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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Geometria I – Turma 150 – 2011/1 Profa^ Gertrudes Regina
Ângulos
Introdução
A noção de ângulo, bem como das principais figuras geométricas, já era conhecida por muitos povos, desde os babilônios e assírios, que a utilizavam na medida de área e na astronomia. H. Shotten, em 1893, colocou as definições de ângulo em três categorias: a diferença de direções entre duas linhas retas; a medida da rotação necessária para trazer um lado de sua posição original para a posição do outro; e, finalmente, a porção do plano contida “entre” as duas retas que definem o ângulo.
A definição que utilizaremos é a que tem sido usada mais recentemente e é adequada para o desenvolvimento da nossa teoria.
Definições:
- Um ângulo é a união de duas semi-retas que têm a mesma origem, mas não estão contidas numa mesma reta.
Se um ângulo é formado pelas semi-retas AB^ e AC , então essas semi-retas são
chamadas lados do ângulo, e o ponto A é chamado vértice do ângulo. Tal ângulo é denominado ângulo BAC ou ângulo CAB e denotado por BÂC ou CÂB. Algumas vezes, quando está claro no texto, é simplesmente denominado ângulo A e representado por Â.
- Dizemos que o ponto P está no interior do ângulo BAC ou é ponto interior do ângulo
BAC se os pontos P e B estão no mesmo lado da reta AC e os pontos P e C estão no mesmo
lado da reta AB. O exterior do ângulo BAC é o conjunto dos pontos que não estão no interior e
não estão no próprio ângulo BAC. Um ponto desse tipo é chamado ponto exterior do ângulo BAC.
Na figura (1) AB eAC são os lados e A é seu vértice.
D
C
B
A
Q
P
V
Em (2) temos:
Postulado da medida de Ângulo A cada ângulo BAC corresponde um número real entre 0 e 180.
Definição O número correspondente ao postulado anterior é chamado medida do ângulo e é denotado por m(BÂC). Ângulos que têm a mesma medida são chamados ângulos congruentes.
Postulado da construção do Ângulo
Seja AB uma semi-reta da reta origem de um semiplano H. Para cada número r entre 0
e 180 existe exatamente uma semi-reta AP com P em H, tal que M(PÂB) = r.
Postulado da adição de Ângulos Se D é um ponto interior do ângulo BÂC, então m(BÂC) = M(BÂD)+m(DÂC).
Medida de Ângulos
Convencionou-se universalmente denominar de 360o^ uma variação de orientação que, passa por todas as possíveis retornando à inicial.
Grau , unidade de medida angular é definida com a fração 360
1 de uma volta completa.
Para medir ângulos, com maior precisão, dividimos 1o^ em 60 partes iguais, chamadas minutos. Assim, 1o^ = 60 ’^ ( 60 minutos do grau). Cada minuto é dividido em 60 partes iguais, chamadas segundo. Assim, temos 1o^ = 60’^ e 1’^ = 60”( 60 segundos do grau).
Nota: Por que há 360 graus numa revolução completa? Há somente razões históricas para isso. Os antigos babilônios( 4000 a 3000 a.C.) acrescentaram conquistas valiosas à cultura matemática egípcia. Interessavam-se pela astronomia por si mesma, pela sua relação com os conceitos religiosos e por suas conexões com o calendário, as estações e a época do plantio. Desenvolveram também um sistema numérico de base 60, usando a idéia de valor posicional para frações e para números inteiros. Por que 60? Ë possível que tenha sido pela facilidade de
se dividir a circunferência em 6 partes iguais, usando seu raio como corda, e daí 60 seria 6
1 de
- A idéia de 360 partes em uma circunferência poderia ser resultado de uma estimativa errônea de que o ano teria 360 dias.
Ângulos : reto, agudo e obtuso
Ângulo reto é todo ângulo que mede 90o.
Ângulo agudo é um ângulo cuja medida é menor do que 90o.
Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior do que 90o^ e menor do que 180o.
Pode-se estender o conceito de ângulo para se ter o Ângulo nulo , ângulo com medida nula (cujos lados são semi-retas coincidentes) ou o Ângulo raso , ângulo que mede 180o^ (seus lados são semi-retas opostas). Em trigonometria precisamos da idéia de ângulo orientado, por isso admitimos a existência de ângulos nulos e ângulos rasos.
- Calcule a medida do complemento do ângulo que mede 37^0 25’
- Dê a medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento.
- O complemento de um ângulo está para o seu suplemento como 2 para 7. Calcular a medida do ângulo.
- O triplo do complemento de um ângulo aumentado de 50^0 é igual ao suplemento do ângulo. Determinar a medida do ângulo.
8.Os ângulos α e β são opostos pelo vértice. O primeiro é expresso em graus por 9x - 2 e o segundo por 4x + 8 .Determinar esses ângulos.
9..Na figura, GH ePQ se interceptam, formando quatro ângulos.
a) Se b = 52o^ , qual a medida de a? b) Se a = 110o^ , quais as medidas de b, c e d?
- Na figura, três retas se interceptam no mesmo ponto.
e d c
f a b
P
d c
Q
G a b H
Dado a = 85o^ e e = 30o^ , determine b, c, d e f.
RESPOSTAS:
- 40^0 e 80^0 3. 30^0 4. 52^0 35’ 5. 60^0 6. 54^0 7. 70^0 8.16^0 9. a)128o^ b) 70o^110 o^ e 70o
- 30o^65 o^85 o^65 o
Exercícios complementares:
Referência:. DOLCE, Osvaldo, POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar: Geometria plana. São Paulo: Atual, vol 9 Páginas Exercícios 28 .. 34 29, 34,..., 47, 50,51, 69, 71, 75, 76, 77, 78. Respostas na página 360
