Analise real volume 2, Notas de aula de Matemática

Baixe Analise real volume 2 e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity!

Análise Real

Volume 2

Elon Lages Lima

Rio de Janeiro

9 de março de 2004

Sumário

Capítulo 1

Topologia do Espaço Euclidiano

1 O espaço euclidiano n -dimensional

Seja n um número natural. O espaço euclidiano n -dimensional Rn^ é o produto cartesiano de n fatores iguais a R : Rn^ = R × R ×... × R. Seus elementos, portanto, são as seqüências (ou listas) de n termos reais x = (x 1 ,... , xn ). Para cada i = 1 ,... , n, o termo x (^) i chama-se a i -ésima coordenada de x. Se x = (x 1 ,... , xn ) e y = (y (^) r ,... , yn ), tem-se x = y se, e somente se, x 1 = y 1 ,... , xn = y (^) n. Assim, toda igualdade entre dois elementos de Rn^ equivale a n igualdades entre números reais. R^1 = R é o conjunto dos números reais, R^2 é o modelo numérico do plano e R^3 é o modelo do espaço euclidiano tridimensional. Por simplicidade, adotaremos o hábito de escrever z = (x, y) em vez de x = (x 1 , x 2 ) e w = (x, y, z) em vez de x = (x 1 , x 2 , x 3 ). Os elementos de Rn^ às vezes são chamados pontos e às vezes vetores. Es- te segundo nome se aplica principalmente quando se considerarem entre eles as operações que definiremos agora. A adição faz corresponder a cada par de elementos x = (x 1 ,... , xn ) e y = (y 1 ,... , yn ) a soma

x + y = (x 1 + y 1 ,... , xn + y (^) n ).

e a multiplicação do número real α pelo elemento x = (x 1 ,... , xn ) tem como resultado o produto

α · x = (αx 1 ,... , αxn ).

O vetor 0 = ( 0 , 0 ,... , 0 ), cujas coordenadas são todas nulas, chama-se a origem de Rn. Para todo x = (x 1 ,... , xn ), o vetor −x = (−x 1 ,... , −x (^) n ) chama- se o oposto , ou simétrico de x. Dados quaisquer x, y, z ∈ Rn^ e α, β ∈ R valem as

2 CAPÍTULO 1: TOPOLOGIA DO ESPAÇO EUCLIDIANO

igualdades

x + y = y + x, x + 0 = x, −x + x = 0 , x + (y + z) = (x + y) + z, α(βx) = (αβ)x, (α + β)x = αx + βx, α(x + y) = αx + αy.

A segunda e a terceira delas dizem que 0 é o elemento neutro da adição e −x é o inverso aditivo de x. Os vetores e 1 = ( 1 , 0 ,... , 0 ), e 2 = ( 0 , 1 , 0 ,... , 0 ),... en = ( 0 ,... , 1 ), que têm uma única coordenada não-nula, igual a 1, constituem a base canônica de Rn. A igualdade x = (x 1 ,... , xn ) significa que x = x 1 · e 1 + · · · + x (^) n · e (^) n. Existe ainda uma operação que associa a cada par de vetores x = (x 1 ,... , xn ), y = (y 1 ,... , yn ) o número real

〈 x, y 〉 = x 1 y 1 + · · · + x (^) n y (^) n ,

chamado o produto interno de x por y. Para x, y, z ∈ Rn^ e α ∈ R quaisquer, tem-se

〈 x, y 〉 = 〈 y, x 〉, 〈 x, y + z 〉 = 〈 x, y 〉 + 〈 x, z 〉, 〈 αx, y 〉 = α · 〈 x, y 〉, 〈 x, x 〉 > 0 se x = 0.

Segue-se que 〈 x +y, z 〉 = 〈 x, y 〉+〈 x, y 〉, 〈 x, αy 〉 = α〈 x, y 〉 e 〈 x, 0 〉 = 0. Diz-se que os vetores x, y ∈ Rn^ são ortogonais , e escreve-se x ⊥ y, quando 〈 x, y 〉 = 0. Por exemplo, 〈 ei , ej 〉 = 0 se i = j. Um exemplo menos trivial de ortogonalidade é o seguinte

(1.1) Seja x ∈ Rn^ não-nulo. Para todo y ∈ Rn , o vetor z = y −

〈 x, y 〉 〈 x, x 〉

· x é ortogonal a x_._

Demonstração. 〈 x, z 〉 = 〈 x, y 〉 − 〈 x, y 〉 〈 x, x 〉

· 〈 x, x 〉 = 0.

