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GEOMETRIA DESCRITIVA
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SISTEMAS DE PROJEÇÕES"
PROJEÇÃO
A palavra projeção vem do latim - "projectione". Projeção é o processo pelo qual se incidem raios sobre um objeto em um plano chamado plano de projeção. A projeção do objeto é sua representação gráfica no plano de projeção. Como os objetos têm três dimensões, sua representação num plano bidimensional se dá através de alguns artifícios de desenho, para tanto, são considerados os elementos básicos da projeção:
- Plano de projeção.
- Objeto.
3. Raio projetante.
- Centro de projeção. A Projetante é a reta que passa pelos pontos do objeto e intersecta o plano de projeção. Pode ser oblíqua ou ortogonal ao plano de projeção, dependendo da direção adotada. O Centro de Projeção é o ponto fixo de onde partem ou por onde
passam as projetantes.
UM PONTO SE PROJETA NUM PLANO QUANDO
A PROJETANTE INTERSECTA O PLANO DE PROJEÇÃO.
SISTEMAS DE PROJEÇÕES - CLASSIFICAÇÃO
Os sistemas de projeções são classificados de acordo com a posição ocupada pelo centro de projeção. Esse centro pode ser finito ou infinito, determinando:
- Sistema Cônico.
- Sistema Cilíndrico.
PROJEÇÃO CÔNICA
A projeção cônica, também chamada de projeção central, é o tipo de projeção, cujos raios que incidem no objeto e no plano de projeção são todos concorrentes no ponto V (vértice do cone), como as geratrizes do cone. Imagine um objeto sendo iluminado por uma lanterna a sombra que este objeto faz sobre uma superfície lisa, uma calçada, é a projeção do objeto, os raios de luz da lanterna são os raios projetantes, a lanterna que emite os raios luminosos é o centro de projeção de onde partem os raios projetantes e a calçada é o plano de projeção. O centro de projeção, neste caso, está a uma distância finita do objeto e as projetantes são convergentes.
PROJEÇÃO CILÍNDRICA
A projeção cilíndrica, também chamada de projeção paralela, é o tipo de projeção, cujos raios projetantes que incidem no objeto e no plano de projeção são todos paralelos entre si, como as geratrizes do cilindro. A projeção cilíndrica pode ser ortogonal ou oblíqua. Agora, imagine o mesmo objeto ao sol, a sombra que este objeto faz sobre uma superfície lisa, uma calçada, é a projeção do objeto, e os raios solares, são os raios projetantes. O centro de onde os raios partem é o sol, mas ele está tão distante da terra que os raios emitidos podem ser considerados paralelos, podemos
dizer que o centro de projeção dos raios, neste caso, está a uma distância infinita do objeto.
Na projeção cilíndrica ortogonal as projetantes partem do infinito e têm direção ortogonal em relação ao plano de projeção, isto é, formam com o plano um ângulo de 90º. Na projeção cilíndrica oblíqua as projetantes partem do infinito e têm direção oblíqua em relação ao plano de projeção, isto é, formam ângulos diferentes de 90º.
PROJEÇÃO COTADA
A projeção cotada é uma projeção cilíndrica ortogonal feita sobre um plano horizontal, onde a cota do ponto aparece ao lado da projeção e entre parênteses. Este método foi inventado por Felipe Büache. A projeção cotada pode ser empregada na representação de terrenos em levantamentos planialtimétricos, para traçado de curvas de nível, offset e plataformas. A projeção cotada é também empregada em projetos de telhados.
REPRESENTAÇÃO - PROJEÇÕES ORTOGONAIS
Consiste na representação plana de um objeto nas três direções ortogonais, resultando em seis projeções, também chamadas de vistas. O nome de cada vista é dado pela posição do observador.
SISTEMA EUROPEU
SISTEMA AMERICANO
Na prática, suprimimos a VI, VLD e VP, representando apenas três: VF, VLE, VS, isso porque as seis vistas principais são semelhantes duas a duas, e assim, dependendo da cotagem, podemos reduzir ainda a VS e/ou VLE, resultando apenas VF. O número de vistas a ser executadas depende do número de vistas que forem necessárias à caracterização de fabricação ou de montagem.
ESCOLHA DAS VISTAS
A vista mais importante de um objeto deve ser utilizada como vista frontal (VF). Geralmente esta vista representa o objeto na posição de utilização. Quando esta posição não é caracterizada, representa-se na posição de fabricação ou de montagem.
