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Apostila de Matemática UNIDADE 1 1 – Operações com frações 2 – Divisão de frações 3 – Operações com números relativos 4 – Resolução de equações do 1º grau (1º tipo) 5 – Resolução de equações do 1º grau (2º tipo) 6 – Resolução de equações do 1º grau (3º tipo) 7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo) 8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo) 9 – Equação do 2º grau completa 10 – Radicais 11 – Operações com radicais 12 – Exponenciais 13 – Propriedade distributiva 14 – Produtos notáveis 15 – Diferença de quadrados 16 – Trinômio ao quadrado 17 – Binômio ao quadrado 18 – Fatoração 19 – Racionalização de expressões numéricas 20 – Racionalização de expressões algébricas 21 – Solução de equações irracionais 22 – Resolução de sistemas de 2 equações a 2 incógnitas UNIDADE 2 matemática aplicada UNIDADE 3 estatistica UNIDADE 4 regras de três UNIDADE 4 razões e proporções
1 – Operações com frações O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum:
Ex. 1) + = = = Ex. 2) - = = = Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo.
- = = Ex. 3) + - = = = = Resolver: a) + b) - c) - d) e) f)
2 – Divisão de frações É só inverter a 2ª fração e multiplicar = =
Ex. 1) = = =
Ex. 2) = =
Ex. 3) = = = =
Resolver: a) b) c) d) F 0 B 8 e) F 0 B 8
3 – Operações com números relativos Ex. 1) -2 + (-3)F 0 A E -2 – 3 = - 5 Ex. 2) +5 – (-8) F 0 A E 5 + 8 = 11 Ex. 3) (-2)F 0 B 4(-3) = 6
a) 3x + 9 = 5x + 3 b) -2x + 3 = 12 + 3x c) 7x – 13 = -3x + 7 d) 9x – 2 = 6x + 4 e) (2 – x) – (7 – 3x) = 5 + 6x
7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo) Ex. 1) x 2 = 4 F 0 A E = (extrai a raiz de ambos os membros) X =F 0 B 12 (Eq. do 2º grau sempre tem 2 respostas)
Prova: (x)^2 = (+2)^2 F 0 A E x 2 = 4 As 2 raízes satisfazem (x) 2 = (-2)^2 F 0 A E x^2 = 4 Resolver: a) 3x^2 = 12 b) x^2 = 7
8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo) Ex. 1) x 2 – 2x = 0 (põe x em evidência) x – 2 = 0 F 0 A Ex = 2 Resulta (x – 2)x = 0 x = 0 F 0 A E x = 0 Resolver: a) 4x^2 – 8x = 0 b) x^2 + 3x = 0 c) 3x^2 + 7x = 0 d) x^2 – 5x = 0
9 – Equação do 2º grau completa Forma: ax^2 + bx + c = 0 Solução:F 0 4 4= b 2 – 4ac ,F 0 4 4 > 0 (solução real, 2 raízes diferentes)
- = 0 (sol. real, 2 raízes iguais) Fórmula: x = ou x’ = (-b + ) / 2a x” = (-b - )/2a
Ex. 1) 2x 2 + 5x + 2 = 0 F 0 4 4= = = = 3 Soluções: x’ = (-5 + 3) / 4 = -2/4 = -1/ x” = (-5 – 3) / 4 = -8/4 = - Resolver:
a) x^2 – 5x + 6 = 0 b) x^2 – 6x + 8 = 0 c) 3x^2 + 11x + 8 = 0 10 – Radicais F 0 A EA = radicando; n = índice da raiz e m = expoente do radicando = Am/n^ (fórmula geral) Ex. 1) = = 22/2^ = 2^1 = 2 Ex. 2) = = 3 Ex. 3) = = 210/5^ = 2 2 = 4 Ex. 4) = F 0 B 4 = = x
11 – Operações com radicais Ex. 1) F 0 B 4 = = x2/2^ = x Ex. 2) F 0 B 4 = Ex. 3) = = 2 Ex. 4) = = = Ex. 5) = = = x Ex. 6) = = = 2 Resolver: a) b) c) d) e) f)
12 – Exponenciais Ax^ - A é a base, x é o expoente P1) A xF 0 B 4Ay^ = Ax+y P2) A x^ / A y^ = A x-y P3) (Ax) y^ = A x.y P4) (A. B)x^ = Ax^ Bx P5) e = = A x^. B -x Ex. 1) 27 = 2 3+4^ = 2^3. 2^4 = 8F 0 B 416 = 128
c) x^2 – 7 = d) (2 + )(2 - ) =
16 – Trinômio ao quadrado (a + b + c) 2 = [(a + b) + c)]^2 = (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2 = a^2 + 2ab + b 2 + 2ac + 2bc + c^2 = a^2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc Resolver: a) (x + y + 1)^2 b) (x – y +2) 2
17 – Binômio ao cubo (a + b) 3 = (a + b)^2 F 0 B 4(a + b)
18 – Fatoração (tirar fator comum para fora do parênteses) Ex. 1) 2x 2 + 4x = 2x(x + 2) Ex. 2) x + x 2 = x( + x) Ex. 3) = = = Resolver: a) = b) = c) = d) =
19 – Racionalização de expressões numéricas Consiste em tirar uma raiz do denominador. Ex. 1) F 0 A E F 0 B 4 = =
Ex. 2) = F 0 B 4 =
Ex. 3)
Resolver: a) b) c) d) 20 - Racionalização de Expressões Algébricas Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para resultar numa diferença de quadrados.