Escrevendo y =

〈 x, y 〉 〈 x, x 〉

· x + z, vemos assim que, uma vez dado um vetor não-nulo x ∈ Rn, todo vetor y ∈ Rn^ se escreve como soma de um múltiplo de x com um vetor ortogonal a x. Esta decomposição é única pois se y = α · x + z com z ⊥ x, tomando-se o produto interno de ambos os membros por x obtemos 〈 x, y 〉 = α · 〈 x, x 〉, logo α = 〈 x, y 〉/〈 x, x 〉. O vetor αx =

〈 x, y 〉/〈 x, x 〉

x chama-se a projeção ortogonal de y sobre (a reta que contém) x.

4 CAPÍTULO 1: TOPOLOGIA DO ESPAÇO EUCLIDIANO

A última desigualdade, referindo-se a números não-negativos, equivale a

|x + y|^2 ≤

|x| + |y|

Ora,

|x + y|^2 = 〈 x + y, x + y 〉 = |x|^2 + 2 〈 x, y 〉 + |y|^2 ≤ |x|^2 + 2 |x| |y| + |y|^2 =

|x| + |y|

pois, em virtude da desigualdade de Schwarz, 〈 x, y 〉 ≤ |x| |y|. Mais geralmente, qualquer função Rn^ → R, que associe a cada vetor x ∈ Rn um número |x| com as três propriedades acima, chama-se uma norma. A norma

|x| =

x 12 + · · · + x n^2 ,

chama-se norma euclidiana. Há duas outras normas que poderemos utilizar em Rn^ quando houver conve- niência. Elas são

1. |x|M = max ·

|x 1 |,... , |x (^) n|

(norma do máximo),

2. |x|S = |x 1 | + · · · + |x (^) n| (norma da soma). As condições que definem uma norma são fáceis de verificar para estas duas. Também é simples mostrar que, para todo x ∈ Rn, vale

|x|M ≤ |x| ≤ |x|S ≤ n · |x|M ,

onde |x| é a norma euclidiana. Quando, num determinado contexto, estivermos usando apenas uma das normas |x|M ou |x|S , podemos indicá-la com a notação |x|, por simplicidade. Para toda norma, vale a desigualdade | |x| − |y| | ≤ |x − y|.

Com efeito, de x = (x − y) + y resulta que |x| ≤ |x − y| + |y|, logo |x| − |y| ≤ |x − y|. Trocando os papéis de x e y, obtemos |y| − |x| ≤ |y − x|. Mas |y − x| = |x − y|, logo |y| − |x| ≤ |x − y|. Conclusão: | |x| − |y| | ≤ |x − y|. Uma norma em Rn^ dá origem à noção de distância d(x, y) entre dois pontos x, y ∈ Rn. Para x = (x 1 ,... , xn ) e y = (y 1 ,... , yn ), pomos

d(x, y) = |x − y| =

(x 1 − y 1 )^2 + · · · + (x (^) n − y (^) n )^2. As três condições que definem uma norma implicam que d(x, y) tem as pro- priedades características de uma distância, a saber:

SECTION 2: BOLAS E CONJUNTOS LIMITADOS 5

1. d(x, y) ≥ 0, com d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y;
2. d(x, y) = d(y, x);
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular). Observe que a igualdade |α · x| = |α| |x| com α = −1 dá | − x| = |x|, logo |x − y| = |y − x|. Além disso, |x − z| = |x − y + y − z| ≤ |x − y| + |y − z|, portanto d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

2 Bolas e conjuntos limitados

Dados o ponto a ∈ Rn^ e o número real r > 0, a bola aberta de centro a e raio r é o conjunto B(a; r) dos pontos x ∈ Rn^ cuja distância ao ponto a é menor que r. Em símbolos:

B(a; r) =

x ∈ Rn; |x − a| < r

Analogamente, a bola fechada de centro a e raio r é o conjunto B[a; r] assim definido:

B[a; r] =

x ∈ Rn; |x − a| ≤ r

Por sua vez, a esfera de centro a e raio r é o conjunto

S[a; r] =

x ∈ Rn; |x − a| = r

Evidentemente, B[a; r] = B(a; r) ∪ S[a; r]. A bola fechada B[a; r] ⊂ Rn^ também é chamada o disco n-dimensional de centro a e raio r. Em particular, o disco B[ 0 ; 1 ] de centro 0 e raio 1 é chamado o disco unitário de Rn. Uma notação especial é reservada para a esfera unitária de dimensão n − 1:

S n−^1 =

x ∈ Rn; |x| = 1

Assim, S n−^1 é a esfera de centro na origem 0 e raio 1. Quando n = 2, S^1 é a circunferência de centro 0 e raio 1. Acima estamos (pelo menos tacitamente) admitindo que a norma adotada em Rn^ é a euclidiana, já que não foi feita menção em contrário. Convém, entretanto, observar que a forma geométrica das bolas e esferas em Rn^ depende da norma que se considera. Por exemplo, se tomarmos em R^2 a norma do máximo, a “esfera unitária” é o bordo do quadrado de centro 0 e lados de comprimento 2, paralelos aos eixos. Ainda em R^2 , com a norma da soma, o “disco unitário” é o quadrado cujos vértices são os pontos (1,0), (0,1), (− 1 , 0 ) e ( 0 , − 1 ).

SECTION 3: CONJUNTOS ABERTOS 7

tx 0 , logo

|( 1 − t)a + tb − x 0 | = |( 1 − t)a + tb − ( 1 − t)x 0 − tx 0 | = |( 1 − t)(a − x 0 ) + t (b − x 0 )| ≤ ( 1 − t)|a − x 0 | + t|b − x 0 | ≤ ( 1 − t)r + tr = r,



Exemplo 2. Seja X =

(x, y) ∈ R^2 ; y ≤ x^2

. O conjunto X ⊂ R^2 não é convexo. Com efeito os pontos a = (− 1 , 1 ) e b = ( 1 , 1 ) pertencem a X mas 1 2

a +

b = ( 0 , 1 ) não pertence a X. 

3 Conjuntos abertos

Seja a ∈ X ⊂ Rn. Diz-se que o ponto a é interior ao conjunto X quando, para algum r > 0, tem-se B(a; r) ⊂ X. Isto significa que todos os pontos suficientemente próximos de a também pertencem a X. O conjunto int.X dos pontos interiores a X chama-se o interior do conjunto X. Evidentemente, int.X ⊂ X. Quando a ∈ int.X, diz-se que X é uma vizinhança de a.

Exemplo 3. Seja X =

(x, y) ∈ R^2 ; y ≥ 0

o semi-plano superior fechado. Se p = (a, b) com b > 0, então p ∈ int.X. Com efeito, afirmamos que B = B(p; b) ⊂ X. Isto é claro geometricamente.

Figura 3.

8 CAPÍTULO 1: TOPOLOGIA DO ESPAÇO EUCLIDIANO

Em termos mais precisos, argumentamos assim:

(x, y) ∈ B ⇒

(x − a)^2 + (y − b)^2 < b ⇒ (y − b)^2 < b^2 ⇒ y^2 − 2 by + b^2 < b^2 ⇒ y^2 < 2 by ⇒ y > 0 (pois b > 0),

e portanto (x, y) ∈ X. 

Exemplo 4. Com a notação do Exemplo 3, os pontos da forma q = (a, 0 ), per- tencem a X porém não são interiores a X. Com efeito, nenhuma bola B(q; r) de centro q pode estar contida em X pois o ponto (a, −r/ 2 ) pertence a B(q; r) mas não a X. Segue-se então que int.X =

(x, y) ∈ R^2 ; y > 0

Um conjunto A ⊂ Rn^ chama-se aberto quando todos os seus pontos são inte- riores, isto é, quando A = int.A. 

Exemplo 5. Toda bola aberta B = B(a; r) é um conjunto aberto. Com efeito, seja x ∈ B. Então |x − a| < r, logo s = r − |x − a| > 0. Afirmamos que, B(x; s) ⊂ B. Com efeito, y ∈ B(x; s) ⇒ |y − x| < r − |x − a|. Logo

y ∈ B(x; s) ⇒ |y − a| ≤ |y − x| + |x − a| < r − |x − a| + |x − a| = r.

