Análise Vectorial: Propriedades do Espaço Vetorial e do Produto Interno, Notas de estudo de Geometria Analítica e Cálculo

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Algebra Linear´

S´ergio Lu´ıs Zani

Departamento de Matem´atica

ICMC – USP

• 1 Espac¸os Vetoriais
  • 1.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
  • 1.2 Propriedades
  • 1.3 Exerc´ıcios
• 2 Subespac¸os Vetoriais
  • 2.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
  • 2.2 Intersec¸ ˜ao e Soma de Subespac¸os
  • 2.3 Exerc´ıcios
• 3 Combinac¸ ˜oes Lineares
  • 3.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
  • 3.2 Geradores
  • 3.3 Exerc´ıcios
• 4 Dependˆencia Linear
  • 4.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
  • 4.2 Propriedades
  • 4.3 Exerc´ıcios
• 5 Base, Dimens˜ao e Coordenadas
  • 5.1 Base
  • 5.2 Dimens˜ao
  • 5.3 Dimens˜ao de Soma de Subespac¸os Vetoriais
  • 5.4 Coordenadas
  • 5.5 Exerc´ıcios 4 SUM ´ARIO
• 6 Mudanc¸a de Base
  • 6.1 Introduc¸ ˜ao, Exemplos e Propriedades
  • 6.2 Exerc´ıcios
• 7 Exerc´ıcios Resolvidos – Uma Revis˜ao
• 8 Transformac¸ ˜oes Lineares
  • 8.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
  • 8.2 O Espac¸o Vetorial L (U, V )
  • 8.3 Imagem e N´ucleo
  • 8.4 Isomorfismo e Automorfismo
  • 8.5 Matriz de uma Transformac¸ ˜ao Linear
    • 8.5.1 Definic¸ ˜ao e Exemplos
    • 8.5.2 Propriedades
  • 8.6 Exerc´ıcios Resolvidos
  • 8.7 Exerc´ıcios
• 9 Autovalores e Autovetores
  • 9.1 Definic¸ ˜ao, Exemplos e Propriedades
  • 9.2 Polinˆomio Caracter´ıstico
  • 9.3 Exerc´ıcios
• 10 Diagonalizac¸ ˜ao
  • 10.1 Definic¸ ˜ao e Caracterizac¸ ˜ao
  • 10.2 Exerc´ıcios
• 11 Forma Canˆonica de Jordan
  • 11.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
  • 11.2 Exerc´ıcios
• 12 Espac¸os Euclidianos
  • 12.1 Produto Interno
  • 12.2 Norma
• SUM ´ARIO
  • 12.3 Distˆancia
  • 12.4 Anguloˆ
  • 12.5 Ortogonalidade
  • 12.6 Processo de Gram-Schmidt
  • 12.7 Complemento Ortogonal
  • 12.8 Isometria
  • 12.9 Operador Autoadjunto
  • 12.10Exerc´ıcios

Cap´ıtulo 1

Espac¸os Vetoriais

1.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos

NEste cap´ıtulo introduziremos o conceito de espac¸o vetorial que ser´a usado

em todo o decorrer do curso. Por´em, antes de apresentarmos a definic¸ ˜ao de espac¸o vetorial, passemos a analisar em paralelo dois objetos: o conjunto formado pelas func¸ ˜oes f : R → R, denotado por F (R; R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem n com coeficientes reais que denotaremos por Mn(R), ou simplesmente, por Mn. A soma de duas func¸ ˜oes f e g de F (R; R) e definida como sendo a func´ ¸ ˜ao f + g ∈ F (R; R) dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x). Note tamb´em que se λ ∈ R podemos multiplicar a func¸ ˜ao f pelo escalar λ, da seguinte forma (λf )(x) = λ(f (x)), resultando num elemento de F (R). Com relac¸ ˜ao a Mn podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n, A = (aij )n×n e B = (bij )n×n, colocando A + B = (aij + bij )n×n, que ´e um elemento de Mn. Com a relac¸ ˜ao `a multiplicac¸ ˜ao de A = (aij )n×n por um escalar λ ∈ R, e´ natural definirmos λA = (λaij )n×n, o qual tamb´em pertence a Mn. O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adic¸ ˜ao de seus ele- mentos e multiplicac¸ ˜ao de seus elementos por escalares, tˆem comum? Vejamos: Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos n´umeros reais que, com

