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DR E Preparado por: Filipe Samuel S Dep. Eng” Mecânica id b29*% po Preparado por: Filipe Sarinel Sidy; “intao RR Dep. Eng” Mecânica Flexão Pura Flexão Pura em Membros Simétricos Deformações devidas à Flexão Propriedades duma secção recta Flexão em Membros com Diversos Vigas de Betão Reforçado Concentração de Tensões Carregamento Assimétrico Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos eparado por: Filipe Samugl'Silva ae : E. Px Dep. Eng” Mecânica o ud tas Carregamento Excêntrico: Carregamento axial que não passa pelo centro geométrico da secção e que produz forças equivalentes a uma força axial e a um momento Carregamento Transverso: Cargas transversa, concentradas ou distribuídas que produzem esforços internos equivalentes a uma força de corte e a um momento Princípio da Sobreposição: A tensão normal devida à flexão pura pode ser combinada com a tensão normal devida ao esforço axial e tensão de corte devida ao esforço de corte, para se achar o estado total de tensão. As forças internas em qualquer secção recta são equivalentes a um momento. Os dois momentos opostos são o momento flector. * Da estática, o binário M resulta de duas forças iguais e opostas. E é * O somatório das forças em qual direcção é E ç qualquer direcção é Ba E ZETO. Ái : a i * O momento é o mesmo em relação a qualquer : eixo perpendicular ao seu plano. s . E * Estes pressupostos podem ser aplicados ao s . . É somatório das forças e dos momentos internos É em um qualquer elemento da secção. É F.=[Jo, d4=0 M,=[z0, dá=0 to M,=|-yo dd=M tas ea s Ê m e mM + E] E E] A a E E u [a [ixo Neutro Dep, Eng” Mecânica Considere uma barra de comprimento L. Depois de flectir o comprimento da superfície neutra mantêm o comprimento. Noutras superfícies, L'=(p-3)0 B=L-1'=(p-3)0-p9=- Oy ] ê =-+— =-—+ — (a deformaçao varia linearmente) L po p c c — o p=— [A Em Praparado por: Filipe Samuel Silva Eng' Mecânica Dep. o, (6) * Em equilíbrio estático, F,=0=Jo, dá=[-Lom dá Cc 0=-2t [y dA c O momento estático da secção transversal em relação ao eixo neutro deve ser zero. Logo, o eixo neutro deve passar no centro geométrico da secção. (a tensao varia linearmente) Superfície e No equilíbrio estático, =. [=| -2 M=[-yo, d4=] D] to, ) dt m=Se fy da=S [6 Cc Me M O, = 1 W Substituindo o,= “26, c M g,=-M I a É al 752 3 Apêndice C. Propriedades de perfis laminados de aço E (Normas europeias) rf] a a Perfisl El [im ú Banzo Alma Eixo X-X 1 ; Designação área Altura Largura Espessura | Espessura he TA ie h w, 4 ui Am dmm br mm te mm temmo [aciment tomem? mm | t0%mm dim mm ao : 41 IPE 600 15600 800 220 19,0 12,0 92! 3069 243 330 308 466 LPE 550 13400 550 210 2 pol 71 aá4L 223 26,7 254 45 IPE 500 LLG0O 500 200 16,0 10,2 48 1928 2M | 24 214 431 IPE 459 9880 450 190 14,6 94 337 1500 185 16,8 W6 di IPE 400 sás0 400 180 135 86 281 1156 165 13,82 146 395 a PE 360 a270 360 170 12,7 80 | 363 904 150 14 123 979 E IPE 320 6260 330 160 [5 5 ng TS 137 4 755 985 355 x IPE 300 5380 300 150 10,7 7 83,6 557 125 604 805 335 5 LPE 270 4590 270 135 1,2 | 56 ESR 429 2 420 622 32 7 & IPE 240 3810 240 120 98 | 82 38,9 324 99,7 28 473 289 & IPE 220 3340 220 110 92 59 271 252 Bl 205 373 48 Q IPE 200 2850 200 100 85 56 19,4 194 82,6 142 885 224 IPE 180 2390 Iso | 91 80 53 132 M6 742 101 22 95 IPE 160 2010 160 s2 ia 50 8,69 109 65,8 0683 167 184 As IPE 140 1640 140 73 6,9 4x 5,41 Ta STA 049. 