Daí concluimos que y ∈ B(x; r). 

Figura 4.

A fronteira de um conjunto X ⊂ Rn^ é o conjunto fr.X formado pelos pontos de X que não são interiores a X, juntamente com os pontos de Rn^ − X que não são interiores a Rn^ − X. De forma mais simples: tem-se x ∈ fr.X quando toda bola de centro x contém pontos de X e pontos de Rn^ − X.

Exemplo 6. Seja X =

(x, y) ∈ R^2 ; y ≥ 0

, como no Exemplo 3. De forma análoga ao argumento usado no Exemplo 3, mostra-se que todo ponto de R^2 −X =

10 CAPÍTULO 1: TOPOLOGIA DO ESPAÇO EUCLIDIANO

Então, se |xk 1 | ≤ c 1 , |x (^) k 2 | ≤ c 2 ,... , |x (^) kn| ≤ c (^) n para todo k ∈ N, chamando de c o maior dos números c 1 , c 2 ,... , cn teremos |x (^) k | = max{ |x (^) k 1 |,... , |x (^) kn| } ≤ c para todo k ∈ N. Assim, se cada (x (^) ki ) (^) k∈N(i = 1 ,... , n) é limitada, a seqüência (x (^) k ) (^) k∈N é limitada. Uma subseqüência de (x (^) k ) (^) k∈N é a restrição desta seqüência a um subconjunto infinito N′^ = { k 1 < · · · < k (^) m <... } ⊂ N. As notações (x (^) k ) (^) k∈N′ , (x (^) km ) (^) m∈N ou (x (^) k 1 ,... , xkm ,... ) são usadas para indicar uma subseqüência. Diz-se que o ponto a ∈ Rn^ é o limite da seqüência (x (^) k ) quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, é possível obter k 0 ∈ N tal que k > k 0 ⇒ |xk − a| < ε. Noutras palavras: k > k 0 ⇒ x (^) k ∈ B(a; ε). Escreve-se então lim k→∞ x (^) k = a,

lim k∈N

x (^) k = a ou lim x (^) k = a, simplesmente. De acordo com esta definição, tem-se lim x (^) k = a se, e somente se, lim |xk − a| = 0. Dizer que lim x (^) k = a significa afirmar que qualquer bola de centro a contém todos os xk com a possível exceção de um número finito de valores de k (que são 1 , 2 ,... , k 0 ). Uma seqüência (x (^) k ) em Rn^ diz-se convergente quando existe a = lim x (^) k. Da observação acima resulta que toda seqüência convergente é limitada. É também óbvio que qualquer subseqüência de uma seqüência convergente é também con- vergente e tem o mesmo limite. Observe-se ainda que a definição de limite faz uso de uma norma, porém as desigualdades |x|M ≤ |x| ≤ |x|S ≤ n · |x|M mostram que a existência e o valor do limite não depende de qual das três normas usuais se está considerando. Este fato será empregado na demonstração do teorema abaixo, onde no final usamos a norma do máximo.

Teorema 2. A seqüência (x (^) k ) em Rn^ converge para o ponto a = (a 1 ,... , an ) se, e somente se, para cada i = 1 ,... , n , tem-se lim k→∞ x (^) ki = a (^) i , isto é, cada coordenada

de x (^) k converge para a coordenada correspondente de a_._

Demonstração. Para cada i = 1 ,... , n, tem-se |x (^) ki − a (^) i | ≤ |xk − a|, portanto lim x (^) k = a ⇒ lim k→∞ x (^) ki = a (^) i. Reciprocamente, se vale esta última igualdade

então, dado ε > 0, existem k 1 ,... , kn ∈ N tais que k > ki ⇒ |x (^) ki − a (^) i | < ε(i = 1 ,... , n). Tomando k 0 = max{ k 1 ,... , kn } e adotando em Rn^ a norma do máximo, vemos que k > k 0 ⇒ |x (^) k − a| < ε. Logo lim x (^) k = a.

