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Estruturas Alg´ebricas B´asicas
- Cap´ıtulo
- 2.1 Estruturas Alg´ebricas B´asicas Conte´udo
- 2.1.1 Algebras Universais´
- 2.1.2 Reticulados e Algebras Booleanas .´
- 2.1.3 Semi-Grupos, Mon´oides e Grupos
- 2.1.4 Corpos
- 2.1.5 Espa¸cos Vetoriais
- 2.1.6 An´eis, M´odulos e Algebras´
- 2.1.6.1 An´eis
- 2.1.6.2 M´odulos
- 2.1.6.3 Algebras´
- 2.1.7 Exemplos Especiais de Algebras´
- 2.1.7.1 Algebras de Lie´
- 2.1.7.2 Algebras de Poisson´
- 2.1.7.3 Algebras de Jordan´
- 2.1.7.4 Algebras de Grassmann .´
- 2.1.7.5 Algebras de Clifford´
- 2.1.8 Mais sobre An´eis
- 2.1.9 A¸c˜oes e Representa¸c˜oes
- tomorfismos 2.1.10 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, Endomorfismos e Au-
- 2.1.11 Induzindo Estruturas Alg´ebricas
- 2.2 Grupos. Estruturas e Constru¸c˜oes B´asicas
- 2.2.1 Cosets
- 2.2.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente
- 2.2.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores
- 2.2.4 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Rela¸c˜oes
- 2.2.5 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos. O Produto Tensorial de Grupos Abelianos
- 2.2.5.1 O Produto Direto de Grupos
- 2.2.5.2 O Produto Semi-Direto Grupos
- 2.2.5.3 Produtos Tensoriais de Grupos Abelianos
- 2.3 Espa¸cos Vetoriais. Estruturas e Constru¸c˜oes B´asicas
- 2.3.1 Bases Alg´ebricas de um Espa¸co Vetorial
- 2.3.2 O Dual Alg´ebrico de um Espa¸co Vetorial
- 2.3.3 Subespa¸cos e Espa¸cos Quocientes
- 2.3.4 Somas Diretas de Espa¸cos Vetoriais
- 2.3.5 Produtos Tensoriais de Espa¸cos Vetoriais
- 2.3.5.1 Duais Alg´ebricos e Produtos Tensoriais
- 2.3.5.2 Produtos Tensoriais de um mesmo Espa¸co Vetorial. Espa¸cos Sim´etrico e Anti-Sim´etrico
- 2.3.5.3 O Produto Tensorial de M´odulos. Deriva¸c˜oes
- 2.4 An´eis e ´Algebras. Estruturas e Constru¸c˜oes B´asicas
- 2.4.1 Ideais em An´eis e Algebras Associativas´
- 2.4.1.1 Ideais em An´eis
- 2.4.1.2 Ideais em Algebras Associativas´
- 2.5 Algebras Tensoriais e ´´ Algebras Exteriores
- 2.5.2 Algebras Exteriores´ 2.5.1 Algebras Tensoriais 128´
2.6 T´opicos Especiais........................................... 131 2.6.1 O Grupo de Grothendieck........................................ 131 2.6.2 Grup´oides................................................. 133 2.6.3 Quat´ernios................................................ 134
A
o aprofundar seu estudo de Matem´atica o estudante freq¨uentemente depara com conceitos como o de grupo, semi-grupo, espa¸co vetorial, ´algebra, anel, corpo, m´odulo etc. Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e apresentar defini¸c˜oes b´asicas de tais conceitos acompanhadas, quando poss´ıvel, de alguns exemplos relevantes. Nossa inten¸c˜ao n˜ao ´e de forma alguma a de cobrir esses assuntos e seus resultados mais importantes, mas apenas a de introduzir ao leitor no¸c˜oes dessas estruturas alg´ebricas, de modo que o mesmo possa encontrar aqui referˆencias r´apidas `as mesmas quando delas necessitar. V´arios dos t´opicos aqui abordados ser˜ao desenvolvidos em cap´ıtulos posteriores, de modo que, como no caso do Cap´ıtulo 1 o objetivo n˜ao ´e um tratamento extensivo dos diversos assuntos. O estudante j´a familiar com alguns desses conceitos (os conceitos de grupo e ´algebra s˜ao populares entre estudantes de F´ısica) encontrar´a nessa exposi¸c˜ao uma vis˜ao unificada dos mesmos.
Este cap´ıtulo deve ser compreendido como uma continua¸c˜ao do Cap´ıtulo 1. O leitor pode achar ser este cap´ıtulo uma longa seq¨uˆencia de apenas defini¸c˜oes e exemplos, com poucos resultados, o que ´e parcialmente correto. Seu obje- tivo, por´em, ´e apresentar v´arias id´eias comuns a v´arias ´areas de um ponto de vista unificado e introduzir constru¸c˜oes empregadas ulteriormente.
2.1 Estruturas Alg´ebricas B´asicas
Ainda atentos ao car´ater introdut´orio apresentaremos aqui defini¸c˜oes e exemplos das estruturas alg´ebricas mais comuns.
Sejam C e I dois conjuntos n˜ao-vazios e consideremos o produto Cartesiano CI^ (o conceito de produto Cartesiano de conjuntos foi definido `a p´agina 27). Uma fun¸c˜ao f : CI^ → C ´e por vezes dita ser uma opera¸c˜ao sobre C. Se I ´e um conjunto finito, f ´e dita ser uma opera¸c˜ao finit´aria sobre C.
Um conjunto R ⊂ CI^ ´e dito ser uma rela¸c˜ao em C. Se I ´e um conjunto finito, R ´e dito ser uma rela¸c˜ao finit´aria em C.
Sejam C e I dois conjuntos e consideremos fun¸c˜oes f : CI^ → C. Se I ´e um conjunto finito f : CI^ → C ´e dita ser uma fun¸c˜ao finit´aria sobre C ou opera¸c˜ao finit´aria sobre C. Sem perda de generalidade consideraremos aqui fun¸c˜oes finit´arias do tipo f : Cn^ → C para algum n ∈ N. Se f ´e uma fun¸c˜ao finit´aria para um dado n, f ´e dita ser uma fun¸c˜ao n-´aria sobre C. Um exemplo de uma fun¸c˜ao n˜ao finit´aria seria uma fun¸c˜ao do tipo f : CN^ → C que a cada seq¨uˆencia em C associa um elemento de C.
Fun¸c˜oes 2-´arias ser˜ao chamadas aqui de fun¸c˜oes bin´arias e fun¸c˜oes 1-´arias s˜ao chamadas de fun¸c˜oes un´arias. Fun¸c˜oes un´arias e bin´arias s˜ao as de maior relevˆancia.
Por vezes iremos falar tamb´em de fun¸c˜oes 0-´arias sobre C, que consistem em fun¸c˜oes f : {∅} → C. Uma tal fun¸c˜ao tem por imagem simplesmente um elemento fixo de C. Exemplos de fun¸c˜oes 0-´arias sobre R seriam f (∅) = 1 ou f (∅) = 0 ou f (∅) =
- Freq¨uentemente denotamos tais fun¸c˜oes pelo elemento de C por ela associado. Nos trˆes exemplos acima, poder´ıamos denotar as fun¸c˜oes por 1, 0 ou
2, respectivamente.
Um conjunto C dotado de uma rela¸c˜ao bin´aria C × C → C ´e dito ser um magma. Essa nomenclatura foi introduzida por Bourbaki^1 mas n˜ao ´e, por´em, universalmente empregada.