7

8 CAP´ITULO 1. ESPAC¸ OS VETORIAIS

relac¸ ˜ao a quaisquer func¸ ˜oes f, g e h em F (R; R) e para todo λ, μ ∈ R, s˜ao v´alidos os seguintes resultados:

1. f + g = g + f ;
2. f + (g + h) = (f + g) + h;
3. se O representa a func¸ ˜ao nula, isto ´e, O(x) = 0 para todo x ∈ R ent˜ao O + f = f ;
4. a func¸ ˜ao −f definida por (−f )(x) = −[f (x)] para todo x ∈ R ´e tal que f + (−f ) = O;
5. λ(μf ) = (λμ)f ;
6. (λ + μ)f = λf + μf ;
7. λ(f + g) = λf + λg;
8. 1 f = f.

Agora, com relac¸ ˜ao a quaisquer matrizes A, B e C em Mn e para todo λ, μ ∈ R, tamb´em s˜ao v´alidos os seguintes resultados:

1. A + B = B + A;
2. A + (B + C) = (A + B) + C;
3. se O representa a matriz nula, isto ´e, O = (0)n×n ent˜ao O + A = A;
4. se A = (ai,j )n×n ent˜ao a matriz −A definida por −A = (−ai,j )n×n e tal´ que A + (−A) = O;
5. λ(μA) = (λμ)A;
6. (λ + μ)A = λA + μA;
7. λ(A + B) = λA + λB;
8. 1 A = A.

10 CAP´ITULO 1. ESPAC¸ OS VETORIAIS

Observac¸ ˜ao 1.3 O elemento 0 na propriedade EV 3 e ´´unico, pois qualquer outro 0 ′^ ∈ V satisfazendo a mesma propriedade EV 3 ent˜ao, pelas propriedades EV 3 e EV 1 ter´ıamos 0 ′^ = 0 + 0′^ = 0′^ + 0 = 0, isto ´e, 0 = 0′.

Observac¸ ˜ao 1.4 Em um espac¸o vetorial, pela propriedade EV 4 , para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0. Na verdade, para cada u ∈ V existe somente um elemento v ∈ V com esta propriedade. De fato, dado u ∈ V se v e v′^ em V s˜ao tais que u + v = 0 e u + v′^ = 0 ent˜ao, combinando estas equac¸ ˜oes com as propriedades EV 1 ,EV 2 e EV 3 , obtemos v = v +0 = v +(u+v′) = (v +u)+v′^ = (u + v) + v′^ = 0 + v′^ = v′, isto ´e v = v′. Denotaremos v por −u e u − v por u + (−v).

Observac¸ ˜ao 1.5 As quatro primeiras propriedades referem-se apenas `a opera- c¸ ˜ao de adic¸ ˜ao e s˜ao conhecidas, respectivamente, por propriedade comutativa, propriedade associatividade, existˆencia do elemento neutro e existˆencia do ele- mento inverso. A quinta e a oitava propriedades s˜ao exclusivas da multiplicac¸ ˜ao por es- calar e tamb´em podem ser chamadas de associatividade e elemento neutro da multiplicac¸ ˜ao, respectivamente. A sexta e a s´etima propriedades relacionam as duas operac¸ ˜oes e s˜ao ambas conhecidas por distributividade.

Observac¸ ˜ao 1.6 A rigor, a definic¸ ˜ao de espac¸o vetorial que demos acima se refere a espac¸os vetoriais reais visto que estamos permitindo que os escalares sejam apenas n´umeros reais. A noc¸ ˜ao de espac¸o vetorial complexo pode ser feita naturalmente a partir da definic¸ ˜ao acima com as devidas mudanc¸as. Mais precisamente, pedimos que seja satisfeitas as propriedades EV1 a EV4 e EV 8 enquanto que as propriedades EV5 a EV7 devem valer para todo λ, μ ∈ C. No entanto, embora importante, n˜ao usaremos o conceito de espac¸o vetorial com- plexo.

