Aplicações de EDOs, Notas de estudo de Engenharia Civil

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SÉRGIO DOS SANTOS ALITOLEF

ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS

JI-PARANÁ

UNIVERSIDADE FEDERAL DE

RONDÔNIA

CAMPUS DE JI-PARANÁ

SÉRGIO DOS SANTOS ALITOLEF

ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado a Fundação Universidade Federal de Rondônia ―UNIR, como requisito parcial para obtenção do título de Licenciatura Plena em Matemática, sob orientação do Prof. Ms. Reginaldo Tudeia dos Santos.

JI-PARANÁ

UNIVERSIDADE FEDERAL DE

RONDÔNIA

CAMPUS DE JI-PARANÁ

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus o nosso protetor que sempre foi minha luz neste caminho.

Aos meus pais que nunca me desampararam e sempre me deram todo o apoio necessário de todas as formas possíveis para mais esta realização em nossas vidas.

À minha noiva Jaqueline, minha maior companheira, que esteve ao meu lado neste último ano, dando-me todo o apoio, carinho e atenção que precisava.

À minha irmã Cedilane que vivenciou diariamente cada passo desta jornada.

Não posso esquecer também dos amigos que me acompanharam nesta trajetória, pessoas que viveram grande parte desta etapa comigo.

Ao orientador Prof. Ms. Reginaldo Tudeia dos Santos pelo incentivo e confiança, sendo que nunca mediu esforços. Sempre atencioso soube elogiar, criticar e sugerir quando necessário, tendo fundamental importância para a realização deste trabalho.

Aos membros da banca examinadora que se dispuseram a avaliar e prestigiar nossa pesquisa.

“A teoria de equações diferenciais é a disciplina mais importante dentre todas

as disciplinas matemáticas”

Marius Sophus Lie (1842-1899)

SUMARIO

• INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................
• 1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .....................................................................................................
  • 1.1 UM POUCO DA HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...................................
  • 1.2 DEFINIÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...............................................................
    • 1.2.1 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial ...................................................
    • 1.2.2 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) ........................................................
    • 1.2.3 Resolvendo uma EDO separável .......................................................................
    • 1.2.4 Equações Diferenciais Parciais (EDP) ..............................................................
• 2 ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...............................................
  • TEMPERATURA DE NEWTON)............................................................................................ 2.1 APLICAÇÃO NA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (LEI DE VARIAÇÃO DE
  • 2.2 APLICAÇÃO COM JUROS COMPOSTOS......................................................................
  • MALTHUS)............................................................................................................................... 2.3 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO POPULACIONAL (MODELO DE
    • algumas Cidades de Rondônia ................................................................................... 2.3.1 Aplicação do Modelo de Crescimento e Decrescimento Populacional em
      • 2.3.1.1 Validação do Modelo...........................................................................
      • 2.3.1. 2 Ji-Paraná...............................................................................................
      • 2.3.1.3 Ouro Preto do Oeste.............................................................................
    • 2.3.2 Importância da Pesquisa com os municípios ...................................................
• CONSIDERAÇÕES FINAIS ...............................................................................................................

INTRODUÇÃO

No século XVII os matemáticos Izaac Newton (1642-1727)^1 e Gettfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)^2 descobriram de forma independente, técnicas de derivação e integração, posteriormente utilizadas para resolver problemas que envolvem derivação, denominadas Equações Diferenciais, o que daria a resposta a vários enigmas envolvendo conhecimentos matemáticos e até então não solucionados, tais como a área de uma superfície plana com suas arestas irregulares. Essa nova proposta matemática foi apreciada por inúmeros estudiosos que desenvolveram teorias que produziram grandes avanços na matemática e inúmeras aplicações, principalmente nas ciências físicas.

No grande processo de desenvolvimento social e tecnológico mundial, a matemática considerada por muitos, a mãe de todas as ciências, pois pode ser usada em diversas áreas e com suas inúmeras formas de aplicações, sempre foi uma peça chave, e sempre contribuiu no desenvolvimento de estudos em diversas áreas, ela também está presente em quase todos os momentos das nossas vidas e sem dúvida de vital importância, pois é utilizada em atividades que envolvem desde um simples troco na padaria ou no supermercado, a cálculos complexos como, por exemplo, na construção de um prédio ou de um moderno avião.