(^1) Nicolas Bourbaki. Nome coletivo adotado por um grupo de importantes matem´aticos franceses, nascido por volta de 1935, que teve grande, mas declinante, influˆencia na estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao da Matem´atica ao longo do s´eculo XX. O grupo Bourbaki sofreu diversas cr´ıticas pelo seu abstracionismo, considerado em certos c´ırculos como excessivo e mesmo est´eril.
A associatividade permite-nos eliminar os parˆenteses de express˜oes como aχ(bχc), que podem ser escritas sem am- big¨uidade na forma aχbχc.
Dadas duas fun¸c˜oes bin´arias χ 1 , χ 2 : C^2 → C, dizemos que χ 1 ´e distributiva em rela¸c˜ao a χ 2 se valer
χ 1
a, χ 2 (b, c)
= χ 2
χ 1 (a, b), χ 1 (a, c)
ou seja, aχ 1 (bχ 2 c) = (aχ 1 b)χ 2 (aχ 1 c)
para quaisquer a, b, c ∈ C.
2.1.1 Algebras Universais´
Uma ´algebra Universal ´e constitu´ıda por um conjunto C e uma cole¸c˜ao F de fun¸c˜oes finit´arias sobre C. A cole¸c˜ao F n˜ao precisa ser finita. Freq¨uentemente denotaremos uma ´algebra universal por 〈C, F〉.
O estudo sistem´atico das ´algebras universais foi iniciado por Withehead^3 e Birkhoff^4 , tendo Boole^5 , Hamilton^6 , De Morgan^7 e Sylvester^8 como precursores. Para uma referˆencia, vide [60]. Vamos a alguns exemplos.
- Seja C = R e F = {s, m}, onde s e m s˜ao duas fun¸c˜oes bin´arias dadas por s : R^2 → R, s(x, y) = x + y e m : R^2 → R, s(x, y) = x · y.
- Seja C = Mat(n) (o conjunto das matrizes complexas n × n para um certo n ∈ N) e F = {s, m}, onde s e m s˜ao duas fun¸c˜oes bin´arias dadas por s : C^2 → C, s(A, B) = A + B e m : C^2 → C, s(A, B) = A · B.
- Seja C o conjunto de todas as matrizes complexas n × m (para n e m ∈ N) e seja F = {c, s, t} onde c : C → C ´e a fun¸c˜ao un´aria dada por c(A) = A (a matriz complexo-conjugada de A), s : C^2 → C ´e a fun¸c˜ao bin´aria dada por s(A, B) = A + B e t : C^3 → C ´e a fun¸c˜ao 3-´aria dada por t(A, B, C) = ABT^ C, onde BT^ ´e a transposta da matriz B.
Algumas ´algebras universais com propriedades especiais de importˆancia em Matem´atica recebem denomina¸c˜oes pr´oprias e s˜ao chamadas de grupos, semi-grupos, an´eis, corpos etc. Vamos introduz´ı-las adiante. Em todos elas as fun¸c˜oes de F s˜ao 0-´arias, un´arias ou bin´arias.
Algumas estruturas freq¨uentemente encontradas, como espa¸cos vetoriais, ´algebras e m´odulos, n˜ao se enquadram exatamente no conceito de ´algebra universal, mas podem ser encarados como constitu´ıdos por pares de ´algebras universais dotadas de uma a¸c˜ao de uma das ´algebras universais sobre a outra. A no¸c˜ao abstrata de a¸c˜ao de uma ´algebra universal sobre uma outra ´algebra universal ser´a vista mais adiante.
A leitura do restante desta subse¸c˜ao sobre ´algebras universais pode ser omitida pois n˜ao afetar´a o que segue.
- Morfismos entre ´algebras universais
Sejam 〈A, A〉 e 〈B, B〉 duas ´algebras universais. Uma fun¸c˜ao ∆ : A → B ´e dita preservar o tipo das opera¸c˜oes de A se para todo α ∈ A a opera¸c˜ao ∆(α) ∈ B tiver o mesmo tipo que a opera¸c˜ao α.
Assim, uma aplica¸c˜ao que preserva o tipo leva aplica¸c˜oes un´arias em un´arias, aplica¸c˜oes bin´arias em bin´arias etc. Um morfismo da ´algebra universal 〈A, A〉 na ´algebra universal 〈B, B〉 ´e um par de aplica¸c˜oes 〈D, ∆〉 com D : A → B e ∆ : A → B, onde ∆ ´e uma aplica¸c˜ao que preserva o tipo e de tal forma que para todo α ∈ A tenhamos
D ◦ α = ∆(α) ◦ D
como aplica¸c˜oes An^ → B, onde n ´e o tipo de α.
Isso significa que para todo α ∈ A temos
D(α(a 1 ,... , an)) = ∆(α)(D(a 1 ),... , D(an)) (^3) Alfred North Withehead (1861–1947). (^4) George David Birkhoff (1884–1944). (^5) George Boole (1815–1864). (^6) William Rowan Hamilton (1805–1865). (^7) Augustus De Morgan (1806–1871). (^8) James Joseph Sylvester (1814–1897).
para toda (a 1 ,... , an) ∈ An, n sendo o tipo de α.
Exemplo. Sejam as ´algebras universais 〈R+, {·, 1 }〉 e 〈R, {+, 0 }〉 com as defini¸c˜oes usuais e seja o par 〈 ln, L〉, onde ln : R+ → R ´e o logaritmo Neperiano^9 e L : {·, 1 } → {+, 0 } dado por L(·) = +, L(1) = 0. Ent˜ao 〈 ln, L〉 ´e um morfismo de 〈R+, {·, 1 }〉 em 〈R, {+, 0 }〉, dado que para todo a, b ∈ R+ vale
ln(a · b) = ln(a) + ln(b).
- A¸c˜oes de uma ´algebra universal sobre uma outra ´algebra universal
Por raz˜oes de completeza apresentaremos aqui a no¸c˜ao geral de a¸c˜ao de uma ´algebra universal sobre uma outra. Vamos come¸car com algumas defini¸c˜oes. Sejam A e B dois conjuntos e seja uma fun¸c˜ao G : A × B → B. Para todo n, m ∈ N definamos G(n,^ 1)^ : An^ × B → Bn^ tal que (a 1 ,... , an, b) 7 → (G(a 1 , b),... , G(an, b))
com ai ∈ A, b ∈ B.
Para todo m, m ∈ N definamos G(1, m)^ : A × Bm^ → Bm^ tal que (a, b 1 ,... , bm) 7 → (G(a, b 1 ),... , G(a, bm))
com a ∈ A, bi ∈ B.
Para um conjunto C qualquer idC : C → C denota a identidade em C: idC (c) = c, ∀c ∈ C. Fora isso, se γ : C → C ´e uma aplica¸c˜ao, denotaremos por γ(n)^ : An^ → An^ a aplica¸c˜ao tal que γ(n)(c 1 ,... , cn) = (γ(c 1 ),... , γ(cn)).
Finalmente, para duas aplica¸c˜oes α : An^ → A e β : Bm^ → B o par (α, β) denota a aplica¸c˜ao An^ × Bm^ → A × B dada por (α, β)(a 1 ,... , an, b 1 ,... , bm) = (α(a 1 ,... , an), β(b 1 ,... , bm))).