Um outro exemplo de espac¸o vetorial, al´em dos dois apresentados no in´ıcio do texto, ´e o conjunto dos vetores como apresentados em Geometria Anal´ıtica munido da adic¸ ˜ao e da multiplicac¸ ˜ao por escalar. Dessa forma, o adjetivo vetorial

1.1. INTRODUC¸ ˜AO E EXEMPLOS 11

utilizado na definic¸ ˜ao acima deve ser entendido de uma forma mais ampla, sendo uma referˆencia aos elementos de V independentemente de serem ou n˜ao vetores. Talvez o exemplo mais simples de espac¸o vetorial seja o conjunto dos n´ume- ros reais com a adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao usuais. Mais geralmente, para cada n ∈ N, podemos transformar o conjunto das n-uplas ordenadas de n´umeros reais, Rn, em um espac¸o vetorial definindo a adic¸ ˜ao de duas n-uplas ordenadas, x = (x 1 ,... , xn) e y = (y 1 ,... , yn), adicionando-se coordenada a coordenada, isto ´e, x + y = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn)

e o produto de uma n-upla x = (x 1 ,... , xn) por um escalar λ ∈ R por

λx = (λx 1 ,... , λxn).

E uma rotina bem simples verificar que desse modo^ ´ Rn^ ´e um espac¸o vetorial. Deixamos como exerc´ıcio esta tarefa. Verifique tamb´em que os seguintes exemplos s˜ao espac¸os vetoriais.

1. Sejam n ∈ N e V = Pn(R) o conjunto formado pelo polinˆomio nulo e por todos os polinˆomios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais. Definimos a adic¸ ˜ao e a multiplicac¸ ˜ao por escalar da seguinte maneira: - Se p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + anxn^ e q(x) = b 0 + b 1 x + · · · + bnxn^ s˜ao elementos de Pn(R) ent˜ao

p(x) + q(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + · · · + (an + bn)xn.

• Se p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + anxn^ e um elemento de´ Pn(R) e λ ∈ R ent˜ao λp(x) = (λa 0 ) + (λa 1 )x + · · · + (λan)xn.

2. Sejam A ⊂ R e F (A; R) o conjunto de todas as func¸ ˜oes f : A → R. Se f, g ∈ F (A; R) e λ ∈ R defina f + g : A → R por (f + g)(x) = f (x) + g(x) e (λf )(x) = λf (x), x ∈ A. Ent˜ao, F (A; R) com esta adic¸ ˜ao e produto por escalar ´e um espac¸o vetorial.

1.2. PROPRIEDADES 13

6. (λ + μ) x = xλ+μ^ = xλxμ^ = xλ^
   xμ^ = (λ x)
   (μ x) para quaisquer x ∈ V e λ, μ ∈ R;
7. λ (x
   y) = λ (xy) = (xy)λ^ = xλyλ^ = (λ x)
   (λ y) para quaisquer x, y ∈ V e λ ∈ R;
8. 1 x = x^1 = x para qualquer x ∈ V.

Ex. 1.7 Considere V = (0, ∞) com a adic¸ ˜ao usual + de n´umeros reais (faz sentido pois a soma de dois n´umeros reais positivos resulta em um n´umero posi- tivo) e o produto por escalar como acima. Mostre que isto n˜ao ´e um espac¸o vetorial.

1.2 Propriedades

Das oito propriedades que definem um espac¸o vetorial podemos concluir v´arias outras. Listaremos algumas destas propriedades na seguinte

Proposic¸ ˜ao 1.8 Seja V um espac¸o vetorial. Temos

1. Se u + w = v + w ent˜ao u = v.
2. Para qualquer λ ∈ R, λ0 = 0.
3. Para qualquer u ∈ V, 0 u = 0.
4. Se λu = 0 ent˜ao λ = 0 ou u = 0.
5. Para quaisquer λ ∈ R e u ∈ V, (−λ)u = λ(−u) = −(λu).
6. Para qualquer u ∈ V, −(−u) = u.
7. Se u, v ∈ V ent˜ao existe um ´unico w ∈ V tal que u + w = v.

Prova:

14 CAP´ITULO 1. ESPAC¸ OS VETORIAIS

1. Pelas propriedades EV3, EV4 e EV2 temos que

u = u + 0 = u + (w + (−w)) = (u + w) + (−w)

= (v + w) + (−w) = v + (w + (−w)) = v + 0 = v.