Corolário 1. Se lim x (^) k = a , lim yk = b em Rn^ e lim α (^) k = α em R então lim(xk + y (^) k ) = a + b e lim α (^) k x (^) k = αa_._

Tomando cada seqüência de coordenadas, o corolário resulta da propriedade correspondente em R.

SECTION 4: SEQÜÊNCIAS EM RN^ 11

Além disso, lim〈 x (^) k , yk 〉 = 〈 a, b 〉, como se vê facilmente. E a desigualdade ||x (^) k | − |a|| ≤ |y (^) k − a| mostra ainda que se tem lim |x (^) k | = |a| seja qual for a norma adotada.

Teorema 3 (Bolzano-Weierstrass). Toda seqüência limitada em Rn^ possui uma subseqüência convergente.

Demonstração. Seja (xk ) uma seqüência limitada em Rn. As primeiras coordena- das dos seus termos formam uma seqüência limitada (xk 1 ) (^) k∈N de números reais, a qual, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass na reta (vol. 1, pág. 25), possui uma subseqüência convergente. Isto é, existem um subconjunto infinito N 1 ⊂ N e um número real a 1 tais que lim k∈N 1 x (^) k 1 = a 1. Por sua vez, a seqüência limitada

(x (^) k ) (^) k∈N 1 em R possui uma subseqüência convergente: existem um subconjun- to infinito N 2 ⊂ N 1 e um número real a 2 tais que lim k∈N 2 x (^) k 2 = a 2. E assim por

diante, até obtermos n conjuntos infinitos N ⊃ N 1 ⊃ N 2 ⊃ · · · ⊃ Nn e núme- ros reais a 1 , a 2 ,... , an tais que lim k∈Ni x (^) ki = a (^) i para i = 1 , 2 ,... , n. Então pomos

a = (a 1 ,... , an ) e, pelo Teorema 1, temos lim k∈Nn

x (^) k = a, o que prova o teorema.

Uma seqüência de pontos xk ∈ Rn^ chama-se uma seqüência de Cauchy quando, para todo ε > 0 dado, existe k 0 ∈ N tal que k, r > k 0 ⇒ |x (^) k − x (^) r | < ε. Toda seqüência de Cauchy (x (^) k ) é limitada. Com efeito, tomando ε = 1 na defi- nição acima, vemos que existe um índice k 0 tal que, salvo possivelmente os pontos x 1 ,... , xk 0 todos os demais termos xk pertencem à bola B(x (^) k 0 + 1 ; 1 ). Portanto o conjunto dos termos da seqüência é limitado. A condição para que a seqüência (xk ) seja de Cauchy pode ser reformulada dizendo-se que lim k,r→∞ |x (^) k − x (^) r | = 0, isto é, que lim k,r∈N |x (^) k − x (^) r | = 0. Daí resulta

que se N′^ ⊂ N é um subconjunto infinito, ou seja, se (xr ) (^) r∈N′ é uma subseqüência de (x (^) k ) então lim k∈N,r∈N′^ |x (^) k − x (^) r | = 0.

Teorema 4 (Critério de Cauchy). Uma seqüencia em Rn^ converge se, e somente se, é uma seqüência de Cauchy.

Demonstração. Seja (x (^) k ) uma seqüência de Cauchy em Rn. Sendo limitada, ela possui uma subseqüência convergente (x (^) r ) (^) r∈N′. Seja a = lim r∈N′^

x (^) r. Temos lim r∈N′^

|x (^) r − a| = 0 e lim k∈N,r∈N′^

|x (^) k − x (^) r | = 0, como observamos acima. Então, de

|x (^) k − a| ≤ |x (^) k − x (^) r | + |x (^) r − a| resulta que lim k∈N

|x (^) k − a| = 0, ou seja, lim k→∞ x (^) k = a.

Reciprocamente, se (x (^) k ) é convergente, com lim xk = a, então, como |x (^) k − x (^) r | ≤ |x (^) k − a| + |x (^) r − a|, concluímos que lim k,r→∞ |x (^) k − x (^) r | = 0, ou seja, (x (^) k ) é de Cau-

chy.

