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Apostila de dinâmica Relativistica.
Tipologia: Notas de estudo
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DINÂMICA RELATIVÍSTICA
Resumo
O momento linear relativístico de uma partícula que se move com velocidade u
em relação a um referencial inercial S é dado por:
. 1
2
(^02)
c
u
p mu u onde mu u m u −
Nestas expressões u é o módulo da velocidade, m(u) é a massa relativística da partícula e m 0 é a sua massa de repouso. Note que o momento relativístico se reduz ao momento clássico ( p (^) c mu
= ) no limite u Æ 0. Na dinâmica relativística, a energia relativística e a massa relativística de uma partícula estão relacionadas pela famosa equação de Einstein:
É fácil verificar que a energia e o momento linear relativísticos estão relacionados pela equação:
E^2 - p^2 c^2 = (m 0 c^2 )^2.
Se a partícula se encontra em repouso em relação a um referencial S ( u = 0), então a energia da partícula é a chamada energia de repouso : E 0 = m 0 c^2.
Às vezes é útil definir a energia cinética relativística de uma partícula, que é simplesmente a diferença entre a sua energia relativística e sua energia de repouso:
A equação E 0 = m 0 c^2 tem um significado muito profundo: ela nos diz que massa e energia são basicamente equivalentes. Uma das mais importantes implicações dessa equação é a noção de que podemos, em princípio, transformar massa em energia e vice-versa. Para ver como isso é possível, considere duas partículas quaisquer que, isoladamente, têm massas de repouso m0A e m0B. Mas se essas duas partículas formam um sistema ligado de massa de repouso M 0 , há uma energia de ligação do sistema, EB , dada por:B
EB = (m0A + m0B - M 0 )c^2.
Isso significa que um sistema ligado (por exemplo, um átomo ou um núcleo atômico), tem uma massa diferente das massas de suas partes constituintes. Se a massa do estado ligado for menor que as massas das partes constituintes, a energia de ligação é positiva; se for maior, a energia de ligação é negativa. Assim, por exemplo, um átomo de Hidrogênio tem uma massa ligeiramente menor que um próton e um elétron isolados; um núcleo de 2 He(4)^ tem uma massa um pouco menor que dois prótons e dois nêutrons; já o isótopo radioativo 92 U(235)^ pode decair em subprodutos que têm uma massa um pouco menor do que o núcleo original^1 (esses subprodutos podem ser, por exemplo, 56 Ba(141), 36 Kr(92)^ e mais dois nêutrons). Desta forma, é preciso fornecer uma certa quantidade de energia para ionizar um átomo de Hidrogênio ou quebrar um núcleo de Hélio, mas quando o núcleo do Urânio 235 se quebra uma certa quantidade de energia é liberada no processo (o decaimento de núcleos radioativos é conhecido como fissão nuclear ).
(^1) Na verdade o decaimento espontâneo do 92 U (235) (^) é extremamente lento, mas podemos acelerar esse processo
tremendamente se excitarmos levemente o núcleo de 92 U(235)^ com um nêutron de baixa energia. Essa reação foi observada pela primeira vez por Otto Hahn e Fritz Strassman em 1938.
1- Calcule a massa relativística, o momento e a energia cinética de um múon que se move com velocidade de magnitude v = 0,999 c****. A massa de repouso de um múon é m μ = 1,8807 x 10-28^ Kg.
A massa relativística é dada por
x Kg
c
v
m m v 2 27
28
2
2
−
ou, m(v) = 236,3 MeV/c^2.
A magnitude do momento linear relativístico pode ser calculada por:
p = m( v ) v = 4,206×10-27^ × 0,999 × 3×10^8 , ou seja, p × c = 3,78 × 10-10^ J = 2,361 MeV. Logo, p = 2,361 MeV/c.
A direção e o sentido do momento são os mesmos da velocidade.
A energia cinética será
Ek = E - E 0 = m( v ) c^2 - m 0 c^2 = (4,207 - 0,1881) × 10-27^ (3×10^8 ) = 3,617×10-10^ J = 2,26 MeV
Obs.: Verifique que a relação E^2 - p^2 c^2 = (m 0 c^2 )^2 é satisfeita.
2- Um elétron tem momento linear de módulo p = 5×10-22^ Kg m/s. Calcule sua energia cinética relativística. A massa de repouso de um elétron é me = 9.096×10-31^ Kg.
Note que a massa de repouso do elétron pode ser expressa em MeV/c^2 :
me c^2 = 8,186×10-14^ J = 0,511 MeV , ou me = 0,511 MeV/c^2.
A energia relativística é dada por
E^2 =(pc)^2 +(m 0 c^2 )^2 =(5×10-22^ × 3×10^8 )2+(8,186×10-14)^2 ; portanto,
E = 1,709×10-13^ J = 1,067 MeV.
A energia cinética vale:
K = E - E 0 = 1,709×10-13^ - 8,186×10-14^ = 8,904×10-14^ J = 0,556 MeV.