2. Pelas propriedades EV3 e EV7 temos 0 + λ0 = λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ 0. Pelo item anterior, λ0 = 0.
3. Pelas propriedades EV3 e EV6 temos 0 + 0u = 0u = (0 + 0)u = 0u + 0u. O resultado segue do item 1.
4. Se λ 6 = 0 ent˜ao pelas propriedades EV8 e EV5 e pelo item 2 desta proposi- c¸ ˜ao, u = 1u = (λ−^1 λ)u = λ−^1 (λu) = λ−^1 0 = 0.
5. Utilizando a propriedade EV6 e o item 3 desta proposic¸ ˜ao, obtemos λu + (−λ)u = (λ + (−λ))u = 0u = 0. Pela observac¸ ˜ao 1.4, −(λu) = (−λ)u. Analogamente, utilizando-se a propriedade EV7, mostra-se que −(λu) = λ(−u).

A prova dos outros resultados ´e deixada como exerc´ıcio.

Ex. Resolvido 1.9 Seja V um espac¸o vetorial. Mostre que se V 6 = { 0 } ent˜ao V tem infinitos elementos.

Resoluc¸ ˜ao: Note que se encontrarmos uma func¸ ˜ao f : R → V que seja inje- tora ent˜ao V ter´a infinitos elementos, pois para cada λ ∈ R corresponder´a um elemento distinto f (λ) de V. Tome v ∈ V, v 6 = 0. Defina f : R → V por f (λ) = λv. Para mostrar que f ´e injetora, tomemos λ, μ ∈ R tais que f (λ) = f (μ). Devemos mostrar que λ = μ. Como λv = f (λ) = f (μ) = μv, obtemos λv − (μv) = 0. Pelo item 4 da proposic¸ ˜ao 1.8 temos 0 = λv − (μv) = λv + (−μ)v = (λ − μ)v. Como v 6 = 0, pelo item 3 da mesma proposic¸ ˜ao, segue que λ − μ = 0, isto ´e, λ = μ. 

16 CAP´ITULO 1. ESPAC¸ OS VETORIAIS

Cap´ıtulo 2

Subespac¸os Vetoriais

2.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos

MUitas vezes nos depararemos com certos subconjuntos de um espac¸o veto-

rial que possuem a propriedade de que a soma de dois de seus elementos ´e um elemento do pr´oprio subconjunto bem como quando multiplicamos um elemento do subconjunto por um escalar, o resultado continua pertencendo ao subconjunto.

Definic¸ ˜ao 2.1 Seja V um espac¸o vetorial. Dizemos que W ⊂ V e um subespac´ ¸o vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condic¸ ˜oes:

(SV1) 0 ∈ W ;

(SV2) Se u, v ∈ W ent˜ao u + v ∈ W ;

(SV3) Se u ∈ W ent˜ao λu ∈ W para todo λ ∈ R.

Observac¸ ˜ao 2.2 Note que todo subespac¸o vetorial W de um espac¸o vetorial V ´e ele pr´oprio um espac¸o vetorial. As propriedades comutativa, associativa, distributivas e EV 8 s˜ao herdadas do pr´oprio espac¸o vetorial V. O elemento neu- tro da adic¸ ˜ao ´e um elemento de W por SV 1. Finalmente, se u ∈ W ent˜ao −u = (−1)u ∈ W pelo item 5 da proposic¸ ˜ao 1.8 e por SV 3.

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2.2. INTERSEC¸ ˜AO E SOMA DE SUBESPAC¸ OS 19

2. Se y 1 , y 2 ∈ S ent˜ao (y 1 + y 2 )′′^ − (y 1 + y 2 ) = (y 1 ′′ − y 1 ) + (y 2 ′′ − y 2 ) = 0. Logo, y 1 + y 2 ∈ S.
3. Se y ∈ S e λ ∈ R ent˜ao (λy)′′^ − λy = λ(y′′^ − y) = 0. Portanto, λy ∈ S.

Deixamos como exerc´ıcio a verificac¸ ˜ao de que os seguintes exemplos s˜ao subespac¸os vetoriais dos respectivos espac¸os vetoriais.

Exemplo 2.8 Sejam a 1 ,... , an ∈ R e S = {(x 1 ,... , xn) ∈ Rn; a 1 x 1 + · · · + anxn = 0}. Mostre que S e um subespac´ ¸o vetorial de Rn.