Ex.1)
Ex. 2)
Resolver : a) b) c)
d) e) f)
21 - Solução de Equações Irracionais
Ex.1) F 0 A E isola a raiz F 0 A E eleva ao quadrado ambos os membros F 0 A E F 0 A E
Resolver: a) b) c) d) e) 22 - Resolução de Sistemas de Equações a 2 Incógnitas Resolver o sistema de equações: existem 2 métodos; substituição e eliminação.
a) Por substituição : da equação 2) obtém-se x = 5 - y que é substituído na 1). Então 3(5 - y) + 2y =12 F 0 A E y = 3 e volta para x, ou seja x = 5 - y = = 5 - 3 = 2.
19) a) ; b) 3 /5 ; c) 2/3 ; d) / 9 20) a) - 1 ; b) (1 + ) / (1 - x) ; c) 2 ( -1 ) / (x -1) d) (7/2).(3 - ) ; e ) ( - )/ (a^2 – b 2 ) ; f) - 21) a) x=0 e x=1 ; b) x=5 ; c) x =F 0 B 1 d) x=4 e x= 1 ; e) x= ( 1F 0 B 1)/
UNIDADE 2
1 - INTRODUÇÃO
NÚMEROS REAIS
O conjunto de números reais é normalmente associado a uma reta. Esse conjunto infinito é representado pelo símbolo R. Os números reais podem ser fracionários
Ex.: 2,. NÚMEROS (REAIS) RACIONAIS São números que podem ser expressos na forma p/q , onde p e q são inteiros positivos ou negativos.
Ex.: , , , , , , , ... , etc. racionais positivos ou
- , - , - , - , ... , etc. racionais negativos NÚMEROS (REAIS) IRRACIONAIS São números que não podem ser postos na forma anterior (p/q) e são por exemplo: , , - ,F 0 7 0 , etc. VARIÁVEIS E CONSTANTES Chama-se variável real a um símbolo capaz de representar qualquer número de um conjunto de números reais. Representação (x, y, z, s, ...) Por outro lado, um símbolo que represente sempre um mesmo número é denominado de constante. Ex.:F 0 7 0, e, , etc. Os valores que uma variável pode assumir são representados por intervalos , que são definidos a seguir. Seja a e b números reais, tais que a < b. 1 - O intervalo aberto de a até b, denotado por (a,b), é o conjunto de todos os números reais x, tais que a < x < b. Os pontos extremos não pertencem ao intervalo.
2 - O intervalo fechado de a até b, representado por [a,b] é o conjunto de números reais x, tais que aF 0 A 3xF 0 A 3b. Os extremos a e b pertencem ao intervalo.
3 - Intervalo aberto à direita, de a até b, representado por [a,b) é o conjunto de números reais x, tal que aF 0 A 3x < b. Neste caso a pertence ao intervalo, mas b não pertence.
4 - Intervalo aberto à esquerda (a , b]. bF 0 C Eao intervalo. aF 0 C Fao intervalo.
OUTROS TIPOS DE INTERVALOS Existem também os intervalos não limitados representados com os símbolos +F 0 A 5 e F 0 A 5- (infinito). Os intervalos 1 - De a até +F 0 A 5, representado por (a, +F 0 A 5) é o conjunto de todos os números reais x tal que x > a.
Domínio da função Ou campo de existência (definição) de uma função é o conjunto de pontos onde a função é definida ou existe (tem valor finito e real). Se a função for do tipo y = , para que ela exista, a raiz deve ser positiva para ser real , então a condição é P(x)F 0 B 30. Se a função for do tipo y = P(x)/Q(x) , para que ela exista, não deve haver zero no denominador, então a condição é Q(x)F 0 B 90. E finalmente, se função for do tipo y = Q(x) / , para que ela exista, não pode dar zero no denominador e a raiz deve ser positiva para ser real , então a condição é P(x)>0. Entretanto, existem exceções para este caso, por exemplo se P(x)=x 2 + 3, seu valor será sempre positivo para qualquer valor de x. Exemplos: Achar o campo de existência (domínio) das funções: a) y = 2x + 3
b) y = f(x) = x 2 + 2 Neste caso, x pode assumir qualquer valor que sempre resulta em y real e finito, então o domínio da função é D: (-F 0 A 5F 0 A 5, ). c) y = agora x só não pode ter o valor 2, porque neste caso, yF 0 A EF 0 A 5, logo o domínio é (-F 0 A 5, 2) e (2, +F 0 A 5).
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano xy, onde x pertence ao domínio de f e y é a imagem de f. Exemplo: Esboce o gráfico da função f definida pela equação y = 2x 2 , com a restrição xF 0 B 3
Uma função, pela sua definição, a cada valor de x corresponde um único valor de y. Assim, o gráfico a seguir não representa uma função.
