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Anéis e Subanéis
Flávio Ulhoa Coelho
Vimos até agora uma série de conjuntos munidos de estruturas algébricas que, a despeito de diferenças óbvias e signi cativas, desfrutavam de similaridades. Uma característica comum a todos esses conjuntos era que, neles, estavam de nidas duas operações, adição e multiplicação, satisfazendo certas propriedades básicas (associatividade; por vezes comutatividade; existência de elementos neutros, dentre outras). Nosso próximo objetivo é nomear tais estruturas algébricas levando-se em conta o que elas têm em comum, ou dito de outra forma, os padrões compartilhados. Isso irá facilitar a compreensão dos conjuntos a partir das operações que possam ser ali de nidas.
0.1 De nições e propriedades básicas
De nição 0.1 Um anel A é um conjunto não vazio munido de duas operações, adição (+) e multiplicação (·), satisfazendo as seguintes propriedades:
(A1) (associatividade da adição) Para todos a, b, c em A, vale que (a + b) + c = a + (b + c).
(A2) (comutatividade da adição) Para todos a, b em A, vale que a + b = b + a.
(A3) (existência de elemento neutro da adição) Existe um elemento em A, que denotaremos por 0 , tal que para todo a em A, vale a + 0 = 0 + a = a.
(A4) (existência de elementos opostos) Para cada a em A, existe um elemento em A, que deno- taremos por −a, tal que a + (−a) = (−a) + a = 0.
(M1) (associatividade da multiplição) Para todos a, b, c em A, vale que (a · b) · c = a · (b · c).
(D) (distributividade) Para todos a, b, c em A, vale que a · (b + c) = a · b + a · c e que (a + b) · c = a · c + b · c.
Observações 0.1 Seja A um anel. (1) O elemento que denotamos por 0 na propriedade (A3) é o único que satisfaz a propriedade requerida. De fato, se b ∈ A for tal que a + b = b + a = a para
1
todo a ∈ A, seguirá que 0 + b = b e 0 + b = 0. Logo b = 0. Devido a essa unicidade, chamamos esse elemento distinguido 0 de zero de A. (2) O elemento que denotamos por −a (na propriedade (A4)) é também único com relação a essa propriedade. De fato, se b ∈ A for tal que a + b = 0, então somando-se −a nos dois lados dessa expressão, teríamos (−a) + (a + b) = (−a) + 0
de onde seguirá que
−a = −a + 0 = (−a) + (a + b) = ((−a) + a) + b = 0 + b = b (∗)
e −a é único elemento, dado a, sarisfazendo (A4) e, por isso, vamos chamar de oposto de a. Observe, também, que no cálculo (∗) utilizamos as propriedades (A1), (A3) e (A4).
Exemplo 0.1 Observe que os conjuntos Z , Q , R , C , H, Z (^) m (m ∈ Z ), A [t] (com A = Z , Q , R ou C ), M (^) n(A ) (com A = Z , Q , R ou C ) discutidos nos capítulos anteriores são exemplos de anéis. Mas é fácil ver que eles também satisfazem propriedades adicionais, uns mais do que outros. Vamos especi car isso melhor, nomeando as diferenças e, também, ver novos exemplos.
De nição 0.2 Seja A um anel.
(a) Dizemos que A é um anel comutativo se, além das propriedades de nidores de anel, A também satisfaz: (M2) (comutatividade da multiplicação) Para todos a, b em A, vale que a · b = b · a.
(b) Dizemos que A é um anel com unidade se, além das propriedades de nidores de anel, A também satisfaz: (M3) (existência de elemento neutro da multiplicação) Existe um elemento em A, que denotaremos por 1 , tal que para todo a em A, vale a · 1 = 1 · a = a.
Exemplo 0.2 (a) De todos os conjuntos listados no Exemplo 0.1, apenas H e os conjuntos de matrizes não são comutativos. Por outro lado, todos eles são exemplos de anéis com unidade. (b) Vamos construir um anel sem unidade. Podemos começar nossa discussão olhando para o anel Z. É claro que Z possui unidade 1. Nossa ideia é considerar um subconjunto de Z que não contenha o elemento 1 mas que ainda preservem as características de ser um anel: as duas operações e suas propriedades. Não basta, por isso, tirar apenas o elemento 1 de Z e considerar o conjunto Z˜ = Z \ { 1 }, pois nesse caso a adição de Z não estaria bem de nida nesse subconjunto (por exemplo, a soma de dois elementos 3 , − 2 ∈ Z˜ seria igual a um elmento que não pertence a Z^ ˜ ). É necessário retirar, além do 1, outros elementos que possam, ao somarmos, produzirem o 1. Uma ideia nessa direção poderia ser retirar todos os números ímpares e, portanto, considerarmos o conjunto 2 Z = {· · · , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , · · · }
Uma observação antes de terminarmos esse exemplo. Não há nada de muito especial no número 2, poderíamos ter escolhido qualquer número m distinto de − 1 , 0 , 1 que o conjunto mZ formado pelos múltiplos de m seria um anel (comutativo) sem unidade. (c) Vamos considerar o seguinte conjunto de funções
F ([0, 1], R ) = {f : [0, 1] −→ R }
munido das seguintes operações. Dados f, g ∈ F ([0, 1], R ), de nimos f + g : [0, 1] −→ R e f · g : [0, 1] −→ R dados por (f + g)(x) = f (x) + g(x) e (f · g)(x) = f (x) · g(x), respectivamente. Deixamos ao leitor veri car as propriedades que fazem esse conjunto ser um anel comutativo com unidade.