Com isso podemos formular a defini¸c˜ao desejada de a¸c˜ao de uma ´algebra universal sobre uma outra. Sejam 〈A, A〉 e 〈B, B〉 duas ´algebras universais. Uma a¸c˜ao de 〈A, A〉 sobre 〈B, B〉 ´e um par 〈G, Γ〉 onde G : A × B → B e Γ : A → B
s˜ao aplica¸c˜oes tais que Γ preserva tipos e as seguintes condi¸c˜oes s˜ao v´alidas: Para quaisquer α ∈ A e β ∈ B (cujos tipos ser˜ao n e m, respectivamente) tem-se que
G ◦ (α, β) = Γ(α) ◦ G(n,^ 1)^ ◦ (idAn^ , β) = β ◦ G(1, m)^ ◦ (α, idBm^ ) (2.1)
como aplica¸c˜oes An^ × Bm^ → B.
De (2.1) segue que G ◦ (α, idB ) = Γ(α) ◦ G(n,^ 1)^ ◦ (idAn^ , idB ) (2.2)
e G ◦ (idA, β) = β ◦ G(1, m)^ ◦ (idA, idBm^ ). (2.3)
E. 2.1 Exerc´ıcio. Mostre isso. 6
De (2.2) e (2.3) segue que G(n,^ 1)^ ◦ (idAn , β) =
β ◦ G(1, m)
)(n) ◦ j (2.4)
e
G(1, m)^ ◦ (α, idBm ) =
Γ(α) ◦ G(n,^ 1)
)(m) ◦ k , (2.5)
onde j : An^ × Bm^ → (A × Bm)n^ ´e dada por
j(a 1 ,... , an, b 1 ,... , bm) := (a 1 , b 1 ,... , bm, a 2 , b 1 ,... , bm,... , an, b 1 ,... , bm)
e k : An^ × Bm^ → (An^ × B)m^ ´e dada por
k(a 1 ,... , an, b 1 ,... , bm) := (a 1 ,... , an, b 1 , a 1 ,... , an, b 2 ,... , a 1 ,... , an, bm).
(^9) John Napier (Neper ou Nepair) (1550–1617).
Exemplo 2.4 Uma outra generaliza¸c˜ao do Exemplo 2.2. Seja C um conjunto linearmente ordenado (a defini¸c˜ao est´a `a p´agina 31) e sejam as fun¸c˜oes bin´arias ∧ e ∨ definidas para todos a, b ∈ C, por
a ∧ b =
a, se a b , b, de outra forma , a ∨ b =
a, se a b , b, de outra forma. ◊
E. 2.3 Exerc´ıcio. Mostre que cada um dos exemplos acima comp˜oe um reticulado. 6
- Reticulados e rela¸c˜oes de ordem
O Exemplo 2.4, acima, mostra-nos que ´e poss´ıvel constituir um reticulado a partir de uma rela¸c˜ao de ordem total. Reciprocamente, ´e poss´ıvel construir uma rela¸c˜ao de ordem parcial a partir de um reticulado. Para tratar disso (e para futura referˆencia), enunciemos e provemos o seguinte lema:
Lema 2.1 Seja C um conjunto n˜ao-vazio, o qual constitui um reticulado com duas opera¸c˜oes bin´arias ∧ e ∨. Ent˜ao, dois elementos x, y ∈ C satisfazem a igualdade x = x ∧ y se e somente se satisfizerem tamb´em y = x ∨ y. 2
Prova. Se x e y ∈ C satisfazem x = x ∧ y, ent˜ao segue que x ∨ y = (x ∧ y) ∨ y = y, sendo que na ´ultima igualdade usamos as propriedades de comutatividade e absorvˆencia. Analogamente, se y = x ∨ y, segue que x ∧ y = x ∧ (x ∨ y) = x, onde novamente usamos as propriedades de comutatividade e absorvˆencia.
Essas observa¸c˜oes do Lema 2.1, adicionadas a inspira¸c˜ao do Exemplo 2.4, induzem-nosa seguinte defini¸c˜ao de uma rela¸c˜ao de ordem parcial em C: dizemos que x y se e somente se x = x ∧ y ou, equivalentemente, se e somente se y = x ∨ y.
Precisamos agora justificar dizer que se trata de uma rela¸c˜ao de ordem parcial, provando serem v´alidas as propriedades de reflexividade, transitividade e anti-simetria listadas `a p´agina 31. Notemos que, pela propriedade de idempotˆencia, vale x = x ∧ x para todo x ∈ C e, portanto, x x para todo x ∈ C. Essa ´e a propriedade de reflexividade da ordem parcial. Notemos tamb´em que se x, y e z ∈ C tˆem as propriedades x = x ∧ y e y = y ∧ z, segue que x = x ∧ y = x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z = x ∧ z, onde usamos a propriedade de associatividade. Logo, provamos que se x y e y z vale x z. Essa ´e a propriedade de transitividade da ordem parcial. Por fim, se x = x ∧ y e y = y ∧ x, a propriedade de comutatividade diz-nos que x = x ∧ y = y. Assim, provamos que se x y e y x vale x = y. Essa ´e a propriedade de anti-simetria da ordem parcial.
E. 2.4 Exerc´ıcio. Estude as rela¸c˜oes de ordem que advˆem dos Exemplos 2.1 e 2.3 e constate que s˜ao rela¸c˜oes de ordem parciais, n˜ao totais (exceto no caso em que C tem apenas um elemento). 6
- Reticulados limitados superiormente. Reticulados limitados inferiormente
Um reticulado C ´e dito ser limitado superiormente se tiver um m´aximo, ou seja, se existir ω ∈ C tal que x ω para todo x ∈ C, o que equivale a dizer que x = x ∧ ω para todo x ∈ C.
Um reticulado C ´e dito ser limitado inferiormente se tiver um m´aximo, ou seja, se existir α ∈ C tal que α x para todo x ∈ C, o que equivale a dizer que x = x ∨ α para todo x ∈ C.
Essas defini¸c˜oes coincidem, como veremos, com as defini¸c˜oes de unidade e elemento nulo de um reticulado que apresentaremos adiante.
- Unidade e elemento nulo de um reticulado
Caso um reticulado C possua um elemento e tal que x ∧e = x para todo x ∈ C o elemento e ´e dito ser uma identidade ou unidade do reticulado, e ´e freq¨uentemente denotado pelo s´ımbolo 1. Pelo Lema 2.1, a rela¸c˜ao x ∧ 1 = x ´e v´alida se e somente se 1 = x ∨ 1.
Caso um reticulado C possua um elemento z tal que x ∨ z = x para todo x ∈ C o elemento z ´e dito ser um elemento nulo do reticulado, e ´e freq¨uentemente denotado pelo s´ımbolo 0. Pelo Lema 2.1, a rela¸c˜ao x ∨ 0 = x ´e v´alida se e somente se 0 = x ∧ 0.