CRITÉRIOS PARA ESCOLHA DA VISTA FRONTAL
a) Maior número de detalhes voltados para o observador; b) Posição de uso, fabricação ou montagem; c) maior área (desde que satisfaça o item "a"); d) Vista que proporcione uma VLE mais detalhada e com menor número de linhas invisíveis.
REBATIMENTO DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Na figura abaixo vemos as projeções de um objeto em perspectiva.
A perspectiva cavaleira é também chamada de perspectiva cavalheira, porque os desenhos das praças militares eram, geralmente, executados em projeção cilíndrica e o aspecto obtido dava a impressão de que o desenho havia sido colhido da cavaleira, obra alta de fortificação sobre a qual assentam baterias. É também conhecida como axonometria oblíqua, pois é uma projeção que pressupõe o observador no infinito e, em conseqüência, utiliza os raios paralelos e oblíquos ao plano do quadro. Esta perspectiva torna uma das três faces do triedro como plano do quadro. Na perspectiva cavaleira a face da frente conserva a sua forma e as suas dimensões, a face de fuga (eixo x) é a única a ser reduzida.
x : y : z x : y : z x : y : z 1/3 : 1: 1 1/2 : 1: 1 2/3 : 1: 1
PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA AÉREA OU MILITAR
A perspectiva militar, também chamada de perspectiva aérea e vôo de pássaro; é uma perspectiva axonométrica onde os eixos x e y formam entre si um ângulo reto. Para construí-la é necessário reduzir as medidas do eixo z (eixo das alturas) em 2/3.
x : y : z 1 : 1: 2/
PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA DIMÉTRICA
A perspectiva dimétrica tem a sua construção conduzida da mesma forma que na perspectiva isométrica, com exceção da mudança de ângulo e escala em um dos eixos. Na perspectiva dimétrica a face da frente conserva a sua largura, a face de fuga (eixo x) é reduzida em 2/3.
x : y : z 2/3 : 1: 1
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASENSI, Isquierdo (1990). Geometria Descriptiva. Madrid. MACHADO, Ardevan (1986). Geometria Descritiva. São Paulo: Projeto Editores Associados, 26° ed. 306 p. PRÍNCIPE Jr. Geometria Descritiva. V. 1 e 2. TATON, René e FLOCON Albert (1979). A Perspectiva. São Paulo: Difusão Européia do Livro, 135p.
"MÉTODO DE MONGE" SEM FRAMES
A GEOMETRIA DESCRITIVA
A Geometria Descritiva é a parte da matemática aplicada que tem como objetivo representar sobre o plano as figuras do espaço, ou seja, resolver problemas de três dimensões em duas. Para conseguir esse objetivo, usam-se de processos construtivos que permitem representar, no plano, a figura espacial de tal maneira que, todo problema relativo a essa figura se possa interpretar sobre sua representação plana.
O QUE É A PROJEÇÃO DE UM PONTO?
Projeção de um ponto sobre um plano é o “pé” da perpendicular ao plano conduzido pelo ponto. O plano é dito plano de projeção e a reta é a reta projetante do ponto. Porém no espaço um ponto não está bem determinado apenas com uma projeção. Então mostramos como se determina um ponto A através do método das projeções de Monge.
MÉTODO DE MONGE
Gaspard Monge, criador da Geometria Descritiva, a definiu como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões. A Geometria Descritiva surgiu no século XVII. É uma ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano. Resolve problemas como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objeto através de métodos descritivos e também a construção de protótipos do objeto representado. A Geometria Descritiva deu um grande impulso à indústria, e foi exatamente por esse motivo que, seu criador, Gaspar Monge se dedicou a esse estudo.
GASPARD MONGE (1746 a 1818)
Foi um sábio desenhista francês, figura política do final do século XVIII e início do século XIX, um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande teórico da Geometria Analítica, pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço.
Monge foi professor da Escola Militar de Meziéres e da Escola Politécnica de Paris, onde teve como discípulos e seguidores de sua obra Jean Pierre Hachette, Barnabé Busson, Jean Victor Poncelet, Charles Dupin, Michel Chasles, Theodore Oliver, C.F. Leroy, Jules de La Gourmiere e Victor Amadeé Macleim, tendo este último exercido o magistério no último quartel do século XIX. Gaspar Monge aprimorou uma técnica de representação gráfica já iniciada pelos egípcios que representavam apenas: a planta, a elevação e o perfil. Esse interesse em estudar essa técnica resultou de impulsos patrióticos que visavam tirar a França da dependência da indústria estrangeira.