Quando discutimos o conjunto dos inteiros Z , observamos que, apesar de serem só dois os seus elementos com inversos (no caso, 1 e − 1 ), esse conjunto satisfazia uma propriedade que se mostrou importante: o produto de dois inteiros não nulos é um elemento não nulo. Esse fato, por exemplo, foi essencial, para que mostrássemos a Lei do Cancelamento da Multiplicação para Z. Com isso em mente, vamos fazer a próxima de nição.
De nição 0.3 Seja A um anel.
(a) Dizemos que um elemento não nulo a ∈ A é um divisor de zero de A se existir b ∈ A também não nulo tal que ou a · b = 0 ou b · a = 0.
(b) Dizemos que A é um domínio de integridade se A for um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero.
Observação 0.1 Observe que se a 6 = 0 for um divisor de zero em um anel e se b 6 = 0 for tal que a · b = 0, não é sempre verdade que b · a = 0 (há um exemplo de matrizes 2 × 2 no arquivo Estruturas não comutativas onde isso ocorre). É claro que, se A for comutativo, então isso valerá. A rigor, poderíamos usar uma terminologia como divisor de zero à direita ou à esquerda dependendo de qual produto daria zero, mas não entraremos em tais nuances. A de nição acima será su ciente para o que propomos.
É claro que Z é um domínio de integridade. Outros exemplos incluem os conjuntos de polinômios estudados. Por outro lado, vimos que conjuntos como Z (^) m (com m não primo) ou conjuntos de matrizes quadradas possuem elementos divisores de zero e portanto não serão domínios. O conjunto Z 4 , por exemplo, é um anel comutativo com unidade mas com divisores de zero (por exemplo, 2 ). Vimos também que o conjunto de matrizes n × n (com n ≥ 2 ) possui divisores de zero. Para referência futura, vamos enunciar as Leis do Cancelamento e deixar o detalhamento das demonstrações aos leitores (compare com o que zemos para Z ).
0.1. DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS 5
Proposição 0.1 Sejam A um anel e a, b, c ∈ A.
(LCA) Se a + b = a + c, então b = c.
(LCM) Assuma que A não tenha divisores de zero e que a 6 = 0. Se a · b = a · c, então b = c e se b · a = c · a , então b = c.
Vamos terminar nossa discussão inicial nomeando conjuntos que têm a propriedade de que todo elemento não nulo possui inverso. É o caso dos conjuntos Q , R , C , Z (^) p (com p primo) ou H.
De nição 0.4 Sejam A um anel com unidade e a ∈ A não nulo.
(a) Dizemos que a é invertível se existir um elemento a−^1 ∈ A tal que a · a−^1 = a−^1 · a = 1.
(b) A é chamado de anel com divisão se (M4) todo elemento não nulo de A for invertível.
(c) A é chamado de corpo se for comutativo e valer (M4) todo elemento não nulo de A for invertível.
Pelo que vimos até agora, os conjuntos Q , R , C , Z (^) p (com p primo) são exemplos de corpos enquanto que H é um anel com divisão (não comutativo). Iremos voltar à questão do estudo de elementos invertíveis em um outro texto. Mas antes, vamos estudar dois tipos de subestruturas de anéis, os subanéis e os ideais.
Exercício 0.1 Prove que se (A, +, ·) é um anel qualquer e se a, b, c ∈ A, então as seguintes propriedades são válidas (a) 0 · a = a · 0 = 0. (b) −(a · b) = (−a) · b = a · (−b). (c) (−a) · (−b) = a · b (d) a · (b − c) = a · b − a · c. (e) (b − c) · a = b · a − c · a. Se A tiver elemento neutro da multiplicação 1, mostre que (f) (−1) · a = −a (g) (−1) · (−1) = 1 (h) (−1) · (−a) = a.
Exercício 0.2 Exiba um anel não comutativo e sem unidade.
Exercício 0.3 Seja A ⊂ Z um subconjunto de Z que tenha a estrutura de anel com relação às operações de adição e multiplicação de Z. Mostre que existe m ∈ Z tal que A = mZ. Mostre também que, se 1 ∈ A, então A = Z.