Assim, se existirem unidade e elemento nulo teremos
x = x ∧ 1 , 1 = x ∨ 1 , x = x ∨ 0 e 0 = x ∧ 0 (2.7)
para todo x ∈ C. A unidade e o elemento nulo, se existirem, s˜ao ´unicos. Se fato, se 1 e 1′^ s˜ao unidades de um reticulado C ent˜ao, por defini¸c˜ao, 1 ∧ 1 ′^ = 1, mas tamb´em 1′^ ∧ 1 = 1′, provando (pela comutatividade) que 1 = 1′. Analogamente, se 0 e 0′^ s˜ao elementos nulos de um reticulado C ent˜ao, tamb´em por defini¸c˜ao, 0 ∨ 0 ′^ = 0, mas tamb´em 0′^ ∨ 0 = 0′, provando (pela comutatividade) que 0 = 0′. Como dissemos acima, podemos associar naturalmente uma rela¸c˜ao de ordem parcial a um reticulado dizendo que x y se e somente se x = x ∧ y ou, equivalentemente, se y = y ∨ x. Se C possui uma unidade 1 teremos x 1 para todo x ∈ C, pois x = x ∧ 1. Analogamente, se Se C possui um elemento nulo 0 teremos 0 x para todo x ∈ C, pois x = x ∨ 0. Vemos com isso que 1 ´e o m´aximo e 0 o m´ınimo do reticulado (se existirem).
- Reticulados limitados Um reticulado que for limitado superiormente e inferiormente ´e dito ser um reticulado limitado. Assim, um reticulado ´e limitado se possuir uma unidade e um elemento nulo (ou seja, um m´aximo e um m´ınimo). Em um reticulado limitado C vale 0 x 1 para todo x ∈ C. Se em um reticulado C tivermos 0 = 1, valer´a, portanto, x = 0 = 1 para todo x ∈ C, ou seja, C possui um ´unico elemento. Um tal caso ´e totalmente trivial, de forma que sempre consideraremos 0 6 = 1.
- Reticulados completos Um reticulado ´e dito ser um reticulado completo se todo seu subconjunto n˜ao-vazio possuir um supremo e um ´ınfimo (em rela¸c˜ao `a rela¸c˜ao de ordem parcial ). Para as defini¸c˜oes de supremo e ´ınfimo, vide p´agina 35 e seguintes. Naturalmente, reticulados completos devem ser limitados. A cole¸c˜ao de todas as topologias definidas em um conjunto n˜ao-vazio constitui um reticulado completo. Vide Exerc´ıcio E. 22.20, p´agina 1006.
- Elementos complementares Seja C um reticulado limitado (ou seja, que possui uma unidade e um elemento nulo). Dizemos que dois elementos x, y ∈ C s˜ao complementares se x ∧ y = 0 e x ∨ y = 1. Em um tal caso dizemos que x ´e complementar a y e vice-versa. Elementos complementares n˜ao s˜ao necessariamente unicos, ou seja, se´ y ´e complementar a x pode haver y′^6 = y que tamb´em ´e complementar a x. Como veremos, uma condi¸c˜ao suficiente para garantir a unicidade (n˜ao a existˆencia!) do complementar de um elemento x ´e a propriedade distributiva. Pela defini¸c˜ao de unidade e de elemento nulo, valem 0 = 0 ∧ 1 e 1 = 1 ∨ 0. Essas rela¸c˜oes est˜ao dizendo que 0 e 1 s˜ao elementos complementares.
- Reticulados complementados Um reticulado no qual todo elemento possui ao menos um complementar ´e dito ser um reticulados complementado.
- Reticulados distributivos Um reticulado sobre um conjunto C ´e dito ser um reticulado distributivo se as opera¸c˜oes ∧ e ∨ forem distributivas uma em rela¸c˜ao `a outra, ou seja, se forem satisfeitas as propriedades
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
e a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c). para todos a, b e c ∈ C.
Ambas decorrem da comutatividade, da associatividade, da distributividade e das rela¸c˜oes (2.7). Para provar a primeira rela¸c˜ao em (2.9), temos ( (¬a) ∨ (¬b)
∧ (a ∧ b) associat. =
[(
(¬a) ∨ (¬b)
∧ a
]
∧ b
distribut.
[(
(¬a) ∧ a
(¬b) ∧ a
)]
∧ b
[
(¬b) ∧ a
)]
∧ b
(2.7)
(¬b) ∧ a
∧ b comutat. = b ∧
(¬b) ∧ a
associat.
b ∧ (¬b)
∧ a = 0 ∧ a (2.7) = 0.
Para provar a segunda rela¸c˜ao em (2.9), temos ( (¬a) ∨ (¬b)
∨ (a ∧ b) associatt. = (¬a) ∨
(¬b) ∨ (a ∧ b)
distribut. = (¬a) ∨
[(
(¬b) ∨ a
(¬b) ∨ b
)]
= (¬a) ∨
[(
(¬b) ∨ a
]
(2.7) = (¬a) ∨
(¬b) ∨ a
) (^) comutat. = (¬a) ∨
a ∨ (¬b)
associatt.
(¬a) ∨ a
∨ (¬b) = 1 ∨ (¬b)
(2.7) = 1.
- Exemplos b´asicos de ´algebras Booleanas
Exemplo 2.5 Seja A um conjunto n˜ao-vazio e tomemos B = P(A). Para a, b ∈ P(A) definamos a∧b = a∩b, a∨b = a∪b,
¬a = ∁a = A \ a, 0 = ∅, 1 = A. ◊
Exemplo 2.6 A menor ´algebra Booleana, e talvez uma das mais importantes em aplica¸c˜oes, ´e composta por dois elementos distintos, denotados por 0 e 1: B = { 0 , 1 } e as opera¸c˜oes ∧, ∨ e ¬ s˜ao dadas por
0 ∧ 0 = 0 , 0 ∧ 1 = 0 , 1 ∧ 0 = 0 , 1 ∧ 1 = 1 , 0 ∨ 0 = 0 , 0 ∨ 1 = 1 , 1 ∨ 0 = 1 , 1 ∨ 1 = 1 ,
e por ¬0 = 1 e ¬1 = 0. ◊
Exemplo 2.7 B = [0, 1] ⊂ R, as opera¸c˜oes ∧, ∨ s˜ao dadas como no Exemplo 2.2, p´agina 59:
a ∧ b := min{a, b} e a ∨ b := max{a, b}
para todos a, b ∈ [0, 1] e a opera¸c˜ao ¬ ´e dada por ¬a = 1 − a para todo a ∈ [0, 1]. Naturalmente, o elemento nulo ´e o n´umero 0 e a unidade ´e o n´umero 1. ◊
Exemplo 2.8 O mesmo que o anterior, mas tomando B como sendo qualquer subconjunto de [0, 1] que contenha 0 e
- ◊
Exemplo 2.9 Seja X um conjunto n˜ao-vazio e seja I qualquer subconjunto de [0, 1] que contenha 0 e 1. Seja B = IX^ , a cole¸c˜ao de todas as fun¸c˜oes de X em I. Como no Exemplo 2.3, p´agina 59, defina-se para cada x ∈ X
(f ∧ g)(x) = min{f (x), g(x)} e (f ∨ g)(x) = max{f (x), g(x)}
e defina-se (¬f )(x) = 1 − f (x). Tome-se o elemento nulo como sendo a fun¸c˜ao identicamente nula e a unidade como sendo a fun¸c˜ao identicamente igual a 1. ◊
E. 2.6 Exerc´ıcio. Mostre que os sistemas definidos nos exemplos acima formam ´algebras Booleanas. 6
A relevˆancia das ´algebras Booleanas est´a em capturarem algebricamente as opera¸c˜oes mais importantes da teoria dos conjuntos (como as de uni˜ao, intersec¸c˜ao e complemento, conjunto vazio) e as da l´ogica (“e”, “ou”, “nega¸c˜ao”, “verdadeiro”, “falso”). Os dois primeiros exemplos acima atestam essa concep¸c˜ao. Algebras Booleanas s˜´ ao de f´acil implementa¸c˜ao em Eletrˆonica e de amplo uso em processamento digital.