As Equações Diferenciais é um exemplo de conteúdo matemático que pode ser aplicado em diversas áreas das ciências, como; na Mecânica, na Biologia, na Física, na Química, na Economia, nas diversas áreas das engenharias, entre outras. Nesse contexto, mesmo sendo pouco vista no cotidiano humano, isto em cálculos sumários, ainda assim, estão presentes no dia a dia das pessoas, como por exemplo, a própria função velocidade que é uma simples derivada da função espaço, ou no cálculo de juros compostos. Com isso, essas equações se tornaram uma ferramenta poderosa pelas suas inúmeras formas de aplicação,

(^1) Nasceu em Woolsthorpe, na Inglaterra, foi educado no Trinity College, em Cambridge, e se tornou professor de Matemática, na cadeira Lucasian. É considerado um dos maiores gênios da humanidade, suas contribuições transcendem o campo da Matemática. Dedicou-se a Ciência da Mecânica e da Óptica. Estudou a lei da inércia de Galileu; teoria das colisões; conservação do momento e muitos outros aspectos que preenchem nosso currículo escolar até hoje (CONTADOR, 2006). (^2) Nasceu em Leipzig, na Alemanha, onde aos quinze anos entrou na universidade e aos dezessete obteve o grau de bacharel. Conhecedor das diversas ciências é considerado o último sábio a conseguir conhecimento universal. Sua contribuição matemática mais significativa, além do cálculo, foi em lógica (BOYER, 2009).

1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

1.1 UM POUCO DA HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

De acordo com o PCN “O contexto histórico possibilita ver a Matemática em sua prática filosófica, científica e social e contribui para a compreensão do lugar que ela tem no mundo” (BRASIL, 2001). Com base neste fundamento, a presente pesquisa traz parte do relato histórico das Equações Diferenciais.

Os primeiros conceitos de Equações Diferenciais tiveram seu início na Europa com a descoberta do cálculo diferencial e integral no século XVII, conceitos de fundamental importância para a solução de diversos problemas da matemática.

Algumas idéias do Cálculo podem ser encontrada nos trabalhos de matemáticos gregos da Antiguidade, da época de Arquimedes (287-212 A. C.) e em trabalhos do início do século dezesseis por René Descartes (1569-1650). Pierre de Fermat (1601-1665), Jhon Wallis (1616-1703) e Issac Barrow (1630-1677). Entretanto, a invenção do Cálculo é frequentemente atribuída a Sir Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-171), (LEITHOLD, 1994, V. I e II).

O desafio para a descoberta do cálculo era solucionar um problema que instigava os matemáticos entre os séculos XVI e XVII. O problema consistia em encontrar uma equação que descrevesse o movimento de um corpo animado de velocidade variável, acelerado ou desacelerado. “Em outras palavras, os contemporâneos de Newton e Leibniz eram incapazes de calcular a velocidade exata do corpo em aceleração num dado instante” (CAPRI, 2006, p. 101). Assim, perceberam que podiam resolver o problema usando noções do Cálculo Diferencial.

Newton desenvolveu suas teorias mais voltadas para mecânica. Segundo Boyce e Diprima (2006, p. 15), “Suas descobertas sobre o cálculo e as leis da mecânica datam de

1665. Elas circulavam privadamente entre seus amigos, mas Newton era muito sensível a críticas e só começou a publicar seus resultados a partir de 1687”. Nesse ano surgiu sua obra mais famosa, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Seus estudos contribuíram muito para o aprimoramento das equações diferenciais, dentre eles, a construção das fórmulas das equações diferenciais de primeira ordem como dy/dx=f(x), dx/dy=f(y) e dy/dx=f(x,y) (BOYCE e DIPRIMA, 2006), ele usou esse cálculo para descrever todos os movimentos

possíveis de corpos sólidos em termos de um conjunto de equações diferenciais, que posteriormente, foram denominadas de “equações do movimento de Newton”.

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), conhecendo os princípios básicos dessas equações, aprimorou e aperfeiçoou os cálculos de Newton em tal medida que foi capaz de explicar cuidadosamente todos os detalhes que caracterizam os movimentos dos planetas e dos cometas, bem como o fluxo das marés e outros fenômenos relacionados com a gravidade (CAPRA, 2006).

Leibniz conseguiu resultados, nessa área, um pouco depois de Newton, mas foi o primeiro a fazer publicações sobre esses estudos, em 1684. Entre suas contribuições nessa área, destacam-se o método de separação de variáveis, redução de equações homogêneas a equações separáveis e procedimentos para resolver equações lineares de primeira ordem, a notação usada até hoje dy/dx e o sinal da integral ( (^) ∫ ), são invenções desse brilhante

matemático.

Para a ciência, a invenção do cálculo diferencial foi um passo gigantesco. Pela primeira vez na história humana, a concepção de infinito, que tinha intrigado filósofos e poeta desde tempos imemoriais, tinha recebido uma definição matemática precisa, que abria inúmeras possibilidades novas para a análise dos fenômenos naturais (CAPRA, 2006, p. 104).

A partir dessas descobertas, vários matemáticos começaram a usar tais fundamentos para desenvolverem seus estudos, o que cada vez mais ampliou as notações e os conceitos das Equações Diferenciais como forma de aplicação em várias ciências. Entre tais matemáticos, estão os irmãos Jakob Bernoulli (1654-1705) e Johann Bernoulli (1667-1748), que viviam em constantes desafios entre si. Jakob contribuiu com o estudo da “equação de Bernoulli”

que ele, Leibniz e Johann resolveram. Tempos depois, na mesma família, apareceu Daniel Bernoulli (1700-1782), filho de Johann, que também teve destaque com a equação de Bernoulli em mecânica dos fluidos. Também no século XVIII, são destacadas as figuras de Leonhard Euler (1707-1783) e Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), entre outros.

Mas em geral, essa taxa pode ser melhor observada através dos gráficos da secante e da tangente de uma equação, onde, sabe-se que uma reta que passa por dois pontos dessa equação é chamada de reta secante (Figura 1), e uma reta que corta apenas um ponto dessa curva é denominada reta tangente (Figura 2). A reta tangente pode ser representada por uma equação denominada derivada.

Figura 1: Inclinação da secante ao gráfico de f

Figura 2. Inclinação da tangente à curva como a derivada de f ( x )

Segundo Leithold (1994, p. 140), a reta tangente pode ser definida da seguinte forma:

Suponhamos que a função f seja contínua em x 1. A reta Tangente ao gráfico de f no ponto

P( x 1 , f( x 1 )) é

(i) a reta por P tendo inclinação m( x 1 ), dada por

1 1 1 0 ( ) lim^ (^ )^ (^ ) x m x f^ x^ x^ f^ x ∆ → x

= + ∆^ −

∆ ,^ (1)

se o limite de x existir;

(ii) a reta x= x 1 se

1 1 0 lim^ (^ )^ (^ ) x

f x x f x ∆ →+ x

∆ for^ +∞^ ou^ −∞^ (2)

1 1 0 lim^ (^ )^ (^ ) x

f x x f x ∆ →− x

∆ for^ +∞^ ou^ −∞^ (3)

Caso nenhuma das duas definições seja verdadeira, não existirá reta tangente ao gráfico no ponto em questão.

Segundo Bronson (1977, p. 01) “uma equação diferencial é a que envolve uma função incógnita e suas derivadas”. Pode ser classificada como equação diferencial, a equação matemática onde se procura uma função desconhecida que relaciona uma ou várias variáveis independentes a essa função e suas derivadas de várias ordens. Veja os exemplos a seguir:

a) 2 2 2

2 y ddyx = y + b) (^) ( y '') 2 + ( y ')^3 + 2 y = x^2 (4)

As derivadas ordinárias são escritas de duas formas, a primeira criada por Leibniz, escrita assim dy dx , ou pela notação chamada linha, escrita assim y ,, desta forma a equação

(14) pode ser representada como sendo;

y^ ,^ = 22 x + 4 (10)

1.2.3 Resolvendo uma EDO separável

Baseado em alguns princípios, pode-se solucionar uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e primeiro grau.

Como por exemplo; dy dx (^) = 3 x − 1 (11)

Da seguinte forma:

i) Separar (isolar) as variáveis formando a equação vista em (12)

dy = (3 x −1) dx (12)

ii) Aplicar integral nos dois membros tem-se;

∫ dy^ =^ ∫ (3^ x^ −1) dx (13)

iii) A solução desta é vista em (14), onde C 1 e C 2 são constantes arbitrária;

y + C 2 (^) = 3 x^2 − x + C 1 (14)

iv) Isolando a variável dependente y, tem-se;

y = 3 x^2 − x + C 1 (^) − C 2 (15)

Como C 1 e C 2 são duas constantes arbitrárias, pode-se concluir que C 1 (^) − C 2 = C ,

assim a solução final desta equação pode ser vista em (16), onde C é uma constante arbitrária;

y = 3 x^2 − x + C (16)

1.2.4 Equações Diferenciais Parciais (EDP)

Quando a função procurada depende de duas ou mais variáveis independes, ela é denominada Equações Diferenciais Parciais, relacionando essas a uma ou mais funções desconhecidas de ordens e graus variados.

Exemplo:

2 2

2 2

2 ∂∂ xu^ +∂∂ yu +∂∂ zu^ = (17)

Segundo Bronson (1977, p. 49):

A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa de variação da temperatura do corpo é dT/dt , e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser formulada como dT/dt=-k(T- Tm) ou como dT/dt + kT = KTm, onde k é uma constante positiva de proporcionalidade.

Com base nesta definição pode-se escrever este modelo da seguinte forma:

dT (^) kTm kt dt =^ −^ (18)

Problema 1: De acordo com a lei de arrefecimento^4 de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença (de temperatura) da substância e a do ar. Sendo a temperatura do ar 30°C e resfriando a substância de 120ºC para 80ºC em 20 minutos, achar o momento em que a temperatura desta substância será 50ºC.

Solução:

Seja T a temperatura da substância. t o tempo. Tm a Temperatura ambiente temos:

E sabendo que Tm = 30, a equação pode ser escrita da seguinte forma:

dT dt = kTm − kT ⇒ dTdt = − k T ( − Tm ) (19)

dT dt = − k T ( − 30) ⇒ (^) TdT − 30 = − kdt (20)

(^4) Arrefecimento: Tornar-se frio; esfriar, Perder ou moderar a energia, o fervor. (FERREIRA, 2001).

Integrando entre os limites t variando de 0 a 20 minutos e T variando de 120ºC a 80ºC, obtém-se:

(^80 20 80 ) 120 30 0 ln(^ 30 )^120

dT (^) k dt T k t

∫ T − = −^ ∫ ⇒^ −^ = − (21)

ln 50 ln 90 20 20 ln 9 20 0, k k (^) 5 k − = − ⇒ = ^ ⇒ =  

Integrando entre os limites T variando de 120°C a 50ºC, t variando de 0 a t minutos, consegue-se o instante exato em que a temperatura será 50°C.

50 120 30 0 ln 20^ ln 90

dT (^) k tdt kt

∫ T − = −^ ∫ ⇒^ −^ = − (23)

Multiplicando ambos os membros por 20, tem-se;

20 20 ln 9 kt (^) 2 = ^   

Como 20k = 0,5878, isolando t tem-se;

20ln 9 2 t = (^) 0,5878 (25)

t =51,1765021 ou aproximadamente 51 min e 11 segundos.

Problema 2: Um bolo é retirado do forno a uma temperatura de 150°C , passado quatro minutos essa temperatura cai para 90°C. Quanto tempo levará para que o bolo resfrie até a temperatura de 30ºC, sabendo que a temperatura ambiente é de 25°C?