Exercício 0.4 Mostre a Proposição 0.1.
Exercício 0.5 Mostre que o anel F ([0, 1], R ) de nido no Exemplo 0.2 (c) possui divisores de zero.
0.2. SUBANÉIS 7
das funções contínuas de [0, 1] em R. É claro que esse conjunto está contido em F ([0, 1], R ) e se considerarmos as mesmas operações do conjunto maior, podemos ver que Cont([0, 1], R ) é também um anel. Logo, será um subanel de F ([0, 1], R ). Observe que a soma e o produto de funções contínuas são também contínuas (isso é essencial para que as operações de F ([0, 1], R ) estejam bem de nidas em Cont([0, 1], R )).
Ao construírmos, no Exemplo 0.2(b) um anel sem unidade, vimos que certas propriedades operatórias de um anel A são naturalmente herdadas por qualquer subconjunto B de A se utilizarmos as mesmas operações nesses conjuntos. O próximo lema formaliza essa observação.
Lema 0.1 Sejam A um anel com operações +, · e B ⊂ A um subconjunto de A tal que se b, b′^ ∈ B, então tanto b + b′^ quanto b · b′^ também pertencem a B. Então as propriedades listadas como (A1), (A2), (M1) e (D) na de nição de anel também estão satisfeitas em B se levarmos em conta essas mesmas operações. Além disso, se A for comutativo, então a propriedade (M2) também será válida em B.
Demonstração. Deixado como exercício. Λ
Decorre desse lema que, para se veri car se um subconjunto B de um anel A é um subanel, devemos nos concentrar em dois pontos: (i) que as operações de A estejamo de nidas em B, isto é, que dados b, b′^ ∈ B, então tanto b + b′^ quanto b · b′^ também pertençam a B (dizemos, nesse caso, que esse subconjunto está fechado para essas operações); e (ii) nas propriedades que envolvam existência, isto é, nas propriedades (A3) e (A4) (no caso de anel), pois os elementos que sabemos existir em A podem não estar no subconjunto B. O seguinte resultado nos dá então um critério para quando um subconjunto de um anel é um subanel.
Proposição 0.2 Sejam A um anel com operações +, · e B ⊂ A um subconjunto não vazio de A. Então B é um subanel de A se as seguintes propriedades são válidas:
(a) Dados b, b′^ ∈ B, então b + b′^ ∈ B.
(b) Dados b, b′^ ∈ B, então b · b′^ ∈ B.
(a) Dado b ∈ B, então −b ∈ B.
Demonstração. Os itens (a) e (b) do enunciado garantem que o subconjunto B é fechado para as operações de adição e multiplicação de nidas em A. Usando-se Lema 0.1, já temos então garantida a validade das propriedades (A1), (A2), (M1) e (D) faltando portanto veri carmos (A3) e (A4). Observe que o item (c) do enunciado garante exatamente a validade de (A4). Agora, como B é não vazio,
segue que ele possui um elemento b. Por (c), temos que −b ∈ B. Agora, usando-se o item (a) (com b′^ = −b), teremos 0 = b + (−b) ∈ B
e a propriedade (A3) é assim veri cada. Logo B é um subanel de A. Λ
Terminamos essa seção com um exemplo.
Exemplo 0.4 Considere o seguinte subconjunto B do anel A = M 2 (R ):
B =
a 0 0 0
: a ∈ R
É claro que B ⊂ A. Vamos mostrar que B é um subanel de A e, para tal, utilizaremos a
Proposição 0.2. Dadas duas matrizes
a 0 0 0
a′^0 0 0
∈ B, é fácil ver que
( a 0 0 0
a′^0 0 0
a + a′^0 0 0
∈ B e
a 0 0 0
a′^0 0 0
a · a′^0 0 0
∈ B
e, com isso, B é fechado para as operações de adição e multiplicação de A. Para o item (c), basta
obaservar que, dada
a 0 0 0
∈ B,
a 0 0 0
−a 0 0 0
∈ B.
Logo, B é um subanel de A.
Antes de prosseguirmos, gostaríamos de fazer um comentário. Sabemos que
é a
unidade do anel M 2 (R ). No entanto, esse elemento não pertence a B. Isso signi ca que B não tem unidade?
Observe, no entanto, que o elemento
∈ B é tal que para todo
a 0 0 0
∈ B, temos ( a 0 0 0
a 0 0 0
a 0 0 0
ou, em outras palavras, (^1) B =
∈ B é a unidade no (sub)anel B. Em outras palavras,
tanto A quanto B possuem unidades, mas elas diferem como elementos.
Esse último exemplo mostra-nos que um subanel pode ter uma unidade distinta da do anel em que está contido. Isso, no entanto, não irá ocorrer sempre. O Exercício 0.16 abaixo nos diz que se A for um anel com unidade e sem divisores de zero e se B for um subanel de A com unidade, então essas unidades devem coincidir.