2.1.3 Semi-Grupos, Mon´oides e Grupos
Nesta se¸c˜ao introduziremos algumas no¸c˜oes alg´ebricas de grande importˆancia.
Um quase-grupo ´e um conjunto Q, dotado de uma opera¸c˜ao bin´aria Q × Q → Q, denotada por “·”, tal que para todo par a e b ∈ Q existem x e y ∈ Q, ´unicos, satisfazendo x · a = b e a · y = b.
Em palavras, um quase-grupo ´e uma estrutura onde a “divis˜ao”, a esquerda ea direita, ´e sempre poss´ıvel. Um loop L ´e um quase-grupo com elemento neutro, ou seja, ´e um quase-grupo no qual existe um elemento e, denominado identidade, tal que a · e = e · a = a para todo a ∈ L.
O elemento neutro de um loop ´e sempre ´unico, pois se e′^ ´e tamb´em um elemento neutro, segue que e′^ = e′^ · e = e. Em um loop, todo elemento possui uma ´unica inversa a direita e uma ´unica inversaa esquerda (n˜ao necessariamente iguais). Ou seja, para cada a ∈ L existem um ´unico elemento em L que denotamos por a− l 1 , denominado inverso a esquerda de a, tal que a− l 1 · a = e e um ´unico elemento em L que denotamos por a− r 1 , denominado inversoa direita de a, tal que a · a− r 1 = e. A existˆencia e unicidade de tais elementos ´e conseq¨uˆencia da propriedade definidora de quase-grupo.
Um semi-grupo ´e um conjunto n˜ao-vazio S dotado de uma opera¸c˜ao bin´aria S ×S → S denotada por “·” e denominada produto tal que a seguinte propriedade ´e satisfeita.
- Associatividade. Para todos a, b e c ∈ S vale (a · b) · c = a · (b · c).
Um mon´oide ´e um conjunto n˜ao-vazio M dotado de uma opera¸c˜ao bin´aria M ×M → M denotada por “·” e denominada produto tal que as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas.
- Associatividade. Para todos a, b e c ∈ M vale (a · b) · c = a · (b · c).
- Elemento neutro. Existe um (´unico!) elemento e ∈ M , denominado elemento neutro, tal que g · e = e · g = g para todo g ∈ M.
Observa¸c˜ao: A unicidade do elemento neutro ´e garantida pela observa¸c˜ao que se houvesse e′^ ∈ M tal que g · e′^ = e′^ · g = g para todo g ∈ M ter´ıamos e′^ = e′^ · e = e.
Uma das no¸c˜oes mais fundamentais de toda a Matem´atica ´e a de grupo. Um grupo ´e um conjunto n˜ao-vazio G dotado de uma opera¸c˜ao bin´aria G × G → G, denotada por “·” e denominada produto, e de uma opera¸c˜ao un´aria G → G (bijetora) denominada inversa, denotada pelo expoente “−^1 ”, tais que as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas.
- Associatividade. Para todos a, b e c ∈ G vale (a · b) · c = a · (b · c).
- Elemento neutro. Existe um (´unico!) elemento e ∈ G, denominado elemento neutro, tal que g · e = e · g = g para todo g ∈ G.
- O conjunto R \ { 0 } = {x ∈ R, x 6 = 0} ´e um grupo Abeliano em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao usual de produto de n´umeros reais. Esse grupo ´e comummente denotado por (R, ·).
- O conjunto C \ { 0 } = {z ∈ C, z 6 = 0} ´e um grupo Abeliano em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao usual de produto de n´umeros complexos. Esse grupo ´e comummente denotado por (C, ·).
- Mat(C, n), o conjunto das matrizes complexas n × n com o produto usual de matrizes ´e apenas um mon´oide.
- Mat(C, n), o conjunto das matrizes complexas n × n ´e um grupo em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de soma de matrizes.
- O conjunto GL(R, n) de todas as matrizes reais n × n com determinante n˜ao-nulo (e, portanto, invers´ıveis) ´e um grupo em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de produto usual de matrizes. GL(R, n) ´e n˜ao-Abeliano se n > 1.
- O conjunto GL(C, n) de todas as matrizes complexas n × n com determinante n˜ao-nulo (e, portanto, invers´ıveis) ´e um grupo em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de produto usual de matrizes. GL(C, n) ´e n˜ao-Abeliano se n > 1.
- O conjunto GL(Q, n) de todas as matrizes racionais n × n com determinante n˜ao-nulo (e, portanto, invers´ıveis) ´e um grupo n˜ao-Abeliano (se n > 1) em rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de produto usual de matrizes. O conjunto GL(Z, n) de todas as matrizes inteiras n × n com determinante n˜ao-nulo (e, portanto, invers´ıveis) ´e um mon´oide n˜ao-Abeliano (se n > 1) em rela¸c˜aoa opera¸c˜ao de produto usual de matrizes. N˜ao ´e um grupo pois a inversa de uma matriz invers´ıvel com entradas inteiras n˜ao ´e sempre uma matriz com entradas inteiras.
- O conjunto SL(C, n) de todas as matrizes complexas n × n com determinante igual a 1 (e, portanto, invers´ıveis) ´e um grupo n˜ao-Abeliano (se n > 1) em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de produto usual de matrizes. O mesmo ´e verdadeiro para SL(R, n), SL(Q, n) e SL(Z, n), as matrizes reais, racionais ou inteiras, respectivamente, com determinante igual a 1.
- O conjunto de todas as matrizes complexas n×n cujo determinante tˆem m´odulo igual a 1: {A ∈ Mat (C, n)| | det(A)| = 1 }. ´e um grupo n˜ao-Abeliano (se n > 1) em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de produto usual de matrizes.
19. Seja X um conjunto n˜ao-vazio. Ent˜ao P(X) ´e um grupo Abeliano em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de diferen¸ca sim´etrica
A△B, A, B ∈ X, definida em (1.2), p´agina 22. De fato, o Exerc´ıcio E. 1.2, p´agina 22, garante associatividade e
comutatividade, o elemento neutro ´e o conjunto vazio ∅ e para todo A ∈ P(X) tem-se A−^1 = A. Verifique!
- Outro exemplo importante ´e o seguinte. Seja C um conjunto n˜ao-vazio e tomemos S = CC^ , o conjunto de todas as fun¸c˜oes de C em C. Ent˜ao, S ´e um mon´oide com o produto formado pela composi¸c˜ao de fun¸c˜oes: f ◦ g, e onde o elemento neutro ´e a fun¸c˜ao identidade id(s) = s, ∀s ∈ C. O subconjunto de CC^ formado pelas fun¸c˜oes bijetoras de C em C ´e um grupo n˜ao-Abeliano, onde o produto ´e a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes, o elemento neutro ´e a fun¸c˜ao identidade e o elemento inverso de uma fun¸c˜ao f : C → C ´e a fun¸c˜ao inversa f −^1. Esse grupo ´e denominado grupo de permuta¸c˜oes do conjunto C e denotado por P erm(C).