123 165 a ss i 4 es “ 8 * A deformação devida ao momento flector é E pro quantificada pela curvatura da superfície neutra Z : / 1otm Omo 1 Me E / p c Ec EcT 5 Superfície B M ba Neutra B =—— ; EI * Embora as secções rectas se mantenham planas as deformações nos eixos yy e zz não são nulas. t E vid sy=-ve=2 e=-ve,=E a Eixo Neutro da N [ p a secção recta 1 Í a 1id o, . = z 5: | * A expansão acima da superfície neutra e a e to ui) (e = . . ty psebr dis contracção abaixo da mesma superfície causa a RE inlácti a uma curvatura chamada de anticlástica. a if t Lv + —=—= curvatura anticlastica “4 p Dat ana) fas A ê :2: rir Filipe Samuel Silva a 2! Mecânio tn D: “= SOLUÇÃO: SU pri | dm T 7 1 Em bol 2 mn 1% mus Baseado na geometria da secção recta calcula- se o centro geométrico e o momento de inércia. Area, mm? y, mm JÁ, mm? 20x90 = 1800 50 90x10? 40x30 = 1200 20 24x102 Z4=3000 LYA=14x10 YJ=2 =D" =38mm Á 3000 1e=3l+40)=-s (bo 44d?) = (190x20º +1800x122)+ (1 30x40º +1200x182) 1=868x10'mm=868x10º m” a [o iz mu B E e mn o s a fim / Centro de Curvatura Dep. Eng! Mecárica Nr) tag € â . z * Aplica-se a expressão da tensão devida a momentos para achar as tensões máximas de tracção e de compressão. — Me "og 6, = Ma - 3kN-mx0.022m C4=+160MPa, I 868x10 “mm? ETR op =—Meb 3KN-mx0.038m OBT O I 868x10? mm? * Calcula-se o raio de curvatura E|x 1. p = 3kN-m 1 (165 GPasosxio Im!) |? p 20mm , Iomm pr no 10mm a i e a Ê É ã | nt ) » e Lu 2 75mm t Latão Latão A barra é composta por uma união de partes de aço (E, = 200GPa) e latão (E, = 100 GPa). Determine a tensão máxima no aço e no latão sabendo que a barra está sujeita a 44 flexão pura por um momento AR M=5KNm. Eng devanica ep. SOLUÇÃO: * Transforme a barra numa secção recta equivalente inteiramente de latão. * Determine as propriedades da nova secção recta equivalente de latão. * Calcule a máxima tensão nesta secção transformada. Esta é a tensão correcta nas partes de latão da peça. * Determine a máxima tensão na porção de aço multiplicando a tensão calculada para o latão pelo racio dos módulos de elasticidade. ; semiea d lim, É - EA 20mm SOLUÇÃO: ' I0mm + 10mm = E A : o * Transforme a barra numa secção recta E | equivalente inteiramente de latão E ê E, 200GPa e = Do D E mm E, 100GPa b, =(20mm)* (2.0) = 40,0mm * Determine as propriedades da nova secção recta equivalente de latão. Latão Latão dom = e Som 4 fe som 1=5b,hº =L(60mm)(75mm)) no ma | =2.109%10 mm! e Calcule as tensões máximas a Me (5kNm)(37.5 mm) C=375mm 45Smm 0,= =88.9 MP | LN. Po To 21090 mm é | o Latão (O, nu = Tm (05), = 88.9 MPa Bra óomm =| (0) = 10, =20x889=177.8MPa — |(0,)...=1778 MPa és. O A) SOLUÇÃO: 190mm iha 5 * Transforme a secção numa secção inteiramente de cimento. * Determine as novas propriedades geométricas desta nova secção. ESmm macaco com Filipe Samuel e Calcule as tensões máximas no aço e no cimento. | 125mm Uma lage de chão é reforçada com varões de aço de 16 mm de diâmetro localizados 25 mm acima da face inferior da lage e com um espaçamento de 125 mm entre eixos. O módulo de elasticidade do betão é de 20 Gpa e o do aço de 200 Gpa. Sabendo que a lage está submetida, em cada metro de largura, a um momento de 12 KNm, eyalotermine: a) a tensão máxima no betão e b) «grlensão no aço. Dep. Eng” Mecânica SOLUÇÃO: & * Transforme a secção numa secção inteiramente E p— im de cimento. na no Fa - 200GPa (6 É om 4 : LN. E, 20 GPa nA, =10*8[5(0,016m) |=1,608*10º mº * Determine as novas propriedades geométricas da desta nova secção. mfã (16.08* t0)(0, 10m-—x)=0 x=0.04287 mm , Gr 653MPa | =1(1)(0.04287) + (16.08*107)(0.10-0.04287)' = 78.75*10% cm! E * Calcule as tensões máximas no aço e no = S487, IMPa cimento. td ê o Ma (2 kNm)x(0.04287m) 1 78.15*10$ mº x(0.05713 v o, =nifê -192 kNm)x( 71: mm) “E, 78.75*10" m em 
