UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PIAUÍ – UESPI
CAMPUS CLÓVIS MOURA – CCM
PROJETO DE EXTENSÃO UNIVERSITÁRIA: PEDAGOGIANDO PELA PAZ
A UESPI NA FAZENDA DA PAZ
MINISTRANTE: ARNONN SOUSA DOS SANTOS
APOSTILA 1
PREPARATÓRIO
MATEMÁTICA
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apostila 1 definitivo, Notas de estudo de Matemática
Uma apostila de matemática utilizada num projeto de extensão para o ENCCEJA 2017
Tipologia: Notas de estudo
2017
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CAMPUS CLÓVIS MOURA – CCM PROJETO DE EXTENSÃO UNIVERSITÁRIA: PEDAGOGIANDO PELA PAZ A UESPI NA FAZENDA DA PAZ
MINISTRANTE: ARNONN SOUSA DOS SANTOS
APOSTILA 1
PREPARATÓRIO
MATEMÁTICA
CAMPUS CLÓVIS MOURA – CCM PROJETO DE EXTENSÃO UNIVERSITÁRIA: PEDAGOGIANDO PELA PAZ A UESPI NA FAZENDA DA PAZ
SUMÁRIO
- Plano Cartesiano
- Sequência Numérica
- Razão e Proporção a. Razão b. Algumas razões especiais c. Proporção d. Propriedade Fundamental das Proporções e. Outras propriedades das proporções
- ATIVIDADES GERAIS
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EXEMPLO
As coordenadas cartesianas são representadas por dois números racionais () entre parênteses, os quais são chamados de elementos:
A: (4, 7) B: (8, -9) C: (-2, 2) D: (-5, -4) E: (5, 3)
Esses elementos formam um “par ordenado”. O primeiro elemento corresponde ao eixo das abscissas (x). Já o segundo elemento corresponde ao eixo das ordenadas (y). Note que o ponto em que os eixos se encontram é chamado de “origem” e corresponde ao par ordenado (0, 0).
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Localize os pares ordenados no plano cartesiano: a) (-9, 4) b) (8, 3) c) (0, -3) d) (-4, -9) e) (8, 0)
Em quais quadrantes estão localizados os pontos: a) (-2, -4) b) (3, 1) c) (0, 6) d) (8, -7)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
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Sequência Numérica
O diário do professor é composto pelos nomes de seus alunos. Esses
nomes obedecem a uma ordem (são escritos em ordem alfabética), assim,
essa lista de nomes (diário) é considerada uma sequência.
Os dias do mês são dispostos no calendário obedecendo a certa ordem, que
também é um tipo de sequência.
Esses e vários outros exemplos de sequência estão presentes em
nosso cotidiano. Observando-os, podemos definir sequência como:
Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão
escritos em uma determinada ordem.
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No estudo da matemática estudamos um tipo de sequência: a
sequência numérica. Essa sequência que estudamos em matemática é
composta por números que estão dispostos em uma determinada ordem
preestabelecida.
As sequências são separadas em dois tipos:
Sequência finita é uma sequência numérica na qual os elementos têm fim, como, por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35. Sequência infinita é uma sequência que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao infinito, por exemplo: a sequência dos números naturais.
Ao representarmos uma sequência numérica, devemos colocar seus
elementos entre parênteses.
EXEMPLO
- (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) é uma sequência de números pares positivos.
- (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de números naturais.
- (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10.
- (10, 15, 20, 30) é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 35.
Em uma sequência numérica qualquer, o primeiro termo é
representado por a 1 , o segundo termo é a 2 , o terceiro a 3 e assim por diante.
Em uma sequência numérica desconhecida, o último elemento é
representado por an. A letra n determina o número de elementos da
sequência.
(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... , an, ... ) - sequência infinita.
(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... , an) - sequência finita.
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b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
- Que numero corresponde a sequência a seguir: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19... Complete.
- Que numero corresponde a sequência a seguir: 37, 31, 29, 23, 19, 17...
a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12
- Que numero corresponde a sequência a seguir: 1, 2, 2, 4, 8, 32...
a) 32 b) 64 c) 256 d) 288 e) 352
Razão e Proporção
1. Razão
Quando comparamos dois números, usando uma divisão, o resultado obtido chama-se razão entre esses dois números.
A razão
𝑎
𝑏
ou a:b pode ser lida de uma das seguintes maneiras:
Razão de a para b a está para b a para b
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Os termos de uma razão, na forma fracionária ou como uma divisão,
recebem nomes especiais: o primeiro número denomina-se antecedente e o
segundo número, consequente.
𝑎
𝑏
𝑎 ∶ 𝑏
EXEMPLO
o No último concurso da Polícia Militar do Piauí, compareceram para fazer a prova: 23.234 candidatos para disputarem as 400 vagas. Vamos comparar esses dois números Dividindo o número de candidatos pelo número de vagas
23.234 ∶ 400 =
400
≅
58
1 Dizemos que há 58 candidatos para cada vaga ou que a razão entre o
número de candidatos e o número de vagas é de 58 para 1.
Dividindo o número de vagas pelo número de candidatos
400 ∶ 23.234 =
400
≅
1
58 Dizemos que para cada vaga há 58 candidatos ou que a razão entre o
número de vagas e o número de candidatos é de 1 para 58.
o Um aluno do Colégio Aretusa Jéssica, estava treinando arremessos para o jogo do time da escola. Ao final do treino, ele fez 60 arremessos em direção à cesta, acertou 30. Qual seria a razão entre o número de acertos e o número total de arremessos feitos por esse aluno?