SECTION 5: CONJUNTOS FECHADOS 13

Escrevendo A = Rn^ − F , donde F = Rn^ − A, esta última conclusão lê-se assim: A é aberto se, e somente se, Rn^ − A é fechado. (c) Se x ∈ Rn^ − ¯X (isto é, x não é aderente a X) então, por (a), existe uma bola B = B(x; r) que não contém pontos de X, ou seja, X ⊂ Rn^ − B. Logo X^ ¯ ⊂ Rn^ − B. Mas, pela parte (b) acima, Rn^ − B é fechado; portanto X¯ ⊂ Rn^ − B ou, equivalentemente, B ⊂ Rn^ − ¯X. Assim, todo ponto x ∈ Rn^ − ¯X é um ponto interior e Rn^ − ¯X é aberto. Segue-se que X¯ é fechado.

Alguns conjuntos X ⊂ Rn^ não são abertos nem fechados, como X = B(a; r) ∪ {b}, onde |b − a| = r. Ou então X = conjunto dos pontos de Rn^ com coordenadas racionais (X = Qn^ ). Chama-se distância do ponto a ∈ Rn^ ao conjunto X ⊂ Rn^ ao número

d(a; X) = inf. { |x − a| ; x ∈ X }.

Pela definição de ínfimo, para cada k ∈ N existe um ponto xk ∈ X tal que d(a; X) ≤

|xk − a| < d(a, X) +

k

, portanto lim k→∞ |x (^) k − a| = d(a; X). A seqüência (x (^) k ) é

certamente limitada, portanto possui uma subseqüência convergente. Descartando (por serem desnecessários) os termos xk que não estejam nessa subseqüência, vemos que existe um ponto x 0 = lim xk tal que d(x, X) = |x 0 − a|. Tem-se x 0 ∈ ¯X. Se o conjunto X for fechado então x 0 ∈ X. Podemos então enunciar o

Teorema 6. Seja F ⊂ Rn^ um conjunto fechado. Dado qualquer a ∈ Rn^ existe (pelo menos um) x 0 ∈ F tal que |x 0 − a| ≤ |x − a| para todo x ∈ F_._

Noutras palavras: se F ⊂ Rn^ é fechado então, para a ∈ Rn^ qualquer, a função f : F → R dada por f (x) = |x − a| assume seu valor mínimo em algum ponto x 0 ∈ F. Então tem-se d(a, F ) = |x 0 − a|. Se X ⊂ Y ⊂ Rn, diz-se que X é denso em Y quando X¯ = Y. Por exemplo, B(a; r) é denso em B[a; r] e Qn^ é denso em Rn. Dizemos que a ∈ Rn^ é ponto de acumulação do conjunto X ⊂ Rn^ quando toda bola de centro a contém algum ponto de X diferente de a. (Noutras palavras, quando a ∈ X − {a}.) Um ponto de acumulação de X pode pertencer a X ou não. Se a ∈ X não é ponto de acumulação de X, diz-se que a é um ponto isolado de X. Isto significa que existe r > 0 tal que B(a; r) ∩ X = {a}. Quando todos os pontos de X são isolados, dizemos que X é um conjunto discreto.

Exemplo 8. Todos os pontos de uma bola são pontos de acumulação. O conjunto Zn^ dos pontos de Rn^ com coordenadas inteiras é um conjunto discreto. 

As demonstrações dos três teoremas seguintes são omitidas pois são pratica- mente as mesmas dos seus análogos unidimensionais, provados no volume 1 (págs.

14 CAPÍTULO 1: TOPOLOGIA DO ESPAÇO EUCLIDIANO

50, 52 e 53). Basta substituir cada intervalo (a − r, a + r) pela bola B(a; r) e considerar |x| como a norma de x.

Teorema 7. Sejam a um ponto e X um subconjunto de Rn_. As seguintes afirmações são equivalentes:_

(1) a é um ponto de acumulação de X_._ (2) a é limite de uma seqüência de pontos x (^) k ∈ X − {a}.

(3) Toda bola de centro a contém uma infinidade de pontos de X_._

Teorema 8. Todo subconjunto infinito limitado X ⊂ Rn^ admite pelo menos um ponto de acumulação.

Teorema 9. (a) Se F 1 e F 2 são subconjuntos fechados de Rn^ então F 1 ∪ F 2 é também fechado.

(b) Se (F (^) λ ) (^) λ∈L é uma família arbitrária de conjuntos fechados então a interseção F =

λ∈L

F (^) λ é um conjunto fechado.

