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Prof. Luís Humberto Miquelino - Cálculo Diferencial e Integral II Análise do comportamento das funções Neste momento usaremos a derivada para obtermos algumas informações (intervalos onde a curva é crescente ou decrescente, pontos de máximo e mínimo, concavidades) sobre uma curva y = f ( x )
e assim encontrar um método geral no qual podemos construir gráficos de funções. Funções crescentes e decrescentes
Os termos crescente, decrescente e constante são usados para descrever o comportamento de uma função em um dado intervalo.
Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b). i. Se f ' ( x )> 0 para todo valor de x em (a, b), então f é crescente em [a, b]. ii. Se f ' ( x )< 0 para todo valor de x em (a, b), então f é decrescente em [a, b]. iii. Se f ' ( x )= 0 para todo valor de x em (a, b), então f é constante em [a, b].
Este teorema também é conhecido como o Teste da derivada primeira , resumindo teremos:
i) Se f ' ( x )> 0 sobre um intervalo, então f é crescente neste intervalo. ii) Se f ' ( x )< 0 sobre um intervalo, então f é decrescente neste intervalo.
iii) Se f ' ( x )= 0 sobre um intervalo, então f é constante neste intervalo. Observação: Os pontos críticos ocorrem quando a função resultante da derivada primeira é igual à zero, ou quando não existe imagem para ela. Poderíamos indicar, usando as notações matemáticas que os pontos críticos são determinados quando f ' ( x )= 0 ou quando f ' ( x )= ∃/.
Exemplo 1:
1.1) Encontre os intervalos nos quais
f ( x )= − x^2 + 2 x + 3 é crescente e os
intervalos nos quais é decrescente. a) Primeiro achamos a derivada primeira da
função : f ' ( x )= − 2 x + 2
b) Determinando o(s) ponto(s) crítico(s):
x x
f x
c) Se analisarmos o SINAL DA DERIVADA PRIMEIRA verificamos que a mesma é uma função polinomial de 1º grau sendo a < 0. Logo seu gráfico é uma reta decrescente. Assim temos:
- Se x < 1 ⇒ f '( x )> 0 , logo a função f ( x ) é crescente.
- Se x > 1 ⇒ f '( x )< 0 , logo a função f ( x ) é decrescente.
- Se x = 1 ⇒ f '( x )= 0 , logo este é o ponto crítico da função.
Prof. Luís Humberto Miquelino - Cálculo Diferencial e Integral II
O gráfico da função f ( x )= − x^2 + 2 x + 3 :
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−
−
1
2
3
4
x
y
1.2) Encontre os intervalos nos quais
f ( x )= x^3 − 3 x + 1 é crescente e os intervalos nos quais é decrescente. f ' ( x )= 3 x^2 − 3
Para fazermos o estudo do sinal, devemos encontrar o zero ou a raiz da função quadrática, que são chamados de pontos críticos da função, em seguida fazemos o estudo do sinal de f ' ( x ).
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
f x
Observe, na reta, que a função é positiva nos intervalos onde x <− 1 e x > 1 , e a função é negativa no intervalo onde − 1 < x < 1. Assim, pelo teste acima, podemos dizer que:
- A função é crescente no intervalo ( −∞, − 1 ).
- A função é crescente no intervalo ( 1 ,∞).
- A função é decrescente no intervalo (− 1 , 1 ).
Concavidade Ampliando nossa idéia sobre concavidade.
De maneira mais simples podemos utilizar o estudo do sinal da derivada segunda da função para encontrarmos o intervalo onde a concavidade estará voltada para cima e/ou para baixo. Este teorema é conhecido como o teste da concavidade.
Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I. i. Se f ' '( x )> 0 para cada valor de x em I , então f é côncava para cima em I. ii. Se f ' '( x )< 0 para cada valor de x em I , então f é côncava para baixo em I.
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Em geral dizemos que uma função f ( x )
possui um máximo local no ponto x = c se f ( c )≥ f ( x ) quando x estiver nas proximidades de
c. Analogamente, f ( x ) tem um mínimo local no
ponto x = c se f ( c )≤ f ( x ) quando x estiver nas
proximidades de c. Este número c é chamado de número crítico se f ' ( c )= 0 ou se f ' ( c ) não
existir. Já o ponto ( c , f ( c )), do gráfico de f ( x ), é
chamado de ponto crítico de f ( x ). Para encontrar
os números críticos da função, bastar igualar à derivada primeira da função a zero, ou seja, f ' ( x )= 0. Teste da derivada primeira Em um número crítico x = c, se:
i) f ' ( x ) é negativa à esquerda de c e positiva à direita de c, então f ( x ) possui um mínimo local em c. ii) f ' ( x ) é positiva à esquerda de c e negativa à direita de c, então f ( x ) possui um máximo local em c. iii) f ' ( x )possui o mesmo sinal em ambos os lados de c, então f ( x ) não tem máximo ou mínimo locais em c. A derivada segunda ainda pode ser usada para classificar os pontos críticos de f ( x ) como
máximos ou mínimos locais. Para isso basta conhecermos f " ( c ) e não em um intervalo em torno de c, mas esse teste não funciona quando f " ( c )= 0 ou quando f " ( c )não existir. Teste da segunda derivada i) Se f ' ( c )= 0 e f " ( c )> 0 , então f tem um mínimo local em c. ii) Se f ' ( c )= 0 e f " ( c )< 0 , então f tem um máximo local em c
Vamos testar os números críticos da função f ( x )= x^3 − 12 x + 10 através da derivada segunda e descobrir onde f ( x ) tem máximos e mínimos locais.