E. 2.7 Exerc´ıcio. Em caso de d´uvida, prove todas as afirma¸c˜oes acima. 6
Seja G um grupo em rela¸c˜ao a uma opera¸c˜ao “·” e cujo elemento neutro seja e. Um subconjunto H de G ´e dito ser um subgrupo de G se for tamb´em por si s´o um grupo em rela¸c˜ao `a mesma opera¸c˜ao, ou seja, se
- e ∈ H,
- h 1 · h 2 ∈ H para todos h 1 ∈ H e h 2 ∈ H,
- h−^1 ∈ H para todo h ∈ H.
Todo grupo G sempre possui pelo menos dois subgrupos: o pr´oprio G e o conjunto {e} formado apenas pelo elemento neutro de G.
E f´´ acil verificar que (Z, +) e (Q, +) s˜ao subgrupos de (R, +). ´E f´acil ver que SL(R, n), o conjunto de todas as matrizes reais n × n com determinante igual a 1, ´e um subgrupo de GL(R, n). Idem para SL(C, n) em rela¸c˜ao a GL(C, n).
O bem conhecido algoritmo de Euclides afirma que, dado n ∈ N, ent˜ao todo n´umero inteiro z pode ser escrito de maneira ´unica na forma z = qn + r, onde q ∈ Z e r ∈ { 0 , 1 ,... , n − 1 }. O n´umero r ´e denominado resto da divis˜ao de z por n e ´e tamb´em denotado por r = z mod n.
Seja n um inteiro positivo maior ou igual a 2 e seja o conjunto { 0 , 1 ,... , n − 1 }. Vamos definir uma opera¸c˜ao bin´aria em { 0 , 1 ,... , n − 1 }, denominada soma e denotada pelo s´ımbolo “+”, da seguinte forma:
α + β = [α + β] mod n
para todos α, β ∈ { 0 , 1 ,... , n − 1 }. Acima [α + β] representa a soma usual de n´umeros inteiros em Z.
E. 2.8 Exerc´ıcio. Prove que a opera¸c˜ao de soma definida acima ´e uma opera¸c˜ao bin´aria de { 0 , 1 ,... , n − 1 } e mostre que a mesma ´e associativa, comutativa e tem 0 como elemento neutro. 6
E. 2.9 Exerc´ıcio. Para cada a ∈ { 0 , 1 ,... , n − 1 }, defina a−^1 = (n − a) mod n. Mostre que a−^1 ∈ { 0 , 1 ,... , n − 1 } e que a + a−^1 = 0. 6
Os dois exerc´ıcios acima provam que { 0 , 1 ,... , n − 1 } ´e um grupo Abeliano em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de soma definida acima. Esse grupo ´e denominado grupo Zn, ou Z(n).
O conjunto R+ = {x ∈ R, x ≥ 0 } ´e um mon´oide Abeliano em rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de soma e em rela¸c˜aoa opera¸c˜ao de produto e vale ainda a propriedade distributiva a(b + c) = ab + ac. Sabidamente, R+ ´e tamb´em um conjunto linearmente ordenado pela rela¸c˜ao de ordem usual.
Vamos abaixo descrever um outro conjunto linearmente ordenado que cont´em R+ e ´e tamb´em um mon´oide Abeliano em rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de soma e em rela¸c˜aoa opera¸c˜ao de produto e vale ainda a propriedade distributiva.
Definimos um conjunto, que denotaremos por R+, juntando a R+ um conjunto formado por um elemento, elemento esse que denotaremos provisoriamente por ω, com ω 6 ∈ R+, para o qual certas rela¸c˜oes alg´ebricas ser˜ao definidas. Seja R+ = R+ ∪ {ω} e definimos as opera¸c˜oes de soma e produto em R+ da seguinte forma: se a e b s˜ao elementos de R+ suas soma a + b e seu produto ab s˜ao definidos como usualmente. Fora isso, valem
- a + ω = ω + a = ω, para todo a ∈ R+.
- ω + ω = ω.
- aω = ωa = ω, para todo a ∈ R+, a 6 = 0.
- 0ω = ω0 = 0.
- ωω = ω.
E. 2.10 Exerc´ıcio. Verifique que R+ ´e um mon´oide Abeliano em rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de soma e em rela¸c˜aoa opera¸c˜ao de produto definidas acima e que vale ainda a propriedade distributiva. 6
R+ ´e linearmente ordenado tomando-se em R+ a rela¸c˜ao de ordem usual e fixando-se a < ω para todo a ∈ R+. E bastante claro que na defini¸´ c˜ao abstrata acima o objeto representado pelo s´ımbolo ω desempenha o papel formal- mente desempenhado por um n´umero infinito positivo. A constru¸c˜ao das rela¸c˜oes alg´ebricas acima prescinde, por´em, dessa no¸c˜ao, pois ω pode ser qualquer objeto (fora de R+).
Com um certo abuso de linguagem, ´e costume, substituir o s´ımbolo ω pelo s´ımbolo ∞, dando a entender que ω representa algo como um n´umero infinito positivo. E comum tamb´´ em denotar-se R+ = [0, ∞].
E. 2.11 Exerc´ıcio. Que problemas surgem quando se tenta estender a constru¸c˜ao acima para o conjunto R de todos os reais? 6
E. 2.13 Exerc´ıcio. Generalizando o exerc´ıcio anterior, seja p um n´umero primo. Mostre que o conjunto de todos os n´umeros reais da forma a + b
p, com a e b racionais, ´e um corpo. Esse corpo ´e denotado por Q(
p). 6
E. 2.14 Exerc´ıcio. Mostre que o conjunto de todos os n´umeros reais da forma a + b
2 com a e b inteiros n˜ao ´e um corpo. 6
- Os corpos Zp, com p primo
Como observamos `a p´agina 67, os conjuntos Zn = { 0 , 1 ,... , n − 1 }, com n ∈ N, n ≥ 2, s˜ao grupos Abelianos com a soma definida por α + β = [α + β] mod n ,
para α, β ∈ Zn, onde [α + β] denota a soma usual em Z. Podemos tamb´em considerar em Zn uma opera¸c˜ao de produto, definida por, α · β = [αβ] mod n ,
onde [αβ] denota o produto usual em Z. Temos o seguinte teorema:
Teorema 2.1 O conjunto Zn ´e um corpo com as opera¸c˜oes acima definidas se e somente se n for um n´umero primo. 2
Prova. As opera¸c˜oes de soma e produto definidas acima s˜ao comutativas, associativas e distributivas (justifique!). Fora isso sempre vale que −α = n − α para todo α ∈ Zn. Resta-nos estudar a existˆencia de elementos inversos α−^1. Vamos supor que Zn seja um corpo. Ent˜ao, a ∈ { 2 ,... , n − 1 } tem uma inversa em Zn, ou seja, um n´umero b ∈ { 1 ,... , n − 1 } tal que a · b = 1. Lembrando a defini¸c˜ao de produto em Zn, isso significa que existe um inteiro r tal que ab = rn + 1. Mas isso implica
b −
a
= r
( (^) n a
Como o lado esquerdo n˜ao ´e um n´umero inteiro, o lado direito tamb´em n˜ao pode ser. Isso diz ent˜ao que n/a n˜ao pode ser inteiro para nenhum a ∈ { 2 ,... , n − 1 }, ou seja, n n˜ao tem divisores e ´e, portanto, um primo. Resta-nos mostrar que Zp ´e efetivamente um corpo quando p ´e primo, o que agora se reduz a mostrar que para todo a ∈ Zp existe um elemento inverso.