Cabe aqui a observação de que (a) implica que a reunião F 1 ∪ · · · ∪ F (^) k de um número finito de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado. Entretanto isto não vale para reuniões infinitas. Com efeito, um conjunto qualquer, fechado ou não, é a reunião dos seus pontos, que são conjuntos fechados. Segue-se do item (2) do Teorema 7 que o fecho do conjunto X é formado acrescentando-lhe seus pontos de acumulação que por ventura não pertençam a X. Seja X ⊂ Rn. Diz-se que um subconjunto F ⊂ X é fechado em X quando F contém todos os seus pontos aderentes que pertencem a X. Assim, F é fechado em X se, e somente se, F = ¯F ∩ X. F é fechado em X quando, e somente quando, F = G ∩ X onde G ⊂ Rn^ é fechado. Com efeito se F = G ∩ X com G fechado então F¯ ⊂ G, logo F = F ∩ X ⊂ F¯ ∩ X ⊂ G ∩ X = F , donde F = ¯F ∩ X e F é fechado em X. O conjunto F ⊂ X é fechado em X se, e somente se, X − F (seu complementar relativamente a X) é aberto em X. Com efeito F = G ∩ X ⇔ X − F = (Rn^ − G) ∩ X, onde G ⊂ Rn^ é fechado se, e somente se, Rn^ − G é aberto. Analogamente, A ⊂ X é aberto em X se, e somente se, X − A é fechado em X pois A = U ∩ X ⇔ X − A = (Rn^ − U ) ∩ X e U ⊂ Rn^ é aberto se, e somente se, Rn^ − U é fechado.

6 Conjuntos compactos

Um conjunto X ⊂ Rn^ chama-se compacto quando é limitado e fechado.

16 CAPÍTULO 1: TOPOLOGIA DO ESPAÇO EUCLIDIANO

com y 0 ∈ F pois F é fechado. Então |x 0 − y 0 | = lim |xk − y (^) k | = d(K, F ) ≤ |x − y| para quaisquer x ∈ K e y ∈ F.

Corolário 2. Sejam K ⊂ U ⊂ Rn , onde K é compacto e U é aberto. Existe ε > 0 tal que toda bola B(x; ε) , com raio ε e centro num ponto x ∈ K , está contida em U_._

Com efeito, sejam x 0 ∈ K e y 0 ∈ F = Rn^ − U tais que |x 0 − y 0 | ≤ |x − y| para quaisquer x ∈ K e y ∈ F. Ponhamos ε = |x 0 − y 0 |. Como K ⊂ U , vemos que K ∩ F = ∅, portanto x 0 = y 0 e daí ε > 0. Assim, se x ∈ K e y /∈ U , tem-se |x − y| ≥ ε. Noutras palavras, se x ∈ K então B(x; ε) ⊂ U. Se F 1 ⊃ F 2 ⊃ · · · ⊃ F (^) k ⊃... é uma seqüência decrescente de fechados não-

vazios em Rn, pode ocorrer que

k= 1

F (^) k = ∅. Isto ocorre, por exemplo, quando

tomamos Fk = [k, +∞) em R. O teorema abaixo mostra que isto não acontece quando um dos Fk é limitado (portanto todos os seguintes são).

Teorema 12 (Cantor). Seja K 1 ⊃ K 2 ⊃ · · · ⊃ K (^) k ⊃... uma seqüência decres- cente de compactos não-vazios em Rn_. Existe pelo menos um ponto_ a ∈ Rn^ que

pertence a todos os K (^) k_. Noutros termos:_

k= 1

K (^) k = ∅.

Demonstração. Para cada k ∈ N, escolhamos um ponto x (^) k ∈ K (^) k. A seqüência (x (^) k ) é limitada, logo possui uma subseqüência (x (^) r ) (^) r∈N′ , que converge para a = lim r∈N′^

x (^) r.

Mostremos que a ∈ K (^) k para todo k ∈ N. De fato, dado k, temos K (^) r ⊂ K (^) k sempre que r ∈ N′^ e r > k. Assim, r ∈ N′, r > k ⇒ xr ∈ Kk. Segue-se que a = lim r∈N′^

x (^) r

pertence ao conjunto fechado K (^) k.