Exemplo 2.9 O conjunto das func¸ ˜oes cont´ınuas da reta na reta, denotado por C(R; R), ´e um subespac¸o vetorial de F (R; R).

Exemplo 2.10 O conjunto das func¸ ˜oes f ∈ C([a, b]; R) tais que

∫ (^) b

a

f (x)dx = 0

´e um subespac¸o vetorial de C([a, b]; R).

Exemplo 2.11 O conjunto das matrizes sim´etricas quadradas de ordem n com coeficientes reais ´e um subespac¸o vetorial de Mn(R).

Exemplo 2.12 Sejam m, n ∈ N com m ≤ n. Ent˜ao Pm e um subespac´ ¸o de Pn.

2.2 Intersec¸ ˜ao e Soma de Subespac¸os

Proposic¸ ˜ao 2.13 (Intersec¸ ˜ao de subespac¸os) Sejam U e W subespac¸os vetori- ais de V. Ent˜ao U ∩ W e subespac´ ¸o vetorial de V.

Prova:

1. Como 0 ∈ U e 0 ∈ W ent˜ao 0 ∈ U ∩ W ;
2. Se x, y ∈ U ∩ W e λ ∈ R ent˜ao x + λy ∈ U e x + λy ∈ W. Portanto, x + λy ∈ U ∩ W.

20 CAP´ITULO 2. SUBESPAC¸ OS VETORIAIS

Quest˜ao: Com a notac¸ ˜ao da proposic¸ ˜ao acima, podemos afirmar que U ∪ W e´ subespac¸o vetorial de V? Resposta : N˜ao. Basta considerar V = R^2 , U = {(x, y) ∈ R^2 ; x + y = 0} e W = {(x, y) ∈ R^2 ; x − y = 0}. Note que (1, −1) ∈ U ⊂ U ∪ W e (1, 1) ∈ W ⊂ U ∪ W mas (1, −1) + (1, 1) = (2, 0) 6 ∈ U ∪ W.

Proposic¸ ˜ao 2.14 Sejam U e W subespac¸os vetoriais de V. Ent˜ao U ∪ W e´ subespac¸o vetorial de V se e somente se U ⊂ W ou W ⊂ U.

Prova: Se U ⊂ W ent˜ao U ∪ W = W , que ´e um subespac¸o vetorial de V. Se W ⊂ U ent˜ao U ∪ W = U , que tamb´em ´e um subespac¸o vetorial de V Reciprocamente, suponha que U 6 ⊂ W e W 6 ⊂ U. Queremos mostrar que U ∪ W n˜ao ´e subespac¸o vetorial de V. Como U 6 ⊂ W existe u ∈ U tal que u 6 ∈ W. Da mesma forma, como W 6 ⊂ U existe w ∈ W tal que w 6 ∈ U. Assim, u, w ∈ U ∪ W. Seja v = u + w. Se U ∪ W fosse subespac¸o vetorial de V ent˜ao v ∈ U ∪ W , isto ´e, v ∈ U ou v ∈ W. No primeiro caso, ter´ıamos w = v − u ∈ U , pois U e um subespac´ ¸o vetorial, mas w 6 ∈ U. No segundo caso, ter´ıamos u = v − w ∈ W , pois W ´e um subespac¸o vetorial, mas u 6 ∈ W. Ou seja, U ∪ W n˜ao ´e subespac¸o vetorial de V.

Se U e W s˜ao subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V e V ′^ ´e um subespac¸o de V que contenha U e W, isto ´e, U ∪ W ⊂ V ′^ ent˜ao V ′^ ter´a que conter todos os vetores da forma u + w, u ∈ U e w ∈ W. Isto motiva a seguinte

Definic¸ ˜ao 2.15 Sejam U e W subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V. Definimos a soma de U e W como U + W = {u + w; u ∈ U, w ∈ W }.

Proposic¸ ˜ao 2.16 (Soma de subespac¸os) Sejam U, W e V como na definic¸ ˜ao acima. Ent˜ao U + W ´e um subespac¸o vetorial de V. Al´em do mais, U ∪ W ⊂ U + W.

Prova: Verifiquemos que U + W e subespac´ ¸o vetorial de V.

1. Como 0 ∈ U e 0 ∈ W ent˜ao 0 = 0 + 0 ∈ U + W ;