MÉTODOS DE PROJEÇÃO
Planos de projeção são dois planos perpendiculares entre si; um deles chama-se plano horizontal e o outro plano vertical. Os dois planos são ilimitados em todos os sentidos. Chama-se Linha de Terra - LT (ou xy) a interseção dos dois planos.
Os ângulos diedros são ângulos formados por duas faces planas. Portanto os dois planos de projeção formam quatro ângulos diedros retos I, II, III e IV.
O 1° diedro é formado pelos semi-planos Superior Vertical (S.V.) e Anterior Horizontal (A.H.), denotado pelo número romano I.
Um ponto no espaço é determinado por três coordenadas altitude (eixo Z), longitude (eixo X) e latitude (eixo Y).
Seja o ponto P situado no primeiro diedro e projetado no PH e no PV.
Cota. Cota de um ponto P é a distância deste ponto ao plano horizontal de projeção. Assim cota é a coordenada do eixo Z.
Afastamento. Afastamento de um ponto P é a distância deste ponto ao plano vertical de projeção. Assim, afastamento é a coordenada do eixo Y.
Abscissa. Abscissa de um ponto A é a distância do ponto M (determinado pelo ponto A) ao ponto O, onde O é o ponto de origem O(0,0,0). Assim, abscissa é a coordenada do eixo X.
Plano de perfil. Plano de perfil é um plano perpendicular aos planos de projeções passando por O. Um ponto tem abscissa positiva se está a frente do plano de perfil e negativa se estiver atrás.
Linha de chamada é o segmento que une as duas projeções de um ponto e é sempre perpendicular à LT. Abscissa a posição da linha de chamada em relação à LT.
DETERMINAÇÃO DE UM PONTO
Um ponto P esta determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota. Denotamos este ponto por P (abscissa, afastamento, cota), onde abscissa, afastamento e cota são substituídos pelos seus devidos valores. Exemplos: a) A (1,0,0) b) B (0,3,2)
PLANOS BISSETORES
Denomina-se plano bissetor dum ângulo diedro, o plano que divide este diedro em dois iguais, nesse caso o plano bissetor forma 45° com os planos vertical e horizontal.. Existem dois planos bissetores, o primeiro divide os diedros I e III, chamado de bissetor impar e denotado por B.I.
O segundo divide os diedros II e IV, chamado de bissetor par e denotado por B.P.
OBS.: Um ponto pertence ao plano bissetor se a cota e o afastamento tiverem o mesmo valor.
Exemplo: Os pontos A (3,4,4) e B (2,5,5) pertencem ao plano bissetor ímpar, mas o ponto C (2,2,4) não pertence.
POSIÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA
Clique na figura para movimentar o ponto através dos 4 diedros de projeção.
No 1° diedro
No 2° diedro
No 3° diedro
No 4° diedro
1. SEJA O CUBO REPRESENTADO NO DIEDRO ABAIXO. sUPONDO QUE O PONTO A TENHA ABSCISSA NULA E O CUBO TENHA A ARESTA MEDINDO 3 CM. QUAIS AS COORDENADAS DOS VÉRTICES.
Vértice A (0,0,0) Vértice E (0,0,3) Vértice B (3,0,0) Vértice F (3,0,0) Vértice C (3,3.0) Vértice G (3,3,3) Vértice D (0,3,0) Vértice H (0,3,3)
2. QUAIS SERIAM AS COORDENADAS SE O CUBO DO EXERCÍCIO ANTERIOR FOSSE
TRANSLADADO 3 CM PARA A ESQUERDA FICANDO A ARESTA CD SOBRE A LINHA DE
TERRA?
Vértice A (0,-3,0) Vértice E (0,-3,3) Vértice B (3,-3,0) Vértice F (3,-3,3) Vértice C (3,0,0) Vértice G (3,0,3) Vértice D (0,0,0) Vértice H (0,0,3)
3. QUAIS SERIAM AS COORDENADAS SE O CUBO DO EXERCÍCIO ANTERIOR FOSSE
TRANSLADADO 3 CM PARA BAIXO FICANDO A ARESTA GH SOBRE A LINHA DE TERRA?
