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Variáveis Alectórias
Variana Aleatória? Para um ento esfago de probabilidade (1, it,P),^ uma Noco éuma função com
Dominios (^) e contradominio IR. (^) Afungo x deve (^) se (^) deferida de (^) forma a
que
o confunto?
Ax = {w= x (^) (w) 2e^ t a, XxEIR Exemplo: Longa-se 2 daden^ abica, sendo^ o^ resultado^ o^ mi^ de^ cada^ uma das^ Fale^ maltadas^ fera eina X - voc. que rep.^ a soma das^ mimera das (^) face voltadas^ para cima X(c) =^ i+ j, sendo a^ (i,j)
a
voax toma valores (^) entre 2 e 12 Fungc distribugar:Fx(x)
= P(X(x) =
P([w=X(c) - x3), Frei
Propriedade: Fx(
- x) = ix Fx(x) =^0 p(a(X- b) (^) =Fx(b)- Fx(a) p(a (^) -^3 X (^) - 6) (^) =Fx(b) - Fx(a) + P(X=a)
· Fx +y)=
iFx(x) = 1 p(ax(b) = Fx(b) - Fx(a) - P(x =6) + P(x= a) p(a(X (b)^ = Fx(b) - Fx(a) -^ P(x^ =^ b)
Funges monótona,^ não^ de^ crescente
Fangas é^ continua^ à^ direita
- Variável (^) Abatória Discreta
X é uma voar discreta se X tomar valora num
conjunto finito,^ ou^ infinito^
memeravel.
Logo a (^) função destribuigac éuma^ escada Fums Massa de^ Probabilidade? Fungas que, a (^) cada valor^ numérier (^) que a voar (^) assume, associa a probabilidade a^ desse^ vala. · p0, Xi Porto^ se
P
x = (E=^ p(x= xi) , i^ CIN mana associada^ com o^ forto de massa Exemplo de^ Dados:^ Y- (^) Nos que representa^ a (^) diferenga, em vala^ absoluto^ entre^ as (^) fren
volluche sa eins
Y (a)^
= (i- j), sendo c(i,j) ->^ Pode^ toma^ a^ valor^ 0,1,2,3,4 eS Probabilidade de (^) ser 08 P(0)^ = (1-1,
- 2,3-3,4- 4,5 - 5,6 -^ 6) Gouro.
P(e) =
1 P(2) (^) = P(3) = 5P(4) = yP(s)
5 1 - ⑧ 8 9 -
i
xi 0123456
I " e (^) · (^0 1 2 3 4) S 6 = · P(X = xi) 01
o
I I^ > 0
t (^) P(0) P(0) PCO) (^) o o o
- 2 !!^ p(1)
- Variável Aleatória Cortina D(z) Dizemce que uma^ voc.^ X^ i^ continua^ se^ existir^ uma^ funsic^ fx tal^ que^ s Fx(x)= (-4fx(u) de Fumgac densidade de^ Probabilidade:^ Se^ X^ é^ voco^ continua, a^ fuseas fx (.)^ deferida atrásédesignada for Furga: den. de^ Pro.
f(x) >,0,^ Xxe^ (R fx(x) = dFx(x)
(f(x)dx = 1 dx
E
Exemplo: Sefox uma^ nos^ com^ 0(x^1 fuga do^ por
dudefaf(x)
= 2 - xx1(x -
se
e caso contrário · Determine a
respetiva funss Distribuisas
F(x) = P(x =^ x)= (edu
=
(z)
=
F(x)
P(xxx) =
(x
+ dx
(zY)
3x
=
(y
- x) - 1,12x r 0 x^0 No (^) Histograma Fx(x) = E se^ 0-
E
1 x x ), 2
e (y^
- (^) x) - 1x12x 2 O (^) ①- Gaaratfx(x)
②->^ a^ area^ ->^ F((x)
Deferias de^ Vala^ médio Sefo Xnema^ Noco.^ O^ vala (^) médio de X
designado a^ EIX)^ àdeferido^ fa
· (^) se (^) X
uma voar^ discreta^ com^ forta de^ massa xi, i^ =^ 1,2,00-8E(X)^ = {xP(X =^ xi)
· Sex
rema voar continua com^ fodop. fx(x):E(x)
=
(-yxfx(x)
dx
Logo, vala^ médio^ de^ X^ é^ uma^ medida^
de (^) localizaga do Centro da (^) distribuigas de (^) X. Propriedade: EC)^ = c, E(XC)^ = cE(X);E(a,X,
Logo E(,aiX)^
a E(X)
Exemplo
de Cima? Y- no co
que representa^ a diferenga, em vala^ absoluto^ entre^ as (^) fren
volluche sa eins
p(0) =
-P(1)
=
18P(2)
=^2 P(3)^ = P(y)=
36 36 yP(s)-
Y =
vala médio (^) du voa. Yi dado (^) ja
E
8 s^ E(Y) =
wp(Y
= b) =0x
1x
2x
+3x
3x
28 = 1,
⑯Se^ fosse de rama Noco continua
E
6x(1 - x)10[x (^) - 1 o (^) caso contrário E(x) =
(2xfx(x)dx
(,6xz(
Variância Sif. Xuma^ voce.^ A^ variância^ de^ X, (^) designada ja^
Var(X) é
deferida 1a:^ Var(x) =
(((X
E(x))]
· Se X é
voar discreta com^ o demana (^) si, i = 1,2, ...Va(X)=
(xi
voc. continua com^ fodopofx(x): Var(x)^ = f(x
- mx)2fx(n) des^ 1x =E(x) De (^) forma
geral:
Va(X)
= E(X2) - E2(X)
Propriedade: Var(x)^
(0x)2 E)^ Ox =^ +^ Na(X)^ ·^ Sex1,^ X2000^ forem voc. Ind entc?
· Var(X), 0 · Var(aX + b) =a2Va(X) var
(0xi)^
a!Var(x)
Distribuison Continuas
Distribuis (^) Urifame Av.a.X^ tem^ distribuisasuniforme se a^ sua (^) fugas densidade de^ pobabilidade for dangatar
ae
Com (^) a, belR efal que ast E 0, caso^ contrário e o se (^) x CG
Fx(x) =
Serasa e^ e
Distribuis (^) Exfonencial Avariável (^) aleatória X (^) tem (^) uma (^) distribuisac exforecial se (^) a sua fo dopo^ fa^ dada^ for fx(x) = x exp(
Xxe), xex0,4>0 E(x)^
= 5
Fansa distribuis: Fx (x)^ =
40 sexeco Var(x)^ = 2 1 - exp(- xx) sex? 0
Distribuisas mamal^ (Gaussianal
A (^) voc. X (^) tea Domanal se a (^) sua função densidade^ de^ probabilidade^ fadada (^) fu fx(x) = fe (=) , x =^ IR, (^) MEIR, 0>0^ E(x) = x Va(x)^ =^02
Fx(x)
= P(x=x) = ( (^) e () du P(xx^ x - x) = 1 - 4(2) P(xxx +^ x)^ = 1 - 4() Santil (^) do normal? Um^ quantil de^ ordem (^) pé denotado^ P(a(X(6)^ = 4(=u)
Csinal mas (^) interessal^ 4(Er) for (^) sp e^ èanociado P(x-xxp) = p - Probabilidade^ - Fungar immermal (^) (pab, (^) midia,desid (p, E(x),^ wa(x) Soma (^) de Variáveis (^) Aleatória Média de variâneis Abatöric Namais Sw = E Yin (Eri Ir = .EX: N, e
Wing
SweGar(E(Sw), (^) va(sp)) asem^ ~ (^) -> e SNMP(NX4) Caso E(Xi)
M Noro4 =NxX^
m (Xi) = 02
Xi = 1,m Teorema do (^) limite central Sefa(X: Bis^ uma (^) sucess de (^) variaveis aleatórios (^) indefendenter e identicamente distribuida com (^) variância finite, isto^ é,^ Van (^) (Xi)=12. Considerem (^) a E(Xi)
ue Sp^
EX,
Enta Sm-me
D
> n^ (0,1) on
E(Sw) = mp eVa(Sn) =n
para média amostral?^ ECXi)^ = nex = 1Exi. Era, Xr-v (^) < ZnNC0,1) E(Xn) = e eVar(Xn) =
/V
Pare (^) Aleatórios for aleatório^ (X,^ Y)^ i^ do^ tipo discreto^ se^ existe^ um^ conjunto finito, ou^ infinita reinerärel,^ AIR tal que P((X,Y)^ (A)^ = 1 Se A (^) = ( (xi,yj) (^8) i,j = 1,2,00}, enta Pij
=P(X = xi,Y=
yj), Femgar Mana^ de^ Probabilidade (^) marginal de X?^ Sefo(X,) rum (^) for aleatorio com fomop. i) Pio, Fe^ Pij =P(x= 2,Y= yi) (^) pi. =^ P(X= 20) ii)EPi =^1 Para marginal de Y^ é p.j = P(Y= yj) Foropo dex, dado^ Y^ = yj: Sifa^ (X,Y) um^ far abatório^ do^ tipo discreto.^ SeP(Y= 4:)> entac (^) a (^) formopo condicional de (^) X dodo Y=
yj é
dada fai
Propriedade. 8,0, Ve (^) P(x = a/Y= yj) =^ P(X= x,Y= yj) = P(Y= yj) 8 = 1 Para^ Formopo condicional^ de^ Y, dado^ X^ =^ ce
é exatamente^
igual P(Y= yy/X
= x) =
= Indefendência? Para^ X^ eserem^ indefendente, P(X^ = xi,Y = yj) =P(X= x) xP(Y= yj)
Pi.P.j Exemplo? a) P(x (^) =1) =P(X = 1,4= 1) + P(x = 1,4= z) + P(x= 1,4= 3) = 0,04+ 0,12 + 0,13 = 0, P(X =
- = 000 = 0,12 + 0,11 + 0,11 = 0,
X
E 1 2 3 P(x =
- = 0,13 + 0,1 + 0,09 = 0,32 0,34 0,34 0,
p(xx2,4z) =P(x= 3,4= 3) = 0,09 - Ver (^) Tabela b(x) (^) 10kz) = 6p(x = 2,x= j) + jp(x
3,y
j)
EP(x = 0,4= 3) = 0,74// Coronância? (^) Sefar X^ e duc^ voar^ deferida no mesmo^ espaço de (^) probabilidade Cow(X,Y) = E(XY) -^ E(X)E(Y) com base (^) no cow? Va^ (X+Y) = Van(x)+Van(Y) + (^2) Cow(X, i) Van(X - Y) =^ Va(x)^ + van(r) - (^2) Cow(X,Y)
Se os Noao Forem Indefendentes: E(XY) =E(x)^ x^ E(Y)
Var(x + Y) = va (^) (X) + Va(Y)
Var(X - Y) = Van(X) + va(Y)
Primeiro valor^ da^ Amostra^ Ultimo vala^ da^ Amostra
- C (^) ~
- Caiser (^) com Bigodes *^ *^ Barreira (^) Inferior, BI: BI (^) =Qy-1,5(Qe -Q1u) de (^) se (^) des
BS = Q,y + 1,5(Qy/4 - Q1/4)
Outlier: Valores^ fora do^ comer Inferiores a^ BI superiores de^ BS Intervalo de^ confians a -ver numa^ Tabela^ Distribuisc
. (^) Para (^) vala esperado: (IIEra-1) fal, 1-2=confianga · Pana
variância.
(i-bi (^) iiz "Na zona
do o da Tabdal
· para
probabilidade: (^) (8-Zr-an),
zn- d