Uma propriedade fundamental dos conjuntos compactos é o fato de que toda cobertura aberta de um compacto possui uma subcobertura finita. Vejamos isto. Uma cobertura do conjunto X ⊂ Rn^ é uma família (C (^) λ ) (^) λ∈L de subconjuntos C (^) λ ⊂ Rn^ tais que X ⊂

x∈L

C (^) λ. Isto significa que para cada x ∈ X existe um λ ∈ L

tal que x ∈ Cλ. Uma subcobertura é uma subfamília (C (^) λ ) (^) λ∈L′^ , L′^ ⊂ L, tal que ainda se tem X ⊂

λ∈L′

C (^) λ. Diz-se que a cobertura X ⊂ ∪C (^) λ é aberta quando os C (^) λ forem todos abertos, ou finita quando L é um conjunto finito.

Teorema 13 (Borel-Lebesgue). Toda cobertura aberta K ⊂ ∪A (^) λ de um compac- to K ⊂ Rn^ admite uma subcobertura finita K ⊂ Aλ 1 ∪ · · · ∪ A (^) λk_._

SECTION 6: CONJUNTOS COMPACTOS 17

Inicialmente, prepararemos o terreno para estabelecer um lema que torna a demonstração do teorema quase imediata. Seja X ⊂ Rn^ um conjunto limitado. O diâmetro de X é o número

diam. X = sup { |x − y|; x, y ∈ X }.

Segue-se imediatamente desta definição que se diam. X = d e x ∈ X então X ⊂ B[x; d].

Dado α > 0, um cubo de aresta α é um produto cartesiano C =

∏n i= 1

[a (^) i , ai + α]

de n intervalos de comprimento α. Se x = (x 1 ,... , xn ) e y = (y 1 ,... , yn ) pertencem a√ C então, para cada i = 1 ,... , n, tem-se |xi − y (^) i | ≤ α logo |x − y| = (x (^) i − y (^) i )^2 ≤ α

n. Tomando yi = ai + α temos |x − y| = α

n, portanto α

n é o diâmetro do cubo de aresta α em Rn. A decomposição R =

m∈Z

[mα, (m + 1 )α] da reta em intervalos adjacentes

de comprimento α determina uma decomposição de Rn^ como reunião de cubos adjacentes de aresta α. A saber, para cada m = (m 1 ,... , mn ) ∈ Zn, pomos

C (^) m =

∏n i= 1

[m (^) i α, (m (^) i + 1 )α] e temos Rn^ =

m∈Zn

C (^) m. Para todo X ⊂ Rn^ tem-se X =

m∈Zn

(X ∩ Cm ). Se X é limitado apenas um

número finito das interseções X ∩ C (^) m são não-vazias, logo podemos escrever

X = X 1 ∪ · · · ∪ X (^) k

onde cada Xi é da forma X ∩ Cm, logo tem diâmetro ≤ α

m. Se X for compacto então cada X (^) i é compacto. Isto prova o

Lema 1. Seja K ⊂ Rn^ compacto. Para todo ε > 0 existe uma decomposição K = K 1 ∪ · · · ∪ K (^) k onde cada K (^) i é compacto e tem diâmetro ≤ ε.

Demonstração do Teorema de Borel-Lebesgue. Seja K ⊂ Rn^ compacto. Supo- nhamos, por absurdo, que K ⊂ ∪A (^) λ seja uma cobertura aberta que não admite subcobertura finita. Exprimamos K como reunião finita de compactos, todos com diâmetro < 1. Pelo menos um deles, que chamaremos K 1 , é tal que K 1 ⊂ ∪A (^) λ não admite subcobertura finita. Escrevendo K 1 como reunião finita de compactos de diâmetro < 1 /2, vemos que pelo menos um deles, digamos K 2 , não pode ser coberto por um número finito de A′ λ s. Prosseguindo assim, obtemos uma seqüên- cia decrescente de compactos K 1 ⊃ K 2 ⊃ · · · ⊃ K (^) k ⊃... com diam Kk < 1 /k e tal que nenhum deles está contido numa reunião finita de A′ λ s. Em particular,

todos os K (^) k são não-vazios. Pelo Teorema 12, existe a ∈

k= 1

K (^) k. Para algum λ,