Para apresentar a demonstra¸c˜ao, recordemos trˆes conceitos da teoria de n´umeros. 1. Sejam dois n´umeros inteiros f e g, dizemos que f divide g se g/f ∈ Z. Se f divide g, denotamos esse fato por f |g. 2. Sejam dois n´umeros inteiros f e g. O m´aximo divisor comum de f e g, denotado mdc(f, g) ´e o maior inteiro m tal que m|f e m|g. 3. Dois n´umeros inteiros f e g s˜ao ditos ser primos entre si se mdc(f, g) = 1.
A demonstra¸c˜ao da existˆencia de inverso em Zp ser´a apresentada em partes. Vamos primeiro demonstrar a seguinte afirmativa.
Lema 2.2 Se f e g s˜ao dois n´umeros inteiros quaisquer ent˜ao existem inteiros k′^ e l′^ tais que
mdc(f, g) = k′f + l′g.
2
Prova. Seja m = mdc(f, g). Seja M o conjunto de todos os n´umeros positivos que sejam da forma kf + lg com k e l inteiros. Seja m′^ o menor elemento de M. Note que como os elementos de M s˜ao positivos, esse menor elemento existe. Claramente m′^ = k′f + l′g (2.10)
para algum k′^ e l′. Como, por defini¸c˜ao, m|f e m|g, segue que m|m′, o que s´o ´e poss´ıvel se
m′^ ≥ m. (2.11)
Vamos agora demonstrar por contradi¸c˜ao que m′|f. Se isso n˜ao fosse verdade, existiriam (pelo algoritmo de Euclides) inteiros α e β com 0 < β < m′^ (2.12)
tal que f = αm′^ + β.
Usando (2.10) isso diz que β = f − α(k′f + l′g) = (1 − αk′)f + (−αl′)g.
Mas, como β > 0 isso diz que β ∈ M. Logo, β ≥ m′, contradizendo (2.12). Logo m′|f. De maneira totalmente an´aloga prova-se que m′|g. Portanto m′^ ≤ mdc(f, g) = m. Lembrando que hav´ıamos provado (2.11), segue que m = m′^ e, portanto m = k′f + l′g, demonstrando o Lema.
Corol´ario 2.1 Se f e g s˜ao dois n´umeros inteiros primos entre si ent˜ao existem inteiros k′^ e l′^ tais que
1 = k′f + l′g.
2
Prova. Pela defini¸c˜ao, como f e g s˜ao dois n´umeros inteiros primos entre si segue que mdc(f, g) = 1.
Para finalmente demonstrarmos a existˆencia de inverso em Zp, com p primo, seja a ∈ { 1 ,... , p − 1 }. E ´´obvio que a e p s˜ao primos entre si (por que?). Assim, pelo corol´ario, existem inteiros r e s com
1 = sa − rp.
Isso diz que sa = rp + 1. Logo, definindo b ∈ Zp como sendo b = s mod p teremos
ba = (s mod p)a = (rp + 1) mod p = 1 ,
ou seja, b = a−^1 , completando a demonstra¸c˜ao.
E. 2.15 Exerc´ıcio. Considere o conjunto Z 4. Constate que nele produto do elemento 2 consigo mesmo resulta no elemento nulo. Conclua disso que 2 n˜ao pode possuir inversa multiplicativa e constate que tal ´e realmente o caso. 6
- Isomorfismos entre corpos
Dois corpos K 1 e K 2 s˜ao ditos isomorfos se existir uma aplica¸c˜ao bijetora φ : K 1 → K 2 que preserve as opera¸c˜oes alg´ebricas de K 1 e K 2 , ou seja, tal que
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) , φ(ab) = φ(a)φ(b) , φ(1K 1 ) = 1K 2 e φ(0K 1 ) = 0K 2.
Acima, 1Kj e 0Kj s˜ao a unidade e o elemento nulo, respectivamente, de Kj , j = 1, 2. E elementar constatar que´ φ(−a) = −φ(a) para todo a ∈ K 1 e que φ(a−^1 ) = φ(a)−^1 para todo a ∈ K 1 , a 6 = 0K 1.
E. 2.16 Exerc´ıcio. Considere o conjunto de todas as matrizes reais da forma
( (^) a −b b a
, com a, b ∈ R. Mostre que esse conjunto ´e um corpo em rela¸c˜ao `as opera¸c˜oes usuais de soma e produto de matrizes. Mostre que esse corpo ´e isomorfo ao corpo C pelo isomorfismo φ(a + bi) :=
( (^) a −b b a
para todos a, b ∈ R. 6
O leitor que apreciou o Exerc´ıcio E. 2.16 ´e estimulado a posteriormente estudar a no¸c˜ao de quat´ernios, apresentada neste texto na Se¸c˜ao 2.6.3, p´agina 134, pois aquela no¸c˜ao generaliza de diversas formas o conte´udo do exerc´ıcio.
- Caracter´ıstica de um corpo
Seja K um corpo e 1 sua unidade. Para um n´umero natural n definimos n · 1 := 1 + ︸ · · ·︷︷ + 1︸ n vezes
Define-se a caracter´ıstica de K como sendo o menor n´umero natural n˜ao-nulo n tal que n · 1 = 0. Se um tal n´umero n˜ao existir, diz-se que o corpo tem caracter´ıstica zero.
Exemplos. Q, R, C, Q(
- tˆem caracter´ıstica zero. Zp, p primo, tem caracter´ıstica p. Mostre isso.
- Se K ´e um corpo, o produto Cartesiano Kn^ = {(k 1 ,... , kn), kj ∈ K, j = 1,... , n} ´e um espa¸co vetorial sobre K com a opera¸c˜ao de soma definida por (k 1 ,... , kn) + (l 1 ,... , ln) = (k 1 + l 1 ,... , kn + ln) e o produto por escalares por α · (k 1 ,... , kn) = (αk 1 ,... , αkn) para todo α ∈ K. O vetor nulo ´e o vetor (0,... , 0). Os trˆes exemplos a seguir s˜ao casos particulares do de acima.
- O produto Cartesiano Rn^ = {(x 1 ,... , xn), xj ∈ R, j = 1,... , n} ´e um espa¸co vetorial sobre R com a opera¸c˜ao de soma definida por (x 1 ,... , xn) + (y 1 ,... , yn) = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn) e o produto por escalares por α · (x 1 ,... , xn) = (αx 1 ,... , αxn) para todo α ∈ R. O vetor nulo ´e o vetor (0,... , 0).
- O produto Cartesiano Cn^ = {(z 1 ,... , zn), zj ∈ C, j = 1,... , n} ´e um espa¸co vetorial sobre C (sobre R) com a opera¸c˜ao de soma definida por (z 1 ,... , zn) + (w 1 ,... , wn) = (z 1 + w 1 ,... , zn + wn) e o produto por escalares por α · (z 1 ,... , zn) = (αz 1 ,... , αzn) para todo α ∈ C (para todo α ∈ R). O vetor nulo ´e o vetor (0,... , 0).
- Para p primo, o produto Cartesiano (Zp)n^ = {(z 1 ,... , zn), zj ∈ Zp, j = 1,... , n} ´e um espa¸co vetorial sobre Zp com a opera¸c˜ao de soma definida por (z 1 ,... , zn) + (w 1 ,... , wn) = (z 1 + w 1 ,... , zn + wn) e o produto por escalares por α · (z 1 ,... , zn) = (αz 1 ,... , αzn) para todo α ∈ Zp. O vetor nulo ´e o vetor (0,... , 0). Note que (Zp)n^ tem um n´umero finito de elementos, a saber pn.