ANTECEDENTE
CONSEQUENTE
CONSEQUENTE
ANTECEDENTE
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b) 75,4%, 64,9%, 36,5%, 34% c) 80%, 85,3%, 43,2%, 37,03% d) 38%, 67,9%, 32%, 99,9% e) 66%, 60%, 58,9%, 45,5%
2. Algumas razões especiais
a) Velocidade Media
Denomina-se velocidade média a razão entre a distância total percorrida
e o tempo gasto para percorrê-la.
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
b) Escala
Uma das aplicações da ideia de razão entre duas grandezas encontra-
se na escala de redução ou na escala de ampliação , conhecidas
simplesmente como escala.
Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento
considerado no desenho e o correspondente comprimento real, medidos
com a mesma unidade. Em geral, utilizamos as medidas em centímetro para
determinar uma escala.
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
EXEMPLO
o O metrô de Teresina percorre a extensão completa de 13,5 km em 2 horas. Qual foi a velocidade media do metrô nesse percurso.
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
A velocidade média do metrô foi de 6,75 km/h, que se lê: 6, quilômetros por hora.
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o Vamos dizer que Mão Santa está no Campus Clóvis Moura, e ele deseja ir para a Praça Cultural do Dirceu 1 para fazer um comício.
Ele pegou o mapa do bairro e mediu a distancia entre o campus e a praça que foi de 6,5 cm. Sabendo que a escala utilizada é 1:10.000 cm, qual é a distância real do campus para a praça?
A escala de 1:100, significa que a cada 1 cm no desenho corresponde
a 10.000 cm no real, ou seja, a 0,1 km.
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 Distância do desenho = 6,5 cm
Distância real = x
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d) Densidade Demografica
O cálculo da densidade demográfica também é uma aplicação de
razão entre duas grandezas. Ela expressa o número de habitantes por
quilometro quadrado de uma região. Assim, densidade demográfica é a
razão entre o número de habitantes e a área da região ocupada, ou seja:
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑑𝑎
EXEMPLO
o Uma escultura em bronze tem 3,5 kg de massa e volume de 400cm³. Qual é a densidade dessa escultura de bronze?
De acordo com os dados, temos:
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
400𝑐𝑚^3
400𝑐𝑚^3
Logo, a densidade dessa escultura de bronze é 8,75 g/cm³.
o Tocantins é o mais novo dos 26 estados brasileiros e ocupa uma área aproximada de 280.000km². De acordo com o IBGE, em 2005, o estado de Tocantins tinha uma população aproximada de 1.300.000 habitantes. Qual era, então, a densidade demográfica aproximada desse estado nesse ano?
De acordo com os dados do exemplo, temos:
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 =
Logo, a densidade demográfica do estado do Tocantins era de 4,6 hab/km²,
aproximadamente.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
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- Sabe-se que um bloco maciço de madeira tem 14 kg de massa e ocupa um volume de 25dm³. Qual a densidade desse bloco?
- A água-marinha é uma das pedras semipreciosas mais admiradas em todo o mundo. Suponha que uma água-marinha tenha 8,1 g de massa e ocupe o volume de 3cm³. Qual a densidade dessa pedra?
- Um fio de platina ocupa um volume de 0,2cm³. Sabendo que a massa do fio é 4,3 g. Determine a densidade desse metal.
e) As razoes escritas na forma percentual
Além da forma fracionária e da forma decimal, uma razão também
pode ser representada na forma percentual, com o símbolo %.
Podemos dizer que:
𝑇𝑜𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑧ã𝑜
Assim, temos:
= 0,30 = 30%
Forma fracionária
Forma decimal
Forma percentual
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EXEMPLO
o Para esculpir uma obra de arte em bronze, um escultor fundiu 23 kg de
cobre com 2 kg de estanho. Vamos calcular o teor de cada metal nessa liga de bronze. A massa total do material é igual à soma das massas dos metais que
compõem a liga. Logo:
Massa total = 23 kg + 2 kg = 25 kg Nos 25 kg de bronze, temos 23 kg de cobre, o que nos dá razão de 23
para 25. Essa razão pode ser escrita na forma de porcentagem:
23
25
= 0,92 =
92
100
= 92%
Nos 25 kg de bronze, temos 2 kg de estanho, o que nos dá razão de 2
para 25. Representando na forma percentual, temos:
2
25
= 0,08 =
8
100
= 8%
Essas informações caracterizam, respectivamente, os teores de cobre
e de estanho na liga metálica bronze:
TEOR DE COBRE 92%
TEOR DE ESTANHO 8%
o Um desconto de 7 mil reais sobre um preço de 20 mil reais representa quantos por cento?
Inicialmente, temos a razão 7 para 20, ou seja,
.
Usando frações equivalentes, temos:
7
20
=
35
100
= 35%
Usando a forma decimal, temos:
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7
20
= 0,35 =
35
100
= 35%
Como pudemos ver, 7 mil reais representam 35% de desconto
- O Brasil tem três grandes campeões na Fórmula 1: RESUMO DA ATUAÇÃO DOS CAMPEÕES BRASILEIROS DE FÓRMULA 1
Piloto Emerson Fittipaldi Nelson Piquet Ayrton Senna
Grandes Prêmios (GP) disputados
Vitórias 14 23 41
Títulos 2 3 3
De acordo com a tabela, responda:
a) De quantos por cento foi a taxa de vitórias de cada um em relação ao número de GPs disputados? b) Qual deles teve melhor índice de aproveitamento?
- Cinco minutos representam quantos por cento de uma hora?
- 19 pessoas representam quantos por cento de um grupo de 200 pessoas?
3. Proporcao
Uma sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas
razões é chamada proporção.
Proporção é uma igualdade entre duas razões
Quatros números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, tomados nessa
ordem, formam uma proporção quando:
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO