0. 1 , 0. 2 ,... , 1 .0, onde y ´e definido implicitamente em fun¸c˜ao de x pela express˜ao

3 x^7 + 2y^5 − x^3 + y^3 = 3,

utilizando o m´etodo de Newton.

[3.35]∗^ Considere o polin´omio do 3o^ grau

p(x) = x^3 − 9 x^2 + 23x − 16 ,

para o qual foi verificada no Exerc´ıcio [3.24] a existˆencia de trˆes ra´ızes reais, z 1 < z 2 < z 3 , tais que z 1 ∈ [1. 0 , 1 .2], z 2 ∈ [2. 6 , 2 .8], z 3 ∈ [5. 0 , 5 .2]. (a) Mostre que o m´etodo da secante com iteradas iniciais x 0 , x 1 ∈ [5. 0 , 5 .2] converge para a raiz z 3.

(b) Utilize o m´etodo da secante para obter um valor aproximado da raiz z 3 com um erro absoluto inferior a 10−^6.

[3.36]∗^ Considere a equa¸c˜ao x^3 − cos x − 1 = 0. (a) Mostre que a equa¸c˜ao tem uma ´unica raiz real, z, tal que z ∈ [1, 2]. (b) Mostre que o m´etodo da secante com iteradas iniciais x 0 , x 1 ∈ [1, 2] converge para a raiz z.

(c) Utilize o m´etodo da secante para obter um valor aproximado da raiz z com um erro absoluto inferior a 10−^6.

[3.37] Considere a fun¸c˜ao

f (x) = cos

(x

2

− x.

(a) Mostre que o m´etodo de Newton converge quadraticamente para o ´unico zero de f, qualquer que seja a iterada em [0. 5 , 1 .5].

(b) Calcule a primeira iterada x 1 come¸cando com x 0 = 1 e justifique que |e 1 | ≤ 0 .025.

(c) Calcule x 3 e apresente uma estimativa de erro. (d) Com base nos valores x 0 e x 1 obtido em (b) calcule x 2 pelo m´etodo da secante. Este m´etodo tamb´em ir´a convergir?

[3.38] Considere a equa¸c˜ao

f (x) = x tan(x) − 1 = 0.

Aplicando o m´etodo da secante, obtenha as trˆes primeiras iteradas para o c´alculo da raiz situada no intervalo [0. 8 , 0 .9]. Determine um majorante do erro do resultado obtido.