Vértice A (0,-3,-3) Vértice E (0,-3,0) Vértice B (3,-3,-3) Vértice F (3,-3,0) Vértice C (3,0,-3) Vértice G (3,0,0) Vértice D (0,0,-3) Vértice H (0,0,0)
4. QUAIS SERIAM AS COORDENADAS SE O CUBO DO EXERCÍCIO ANTERIOR FOSSE
TRANSLADADO 3 CM PARA DIREITA FICANDO A ARESTA EF SOBRE A LINHA DE TERRA?
Para fazer a projeção de uma reta, basta unir as projeções de dois de seus pontos. Na figura abaixo está representada uma reta r na qual tomamos dois de seus pontos A e B. A projeção horizontal r 1 é segmento A 1 B 1 que une as projeções horizontais A 1 B 1 dos pontos A e B e a projeção vertical r 2 é determinada pelas projeções verticais A 2 B 2. Girando o PH no sentido horário até coincidir com o PV obtemos a épura da reta r. Girando o PV no sentido anti-horário até coincidir com o PH também obtemos a épura.
PONTOS NOTÁVEIS DA RETA
Os pontos notáveis da reta são as suas intersecções com o PH e o PV. As intersecções da reta r com o PV e PH são dois pontos denominados:
- Traço vertical V
- Traço horizontal H
TRAÇOS DE UMA RETA - COMO ENCONTRAR
O modo de achar os quatro traços H 1 , H 2 , V 1 , e V 2 de uma reta é muito simples. Se observarmos a figura acima veremos que o traço H , por exemplo, que, por pertencer à reta r , suas projeções H 1 e H 2 estão situadas em r 1 e r (^2) respectivamente, e por pertencer ao PH, sua projeção vertical H 2 está sobre a LT, logo, H (^) 2 deve estar sobre r 2 e sobre a LT, assim, não pode ser outro ponto, senão a intersecção de r 2 com a LT. Daí a regra: " Para encontrar o traço horizontal de uma reta, se prolonga sua projeção vertical r 2 até sua intersecção H 2 com a LT e por este ponto se levanta uma perpendicular até sua interseção H 1 com a outra projeção da reta."
Podemos empregar um raciocínio análogo para o traço vertical:
"Para encontrar o traço vertical de uma reta, se prolonga sua projeção horizontal r 1 até sua intersecção V 1 com a LT e por este ponto se levanta uma perpendicular até sua interseção V 2 com a outra projeção da reta."
POSIÇÕES PARTICULARES DE UMA RETA
Estudaremos agora as particularidades que apresentam as projeções de uma reta, segundo sua posição no espaço. Retas situadas em um plano horizontal Reta Horizontal ou Paralela ao PH
Reta de Topo ou Perpendicular ao PV
Reta fronto-Horizontal ou paralela à LT
Retas situadas em um plano perpendicular ao PH Reta Vertical ou Perpendicular ao PH
Reta Frontal ou Paralela ao PV
Reta de Perfil
Reta que Passa pela LT
Reta situada em um plano oblíquo ao PH e PV Reta Qualquer
EF - fronto horizontal EC - vertical EG - topo
ED - frontal FG - horizontal GC - perfil
HC - qualquer GD - qualquer AF - qualquer BE - qualquer
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASENSI, Fernando Izquierdo (1990). Geometria Descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, S.A. 597p. ASENSI, Fernando Izquierdo (1990). Ejercicios de Geometría Descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, S.A. 505p. MACHADO, Ardevan (1986). Geometria Descritiva. São Paulo : Projeto Editores Associados, 26° ed. 306 p. MACHADO, Ardevan. Desenho Aplicado à Engenharia e Arquitetura. São Paulo PRÍNCIPE Jr. Geometria Descritiva. V. 1 e 2. http://www.mat.uel.br/marie/sit/2/221/221.html (acessado em 19/08/2006).
AULA 6T "ESTUDO DO PLANO"
GENERALIDADES SOBRE PLANOS
Um plano α pode ser determinado por:
1. Três pontos (A, B e C) não alinhados.
2. Um ponto e uma reta (A e r).
3. Duas retas que se cortam (r e s).
REPRESENTAÇÃO DO PLANO
Os planos são representados por seus traços. Traços de uma reta são pontos onde a reta fura o PH ou PV. Da mesma maneira, traços de um plano são retas onde o plano intersecta o PH ou PV.
Quando o plano intersecta o PH tem traço horizontal. Quando o plano intersecta o PV tem traço vertical. Na figura acima podemos observar um plano qualquer α que corta os planos de projeção PH e PV nos traços α 1 e α 2 respectivamente. Este plano é chamado de "qualquer" porque, como no caso da reta qualquer, é oblíquo aos dois planos de projeção PH e PV. Observe a épura e veja que os traços α 1 e α 2 são oblíquos à LT. Os
No plano de topo o traço horizontal é perpendicular à LT e o traço vertical pode ter qualquer direção diferente de 90o, sendo esta a condição que o caracteriza. Qualquer ponto contido nele se projeta verticalmente sobre seu traço vertical. Qualquer figura contida nele não se projeta em VG. Imagine agora um plano passando pela diagonal da face lateral do cubo. Se o cubo ainda se encontra enconstado no PV e PH e na LT, este plano certamente cortará a LT e por isso ele recebe este nome:
Plano que passa pela LT.
Este é o único caso em que um plano não pode ser determinado por seus traços, pois estes estão confundidos com a LT. É necessário, então, outra informação para determinar sua posição. Normalmente se utiliza um ponto do plano, assim, o plano é dado pela LT e o ponto A. Qualquer figura contida nele não se projeta em VG. Agora imagine este plano em uma posição invertida, isto é, sem cortar a LT de forma que se olharmosde frente para o PV, veremos o plano formando uma rampa. Então, este plano recebe o nome de : Plano de rampa ou paralelo a LT.
Por ser paralelo à LT não poderá cortá-la, logo, seus dois traços são paralelos à LT. Qualquer ponto contido nele se projeta entre seus traços. Qualquer figura contida nele não se projeta em VG. Até o momento já pensamos em sete (7) possibilidades diferentes para a posição de um plano em relação à um cubo. Se você imaginar um plano passando por outras diagonais ou faces, ou até mesmo enconstando o plano no PH ou PV chegará à conclusão de que se trata de planos já estudados. No, entanto, existe uma posição que ainda não exploramos. Essa posição que ainda não estudamos é justamente aquele plano que não é paralelo nem ao PV e PH e tão pouco perpendicular. Por não ter nenhuma das características dos planos estudados acima ele recebe o nome de: Plano Qualquer
Por ser oblíquo aos dois planos de projeção seus dois traços são oblíquos à LT, sendo esta a condição que o caracteriza. Qualquer figura contida nele não se projeta em VG.
TRAÇOS DE UM PLANO - COMO ENCONTRAR?
Se você tem as vistas, ou seja, a épura de duas retas e sabe que por elas passa um plano, então, é necessário encontrar os traços do plano para que ele seja representado corretamente. Para isto, você deve primeiro encontrar as projeções H 1 , H 2 , V 1 e V 2 das duas retas. Se você ligar o ponto H 1 de uma reta com o ponto H (^1) da outra reta obterá o traço horizontal do plano. Se você ligar o ponto V 2 de uma reta com o ponto V 2 da outra reta obterá o traço vertical do plano.
Para verificar se o seu traçado está correto, observe se os dois traços encontrados se cruzam exatamente na LT, caso verdadeiro, você acertou o exercício, com exceção do plano de rampa, no qual os traços são paralelos à LT.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASENSI, Fernando Izquierdo (1990). Geometria Descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, S.A. 597p. ASENSI, Fernando Izquierdo (1990). Ejercicios de Geometría Descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, S.A. 505p. MACHADO, Ardevan (1986). Geometria Descritiva. São Paulo : Projeto Editores Associados, 26° ed. 306 p. MACHADO, Ardevan. Desenho Aplicado à Engenharia e Arquitetura. São Paulo PRÍNCIPE Jr. Geometria Descritiva. V. 1 e 2.
7T "ROTAÇÃO"
SEM FRAMES
DEFINIÇÃO
Rotação é um dos métodos descritivos da Geometria Descritiva. Neste processo, roda-se um objeto, uma face, uma aresta, ou um vértice do objeto, em torno de um eixo fixo (que é sempre uma reta) até que venha a ocupar uma posição pretendida, mantendo-se fixo o sistema de projeção: Plano Horizontal de Projeção e Plano Vertical de Projeção.