- Se K ´e um corpo, o conjunto Mat (K, m, n), de todas as matrizes m × n cujos elementos de matriz pertencem a K, ´e um espa¸co vetorial sobre K, com a soma sendo a soma usual de matrizes e o produto por escalares sendo o produto usual de matrizes por n´umeros escalares. O vetor nulo ´e a matriz nula.
- O conjunto Mat (R, m, n), de todas as matrizes reais m × n, ´e um espa¸co vetorial sobre R, com a soma sendo a soma usual de matrizes e o produto por escalares sendo o produto usual de matrizes por n´umeros reais. O vetor nulo ´e a matriz nula.
- O conjunto Mat (C, m, n), de todas as matrizes complexas m × n, ´e um espa¸co vetorial sobre C (sobre R), com a soma sendo a soma usual de matrizes e o produto por escalares sendo o produto usual de matrizes por n´umeros complexos (reais). O vetor nulo ´e a matriz nula.
- Este exemplo generaliza v´arios dos anteriores. Sejam V um espa¸co vetorial sobre um corpo K e seja C um conjunto n˜ao-vazio. O conjunto V C^ de todas as fun¸c˜oes de C em V ´e um espa¸co vetorial sobre K com a soma e o produto por escalares definidos da seguinte forma: se f e g s˜ao fun¸c˜oes de C em V define-se a soma f + g como sendo a fun¸c˜ao definida por (f + g)(c) = f (c) + g(c) para todo c ∈ C e se α ∈ K, ent˜ao α · f ´e a fun¸c˜ao definida por (α · f )(c) = αf (c) para todo c ∈ C. O vetor nulo ´e a fun¸c˜ao identicamente nula.
- Este ´e um exemplo um tanto ex´otico, mas que serve para ilustrar que a no¸c˜ao de espa¸co vetorial ´e menos trivial do que parece. O conjunto V = (0, 1) ´e um espa¸co vetorial real com as opera¸c˜oes de soma a
◦
- b = (^1) −a−abb+2ab , para todos a, b ∈ (0, 1), e com o produto por escalares α ∈ R dado por α · a = a
α aα+(1−a)α^ , para todo^ a^ ∈^ V^. O vetor nulo ´e 1/2, a inversa aditiva de a ∈ V ´e
− a
= 1 − a.
E. 2.19 Exerc´ıcio. Verifique que o intervalo (0, 1) ´e, de fato, um espa¸co vetorial real com as opera¸c˜oes definidas acima. 6
Este exemplo ser´a estudado com mais profundidade e generalizado na Se¸c˜ao 2.1.11, p´agina 86.
Anti-exemplo. Tomemos o conjunto dos reais com a opera¸c˜ao de soma usual, um corpo Zp com p primo e o produto Zp × R → R, α · x, α ∈ Zp e x ∈ R dada pelo produto usual em R. Essa estrutura n˜ao forma um espa¸co vetorial. A regra distributiva (α + β) · x = α · x + β · x
n˜ao ´e satisfeita para todo α, β ∈ Zp. Acima, α · x ´e o produto usual em R.
Outros exemplos ser˜ao de espa¸cos vetoriais ser˜ao encontrados nas Se¸c˜oes que seguem, notadamente quando tratarmos das no¸c˜oes de soma direta e produto tensorial de espa¸cos vetoriais.
E quase desnecess´´ ario mencionar o qu˜ao importantes espa¸cos vetoriais s˜ao no contexto da F´ısica, onde, por´em, quase somente espa¸cos vetoriais sobre o corpo dos reais ou dos complexos ocorrem.
2.1.6 An´eis, M´odulos e ´Algebras
2.1.6.1 An´eis
Um anel n˜ao-associativo ´e um conjunto A dotado de duas opera¸c˜oes bin´arias denotadas por “+” e “·” e denominadas soma e produto, respectivamente, tais que A ´e um grupo Abeliano em rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de soma e a opera¸c˜ao de produto ´e distributiva em rela¸c˜aoa soma: para quaisquer a, b e c ∈ A valem a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c.
Como usual, denotamos por −a a inversa aditiva do elemento a de um anel n˜ao-associativo. Se 0 ´e o elemento neutro de um anel n˜ao-associativo A em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de soma, ent˜ao a · 0 = 0 pois, como 0 = 0 + 0, tem-se pela propriedade distributiva a · 0 = a · 0 + a · 0, que implica 0 = a · 0 − (a · 0) = a · 0 + a · 0 − (a · 0) = a · 0.
Exemplo 2.10 Seja Mat (Z, n) o conjunto das matrizes n × n cujos elementos de matriz s˜ao n´umeros inteiros. Para A, b ∈ Mat (Z, n) defina o produto [A, B] = AB − BA, denominado comutador de A e B onde AB ´e o produto usual das matrizes A e B. Ent˜ao Mat (Z, n) com o produto do comutador ´e um anel n˜ao-associativo. ◊
Em um anel n˜ao-associativo, a propriedade de associatividade do produto “·” n˜ao ´e requerida. Se ela, por´em, for v´alida, temos a estrutura de um anel.
Um anel ´e um conjunto A dotado de duas opera¸c˜oes bin´arias denotadas por “+” e “·” e denominadas soma e produto, respectivamente, tais que A ´e um grupo Abeliano em rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de soma e um semi-grupo em rela¸c˜aoa opera¸c˜ao de produto (ou seja, o produto ´e associativo). Por fim, a opera¸c˜ao de produto ´e distributiva em rela¸c˜ao `a soma: para quaisquer a, b e c ∈ A valem a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c.
Como usual, denotamos por −a a inversa aditiva do elemento a de um anel. Se 0 ´e o elemento neutro de um anel A em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de soma, ent˜ao a · 0 = 0 para todo a ∈ A, pois, como 0 = 0 + 0, tem-se pela propriedade distributiva a · 0 = a · 0 + a · 0, que implica 0 = a · 0 − (a · 0) = a · 0 + a · 0 − (a · 0) = a · 0.
Observamos que alguns autores, como Bourbaki, incluem a existˆencia de uma unidade (n˜ao-nula) na defini¸c˜ao de anel. Aqui denominaremos an´eis com unidade tais an´eis. Vide p´agina 80.
2.1.6.2 M´odulos
Seja A um anel. Um A-m´odulo `a esquerda ´e um grupo Abeliano M (cujo produto, seguindo a conven¸c˜ao, denotaremos por “+”) dotado de uma fun¸c˜ao A × M → M que a cada par a ∈ A, m ∈ M associa um elemento de M denotado por a · m com as seguintes propriedades: para todos a, b ∈ A e todos m, n ∈ M
- a · (m + n) = a · m + a · n,
- (a + b) · m = a · m + b · m,
- a · (b · m) = (ab) · m,
- Se A possuir uma identidade e (i.e., um elemento neutro para o produto), ent˜ao e · m = m.
Seja A um anel. Um A-m´odulo `a direita ´e um grupo Abeliano M dotado de uma fun¸c˜ao M × A → M que a cada par a ∈ A, m ∈ M associa um elemento de M denotado por m · a com as seguintes propriedades: para todos a, b ∈ A e todos m, n ∈ M
- (m + n) · a = m · a + n · a,
- m · (a + b) = m · a + m · b,
- (m · b) · a = m · (ba),
