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4. Derivadas
4.1 Introdução
Exemplo : Considere a função f(x) = x 2 e x 0 = 1.
a. Calcule a taxa de variação média da função f quando x se desloca de x 0 = 1 para x = 3. Esboce o gráfico de f e faça uma interpretação geométrica da taxa de variação média nesse intervalo.
b. Esboce uma reta secante s passando por y = f(x) interceptando-a nos pontos (x (^) 0, f(x (^) 0)) e (x (^) 0+2, f(x (^) 0+2)). Calcule o coeficiente angular da reta s. O que pode ser observado com relação à resposta do item (a)¿
c. Suponha o que acontece com a reta secante e com o valor do seu coeficiente angular se x=3 do item (a) e (b) for sendo trocado por valores cada vez mais próximos de x (^) 0=1, valores tão próximos quanto se queira. Como podemos interpretar a taxa de variação média, a reta secante e seu coeficiente angular como conseqüência dessa suposição¿
4.2 Taxa de variação:
Suponha que uma partícula se desloque ao longo de um eixo coordenado (digamos o eixo s), e que conhecemos sua posição em função do tempo t: s = f(t)
O deslocamento do objeto no intervalo de t a t +t é :
E sua velocidade média nesse intervalo é:
A velocidade (velocidade instantânea) é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo. Então:
A sua aceleração média nesse intervalo é:
A aceleração (aceleração instantânea) é a taxa de variação instantânea da velocidade em relação ao tempo. Então:
4.3 Interpretação do ponto de vista geométrico:
Seja uma curva do IR^2 e sejam P e Q dois pontos distintos desta curva, cujas coordenadas são (x (^) 0, f(x (^) 0)) e (x1, f(x (^) 1)), respectivamente. A reta que passa por P e Q é secante à curva y = f(x).
Supondo que o ponto P se mantém fixo e Q se move sobre a curva na direção de P. Assim, a inclinação da reta secante irá variar.
Def:
Definindo. Se , então. Assim, podemos reescrever o coeficiente angular da reta tangente como:
Sabemos que a equação geral da reta é , onde m é o coeficiente angular da reta.
Exemplo : Usando a definição acima, calcule a inclinação da reta tangente à parábola f(x) = x 2 para x 0 = 1, escreva a equação da reta tangente. Faça um esboço da f e da reta tangente.
Exemplo : Um objeto percorre uma curva obedecendo a equação horária s(t) = t 2 + t -2. Calcule a velocidade média entre os instante t = 2 e t =3. Calcule a velocidade instantânea em t =2.
Exemplo : Um automóvel é conduzido ao longo de uma estrada reta de tal forma que, decorridos segundos, está a s(t) = 4,5 t^2 metros de sua posição inicial. a)Encontre a velocidade média do carro no intervalo [0,12].
b)Encontre a velocidade instantânea do carro aos t = 6s.
Exemplo : Uma partícula em movimento sobre uma reta tem v(t) = no instante t. Calcule sua aceleração no instante t = 2.
4.4 Breve histórico
O Cálculo é usualmente dividido em duas partes principais: Cálculo Diferencial e Cálculo Integral , sendo que a cada uma tem sua própria terminologia. Quase todas as aplicações do Cálculo giram em torno de dois problemas geométricos que são muito fáceis de ser entendido. Ambos se referem ao gráfico de uma função. Problema 1: O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes : calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função num ponto P. Problema 2: O problema básico do cálculo integral é o problema das áreas : calcular a área abaixo do gráfico de uma função, entre os pontos x = a e x = b.
4.6 Técnicas de Diferenciação: Teo. 1 ( derivada de uma função constante ) : Se f(x) = c, c é constante, então f’ (x) = 0. Prova:
Exemplo:
Teo. 2 ( derivada de uma função multiplicada por uma constante ) Prova:
Exemplo:
Teo. 3 ( derivada de uma função potência ) : Se f(x) = x n^ f’ (x) =n.x n-1^ desde que x
Prova:
Exemplo:
1) 2) 3)
Teo. 4: ( derivada da soma ou diferença: ) ou ( f(x)g(x) )’= f ’(x) g’(x) Prova:
Exemplo: 1) y = 4x 2 – 2x 2)
Teo. 5: ( derivada do produto: ou ()’=
Prova:
Exemplo:
1) 2) y = (1 + 4x 3 )(1 + 2x^2 )
Teo. 6: ( derivada do quociente: ) ou
Prova:
Exemplo:
1) 2) 3)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros têm demonstrações análogas e ficam como exercício.
Exercícios:
y = sen 5x 2) y = 3cos 2x 3) y = tg 3x
y = sec 4x 5) y = tg x^3 6) y = tg^2 x
y = cotg(1 – 2x 2 ) 8) y = x 2 cosx 9) y = sen2x.cosx
- f(t) = sen (2 t+1) 2 12) f(t) = sen^4 ( t 3 )
- Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas Se y = f(x) com e x = f -1^ (y) é a função inversa, então:
Derivada da Função Arco Seno : y = arcsen(x), [-1, 1] []
Derivada da Função Arco Cosseno : y = arccos(x), [-1, 1] []
Derivada da Função Arco Tangente : y = arctg(x), [-,+] ][
Derivada da Função Arco Secante : y = arcsec(x), [-,1] [1,+] [/2)[ )
Generalizando: Seja u uma função de x.
Exemplo: Calcule as derivadas
a) y = arc cos (x 2 ) b) y = arc sen ()
c) y = arc sec (2s + 1) d) y = sen -
j) y = l) y = m) y =
n) y =
- Derivadas de Função Inversa (Derivada da Função Logarítmica) Seja y = f(x) derivável e. A derivada da função inversa x = f-1^ (y) é dada por:
Teorema: Seja a função f dada por f(x) = (com a F 0B 9 1 e a > 0), sua derivada é.
Teorema: Seja a função f dada por , sua derivada é.
Generalizando : Se onde u é função de x (pela regra da cadeia) Se onde u é função de x (pela regra da cadeia) Exercícios: Calcule as derivadas abaixo:
a) y = log4x^2 b) y = log2(3x + 1) c) y = log 2
d) y = 1n (x^2 + 1) e) y = log 5 f) y = log 10
g) y = log3(1 + 1n 3) h) y = log 2 i) y =
j) y = ln l) y = e2x.ln (x+1) m) y = e(2x+1)^.
4.12 Derivadas de ordem superior
Em algumas aplicações precisamos derivar uma funçÃo mais de uma vez. Se uma função for diferenciável, isto é, existe , podemos pensar na derivada de e assim sucessivamente.
Exemplo: Seja , determine f’’’(x)
Exemplo: Seja , determine f’’’(x)
4.13 Derivação implícita
expressam y explicitamente em termos de x e podem ser diferenciadas de acordo com as regras para os tipos de funções envolvidas. Muitas vezes, quando aparece , não fornecem y explicitamente em termos de x e não podem ser convenientemente escritas.
Sejam as funções:
a) são funções explícitas, b)
Podemos escrever algumas funções implícitas para a forma explícita: letra d) acima
Método de resolução para derivação implícita :
Quando x e y se relacionam implícitamente através da equação a derivada é obtida da seguinte forma:
1 – derivamos em relação a x, tomando y como função derivável de x. 2 – reunimos os termos que contém em um lado da equação. 3 – fatoramos isolando.
Ex. 1)
Ex. 2)