3- Um próton tem massa de repouso 1,00731 u e um nêutron tem massa de repouso 1,00867 u. Quando os dois se combinam, forma-se um dêuteron (Hidrogênio pesado), cuja massa de repouso é 2,01360 u. a) Qual a energia liberada pela reação? b) Seja uma usina atômica que produza 1000 moles de deuterons a cada hora. Qual a potência gerada pela usina?
(a) Sendo m0p, m0p e m0D as massas de repouso do próton, nêutron e dêuteron, respectivamente, a energia do sistema formado pelo próton e pelo nêutron, isoladamente e em repouso, é:
E = ( m0p + m0n)c^2
Como a energia é conservada, após a reação a energia liberada é:
EB = ( m0p + m0n – m0D) c^2.
Substituindo os números na fórmula acima obtém-se:
EB = 3,17×10-13^ J.
(b) A cada hora, a usina gera uma energia:
ET = 3,17×10-13^ × 1000 × 6,0×10^23 = 1,9×10^14 J.
Assim, sua potência é:
P = 1,9×10^14 J / (3600 s) = 5,0×10^10 Watts.
Para se ter uma idéia da grandeza desse número, basta mencionar que a potência elétrica sendo gerada em todo o Brasil é da ordem de grandeza de 10^10 Watts. Porém, as usinas nucleares hoje existentes no mundo não usam Hidrogênio, mas Urânio, o que fornece uma energia bem menor por grama de reagente.
4- Uma partícula em repouso, de massa M 0 , desintegra-se em duas partículas iguais de massa de repouso m 0 < M 0 /2. Use conservação de momento e energia relativísticos para calcular as velocidades dos fragmentos em função das massa m 0 e M 0.
O momento inicial é zero (a partícula original está em repouso). Portanto, por conservação de momento, é evidente que os fragmentos saem com momentos e velocidades idênticos, mas em direções opostas.
Da conservação da energia temos que: M 0 = m 0 γ + m 0 γ. Assim, γ = M 0 /2m 0. Portanto, as velocidades de cada fragmento têm módulo:
2 0
2 0 2
m v = c − = c − γ
Problemas Propostos
2 2 p = 2 m 0 K + K / c.
9- Um elétron e um pósitron (anti-elétron) movem-se juntos, formando um sistema ligado conhecido como positrônio, com velocidade v 0 = 0,6c. Num certo instante de tempo o pósitron e o elétron se aniquilam,
pela trajetória do positrônio. Fótons são partículas de massa de repouso igual a zero. As energias de repouso do elétron e do pósitron são iguais e valem 0,5 MeV/c^2. Despreze a energia de ligação do positrônio. a) Qual a energia do positrônio? b) Qual a energia e o momento linear de cada fóton?
10- No referencial do laboratório, qual a mínima energia cinética que um próton deve ter para que ao colidir com outro próton de mesma energia, mas movendo-se em sentido contrário, crie no estado foral mais um próton e um antipróton? (No estado final haverá três prótons e um antipróton e a mínima energia corresponde à situação em que todas as partículas estão em repouso em relação ao laboratório). [Use para a massa de repouso do próton e do antipróton M 0 = 1 GeV/c^2 .]
11- Uma partícula é criada a 20 km acima do nível do mar com energia E = 1,35x10^5 MeV em relação a Terra, e passa a caminhar verticalmente para baixo. No seu sistema próprio (sistema que se desloca com a
mesma velocidade da partícula) ela se desintegra no intervalo de tempo após a sua criação.
A energia de repouso da partícula é E
Δ t = 2 , 0 x 10 −^8 s 0 =140 MeV.^ Determine, para um observador na Terra, a) quanto tempo demora para a partícula se desintegrar? b) a que altura acima do nível do mar se dá a desintegração?
12- Duas partículas de mesma massa de repouso m 0 c^2 = 1 Ge V caminham em sentidos opostos com velocidade de magnitudes v 1 = 0,6c e v 2 = 0,8c. Num determinado instante de tempo elas colidem formando uma única partícula de massa de repouso M 0 e velocidade de magnitude v. (a) Determine o valor de M 0. (b) Determine o valor de v. (c) Qual é a energia cinética da partícula formada na colisão?
13- Em relação a um referencial S uma partícula possui energia de 5 GeV e momento linear de 3 GeV/c. a) Qual é a energia da partícula em um referencial S onde seu momento linear é igual a 4GeV/c? b) Qual é a massa de repouso da partícula? c) Qual é a velocidade relativa dos dois referenciais S e S'?
14- Uma partícula de massa de repouso M 0 estacionária, cinde-se em duas partículas cujas massas de repouso são m 0 e 2m 0. A velocidade da partícula de massa m 0 é 0,8c. a) Determine a velocidade da partícula de massa 2m 0. b) Obtenha a razão M 0 / m 0.