2
2
2
2
2
3
f
f
f x x
x
x
x
x
x
x
f x
f x x
f x x x
Portanto, f tem um máximo local em x = -
f
f
f
f x x
Portanto, f tem um mínimo local em x = Observe que o resultado está coerente com o teste da derivada primeira feito anteriormente.
Prof. Luís Humberto Miquelino - Cálculo Diferencial e Integral II Método para esboçar um gráfico
Agora temos condições de fazer o esboço de alguns gráficos seguindo os passos abaixo:
1° - Determine o domínio de f ( x ).
2° - Calcule os pontos de intersecção com os eixos. (quando não requer muito cálculo) 3° - Calcule f ' ( x ) e use-a para determinar os
números críticos de f ( x ) e os intervalos em que a
função é crescente e decrescente. 4º - Encontre os máximos e mínimos locais. 5º - Calcule f " ( x ) e use-a para determinar os
intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. 6º - Faça o esboço gráfico.
Exemplo:
Esboce o gráfico da função f ( x )= x^3 − 3 x + 1.
Seguindo os passos acima: 1º) D = IR
2º) f ( 0 )= 03 − 3 ⋅ 0 + 1 = 1 o ponto (0,1) é onde a curva corta o eixo y.
3º)
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
f x
f x x
Os números críticos são -1 e 1 e de acordo com o teste da primeira derivada para crescimento e decrescimento, a função é crescente nos intervalos ( −∞, − 1 )e ( 1 ,∞) , a função é decrescente no intervalo (− 1 , 1 ). 4º) De acordo com o teste da derivada primeira para extremos locais f ( x ) possui um mínimo local em 1 e f ( x ) possui um máximo local em –1. 5º)
x
x
x
f x
f x x
Neste caso, pelo teste da concavidade, a função é côncava para baixo no intervalo (−∞, 0 ) w é côncava para cima no intervalo ( 0 ,∞). Substituindo x = 0 na função f ( x ), temos que f ( 0 )= 1. Portanto, o ponto de inflexão é igual a P(0,1).
6º) Vamos fazer o esboço gráfico da função, mas antes é necessário encontrar todas as coordenadas
Prof. Luís Humberto Miquelino - Cálculo Diferencial e Integral II
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−
−
−
1
2
3
4
5
6
7
x
y
ATIVIDADES
1- Determine os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes:
[ ]
2 3 2 4 3
= x
a y x
b y x x
c y x x x
d y x x
e y sen x
f y e
2- Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2 2 3 2
a f x x b f x x c f x x x d f x x x
3- Dadas as funções a seguir:
[ ]
3 2 3 2 4 3 2
) cos( ) 0, 2 π
I f x x x x II f x x x x III f x x x x IV y x
a) Encontrar os intervalos em que as funções são crescentes ou decrescentes; b) Encontre os valores de máximo ou mínimo relativos; c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Prof. Luís Humberto Miquelino - Cálculo Diferencial e Integral II REFERENCIAL 1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a C b D C c C d D C e C D f C
a) y máximo = 7, y mínimo = - 5 b) y máximo = 5, y mínimo = - 3 c) y máximo = 22, y mínimo = 4 d) y máximo = 100, y mínimo = 0
I)
a) (^) ( −∞ −, (^3) ) ∪ (^) ( 2, +∞ (^) ) C , (^) ( −3, 2) D
b) x máximo = -3, x mínimo = 2
c) (^) ( −∞,1/ 2 (^) ) f(x) é côncava para cima
(1/ 2, +∞^ ) f(x)^ é côncava para baixo (1/ 2, f (1/ 2))Ponto de Inflexão
II)
a) (^) ( −∞ −, (^4) ) ∪ (^) ( 0, +∞ (^) ) C , (^) ( −4, 0) D
b) x máximo = -4, x mínimo = 0
c) ( −∞ −, 2 ) f(x) é côncava para cima
( −2,^ +∞^ ) f(x)^ é côncava para baixo ( −2,^ f^ ( 2)− )Ponto de Inflexão
III)
a) (^) ( −∞, 0 (^) ) D , (^) ( 0,+∞) C b) x máximo = 1, x mínimo = 0 c) (^) ( −∞, 0 (^) ) ∪ (^) ( 4 / 3,+∞ (^) ) f(x) é côncava para cima ( 0, 4 / 3 ) f(x) é côncava para baixo ( 0, f (0))Ponto de Inflexão 1 ( 4 / 3, f (4 / 3))Ponto de Inflexão 2
IV)
a) (^) ( 0, π) D , (^) ( π , 2π) C b) x máximo = 0 e 2 π , x mínimo = π c) (^) ( 0, π/ 2) ∪ (^) ( 3 π / 2, 2π) f(x) é côncava para cima ( π^ / 2,3π^ / 2) f(x)^ é côncava para baixo ( π / 2, 0)Ponto de Inflexão 1 ( 3 π^ / 2, 0)Ponto de Inflexão 2
