√ x^ −^ 1 est´a bem definida apenas se^ x^ −^1 ≥^ 0, ou seja, se^ x^ ≥^ 1.^ Como x − 1 ≥ 0, ent˜ao 2 − |x| ≥ 0, e portanto |x| ≤ 2. Isto significa que − 2 ≤ x ≤ 2. Como, pelo membro esquerdo, temos x ≥ 1, conclu´ımos que 1 ≤ x ≤ 2.

b) [1,0 ponto] Resolva a equa¸c˜ao. Solu¸c˜ao: Vamos elevar ambos os membros de

x − 1 = 2−|x| ao quadrado: assim, x−1 = (2−|x|)^2 = |x|^2 − 4 |x| + 4. Como |x|^2 = x^2 , e pelo item (a), devemos ter 1 ≤ x ≤ 2 (em particular, x > 0), a equa¸c˜ao fica

x^2 − 5 x + 5 = 0.

Pela F´ormula de B´ashkara, temos duas ra´ızes: x 1 = 5 +^

2 , que ´e maior do que 2 e portanto

n˜ao est´a no conjunto de valores admiss´ıveis; e x 2 =^5 −

2 , que pertence ao intervalo de valores poss´ıveis, pois

5 > 2, donde

Conclus˜ao: a equa¸c˜ao possui uma solu¸c˜ao, x =^5 −

Quest˜ao 2 [3,0 pontos] Considere a express˜ao E(x) = (^) (x −(2 x1)(^ + 1)x − 2). Fa¸ca o que se pede:

(a) [0,5 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) = 0. Solu¸c˜ao: Note que E(x) = 0, se e somente se, 2x + 1 = 0. Assim, x = −^12.

(b) [1,5 pontos] Complete a tabela abaixo com o estudo do sinal de cada express˜ao escrita na tabela. Observe que o estudo do sinal j´a foi feito para a express˜ao 2x + 1.

x < −^12 −^12 < x < 1 1 < x < 2 x > 2 2 x + 1 − − −− + + + + + + + + + x − 1 − − − − − − + + + + + + x − 2 − − − − − − − − − + + + E(x) = (^) (x−(21)(x+1)x−2) − − − + + + − − − + + +

(c) [1,0 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) > 0. Solu¸c˜ao: Pelo o estudo do sinal feito no item (b), temos que: E(x) > 0 para x ∈ (−^12 , 1) ∪ (2, +∞).

Quest˜ao 3 [2,0 pontos] Uma plataforma A de streaming de m´usica exige uma assinatura de 20 reais para que o ouvinte tenha a liberdade de ouvir m´usicas e baix´a-las (ou seja, fazer o download) para seu celular ou computador, mas o download custa 1 por m´usica. Numa plataforma B, a assinatura ´e gratuita, mas o download de m´usicas custa 5 reais por faixa. Dependendo do n´umero de m´usicas que um certo ´album ou artista possua, pode ser mais vantajoso utilizar a plataforma A ou B para fazer downloads. Qual n´umero de m´usicas faz com que A seja mais vantajosa para o consumidor? Solu¸c˜ao: Seja x o n´umero de faixas a serem baixadas. Na plataforma A, o custo para o consumidor ´e CA = 20 + x, enquanto na plataforma B, o custo fica CB = 5x. Para que a plataforma A seja mais vantajosa, devemos ter CA < CB , isto ´e,

20 + x < 5 x, ou seja, 4x > 20, donde x > 5. O n´umero de m´usicas no download deve ser maior do que 5, ou no m´ınimo 6 faixas.

Quest˜ao 4 [1,5 ponto] Considere a par´abola cuja equa¸c˜ao canˆonica ´e dada por: y − 2 = (x − 1)^2. Determine a equa¸c˜ao da reta que passe pelo v´ertice da par´abola e pelo ponto de interse¸c˜ao da par´abola com o eixo Oy. Solu¸c˜ao: Da equa¸c˜ao y − 2 = (x − 1)^2 , conclu´ımos que o v´ertice da par´abola ´e o ponto V = (1, 2). Para determinar os pontos de interse¸c˜ao dessa par´abola com o eixo Oy, fazemos x = 0 na equa¸c˜ao y − 2 = (x − 1)^2 , obtemos y = 3. Logo, o ponto A = (0, 3) ´e o ponto de interse¸c˜ao dessa par´abola com o eixo Oy. Assim, queremos determinar a equa¸c˜ao da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (0, 3). O coeficiente angular da reta que passe pelo v´ertice da par´abola e pelo ponto de interse¸c˜ao da par´abola com o eixo Oy. ´e: m = (^03) −−(1)^2 = − 1 Logo, y − 3 = − 1 x. Portanto, y = −x + 3 ´e a equa¸c˜ao da reta.

RASCUNHO

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