ENCONTRANDO A VG
Seja o segmento de reta AB qualquer. Para encontrar sua verdadeira grandeza (VG) pelo método da rotação, vamos girar o segmento, deixando fixo o ponto A ou B até que o segmento fique paralelo ao PV ou PH. A VG aparecerá no plano de projeção paralelo ao segmento rotacionado.
Observe como ficará a épura do segmento AB, antes e depois da rotação.
ANTES DEPOIS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASENSI, Fernando Izquierdo (1990). Geometria Descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, S.A. 597p.
Rebater um plano αλφα, sobre outro plano H, é fazê-lo coincidir com este último. O eixo de rebatimento é conhecido por "charneira".
Ao rebater um plano, poderemos rebater qualquer ponto ou reta contidos nele. Nota-se que a definição de rebatimento se refere exclusivamente ao plano que gira ao redor de sua interseção com o PH ou PV. Portanto, as expressões: rebater um ponto, ou rebater uma reta são usadas apenas para abreviar a nomenclatura. Então, quando quisermos rebater uma reta, teremos que fazer passar por ela um plano. No caso da reta qualquer, para rebatê-la precisamos encontrar seus traços H e V para depois encontrar os traços do plano qualquer que passa pela reta e então rebater o plano.
REBATIMENTO DE PONTO
Seja um ponto A do plano αλφα que vamos rebater sobre o PH. Ao girar o plano αλφα ao redor de sua interseção com o PH (charneira), o ponto A descreve uma circunferência. A projeção no PH desta circunferência será uma linha perpendicular à charneira e no PV será a própria circunferência. Na interseção das linhas de chamada temos o ponto A rebatido.
Observe como ficará a épura do ponto A depois de rebater o plano αλφα.
APLICAÇÃO DE REBATIMENTO NA CONSTRUÇÃO DA PLANIFICAÇÃO DE TELHADOS.
Seja o telhado de quatro "águas" apoiado sobre o PH e projetado no PV. Considerando a "água" triangular ACD do telhado façamos passar por ela um plano αλφα de topo. rebatendo o plano αλφα para o PH obtemos a verdadeira grandeza VG do triângulo ACD.
Observe como fica o rebatimento do triãngulo sobre o PH representado em épura.
PROJEÇÕES DE TELHADOS.
Um telhado é constituído de duas ou mais faces inclinadas que são conhecidas por "águas". O telhado da figura abaixo possui cinco águas. As águas se intersectam e quando o resultado dessa interseção é uma reta em nível, essa reta recebe o nome de "cumeeira". Quando essa reta é inclinada formando um ângulo menor que 90 graus com o plano horizontal recebe o nome de espigão ou rincão. A difrença do rincão par ao espigão est´ano fato de que as águas que caem sobre o telhado convergem para o rincão, por este motivo ele é conhecido por "calha" ou "água furtada". A água do telhado é também conhecida por "tacaniça". Quando o telhado possui duas águas e a cumeeira avança até a parede forma-se um triângulo perpendicular ao plano horizontal. Esse triângulo recebe o nome de "frontão".
Para fazer aprojeção vertical de um telhado é necessário conhecer a sua declividade. Se a declividade do telhado for igual a 100%, então a altura h do triângulo deve ser igual à 1/2 do vão L.
h = d * L/
Observe abaixo a construção da projeção horizontal de um telhado com formas retangulares.
Observe abaixo a construção da projeção horizontal de um telhado com formas triangulares.
Observe abaixo a construção da projeção vertical de um telhado com formas retangulares.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASENSI, Fernando Izquierdo (1990). Geometria Descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, S.A. 597p.
ASENSI, Fernando Izquierdo (1990). Ejercicios de Geometría Descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, S.A. 505p.
MACHADO, Ardevan (1986). Geometria Descritiva. São Paulo: Projeto Editores Associados, 26° ed. 306 p.
MACHADO, Ardevan. Desenho Aplicado à Engenharia e Arquitetura. São Paulo
PRÍNCIPE Jr. Geometria Descritiva. V. 1 e 2.
Disponível em:
http://www.mat.uel.br/geometrica/?p=p://www.mat.uel.br/geometrica/php/mapa