Para ser uma função, dois pontos distintos (em y) de um gráfico não podem possuir a mesma abcissa (x).
Domínio via gráfico O domínio de uma função é o conjunto de todas as abcissas dos pontos do gráfico.
Imagem A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do gráfico.
Exemplo: Dada a função y = ,queremos estudar o seu comportamento. Faça o gráfico de f e determine o seu domínio e imagem (nesse intervalo). Solução: Como y = f(x) = , a condição de existência da função é que x - 1F 0 B 3 0 para que a raiz exista no campo dos números reais. Assim, x - 1F 0 B 3 0 F 0 A E xF 0 B 3 1 ou D: [1 ,F 0 A 5). Para se fazer o gráfico da função construi-se a tabela, respeitando este dominio. Q Quando uma função f é definida por uma equação y = f(x) e nenhuma restrição é dada, o domínio de f consiste em todos os valores de x para os quais a função existe.
Exercício proposto
- Achar o domínio e imagem da função y = (hipérbole) Condição de existência xF 0 B 9 0
VALOR ABSOLUTO
Se x é um número real, então o valor absoluto de x, representado porF 0 B DF 0 B Dx , é definido por x se xF 0 B 3 0 F 0 B DxF 0 B D = -x se x < 0 Exemplo: F 0 B D 7 F 0 B D= 7 pois 7 > 0, F 0 B D-3F 0 B D= - (-3) = 3 pois -3 < 0 O valor absoluto de um número real é sempre positivo. PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO (Todas as propriedades abaixo valem para os sinais >,F 0 B 3, < eF 0 A 3) Suponha que X e Y são números reais ou funções. 1)F 0 B DX + YF 0 B DF 0 A 3F 0 B DXF 0 B D+F 0 B DYF 0 B D desigualdade triangular, EX.: X=2 e Y= (igual) e X = -2, Y = 1 (maior) 2)F 0 B DXF 0 B D=F 0 B DYF 0 B Dse e somente se X =F 0 B 1Y ( ou X = Y e X = - Y ) 3)F 0 B DXF 0 B D< Y se e somente se -Y < X< Y (ou X < Y e X > -Y )
4)F 0 B DXF 0 B DF 0 B 3 Y se e somente se XF 0 B 3Y ou XF 0 A 3-Y
Exemplo1: Achar o domínio (solução) da expressão F 0 B D3x + 2F 0 B DF 0 B 3 5 Solução: Usando a propriedade 4, do valor absoluto, onde X=3x+2, e Y=5 tem-se 3x + 2F 0 B 3 5 e 3x + 2F 0 A 3- Isolando xF 0 A E 3x F 0 B 35 - 2 Isolando x,F 0 A E 3x F 0 A 3 -5 - 2 3xF 0 B 3 3 3xF 0 A 3- xF 0 B 3 1 xF 0 A 3- solução existe no domínio (-F 0 A 5, -7/3] e [1,F 0 A 5)
Exemplo 2 : Achar o conjunto solução da expressãoF 0 B D2x + 3F 0 B D^ < 3
Solução: Pela propriedade 3 , monta-se as duas equações 2x +3 > -3 e 2x + 3 < 2x>-6 ou 2x < 0 ou x >-3 x < 0
Exemplo 3: Achar x que satisfaz à expressão F 0 B Dx -2F 0 B D = 5 Solução: Pela propriedade 2 , tem-se x-2 = 5 e x-2 = -5 , cujas soluções são x = 7 e x = -3 satisfazem a equação dada. Exemplo 4: Estudar a função y =F 0 B DxF 0 B D A variável independente x pode assumir qualquer valor, portanto o domínio é o conjunto dos números reais R.
DESIGUALDADES (do 2o^ grau) As desigualdades também apresentam soluções dentro de um intervalo do conjunto dos reais. A teoria vale para os sinais (>,F 0 B 3,< eF 0 A 3). Exemplo, dada a desigualdade a x^2 + b x + c > 0 , as soluções x 1 e x 2 são obtidas com se fosse uma equação do 2 o grau ,ou x 1 = (- b + )/2a e x 2 = (- b - )/2a mas o conjunto de soluções é D : (-F 0 A 5, x 1 ) e (x 2 ,F 0 A 5) , (o conjunto é extra-raizes)
f(x) = é uma função racional Funções Algébricas São resultantes de operações algébricas comuns. Exemplo: f(x) = x + 1 , g(x) = etc. Exercícios Classificar as funções abaixo:
- f(x) = x^4 + x Resp. Não é par nem ímpar - é polinomial
- g(t) = 2t 2 + 3F 0 B DF 0 B Dt Resp. g(-t) = 2(-t)^2 + 3F 0 B D-tF 0 B D= 2t 2 + 3F 0 B DF 0 B Dt = g(t) par
- f(x) = (função racional, que pode ser simplificada para f(x) = x+2) RESUMO DOS TIPOS DE FUNÇÕES Tipo de Função Exemplo Par f(-x) = f(x) y=x^4 F 0 A Ey = (-x)^4 = x 4 Ímpar f(-x) = - f(x) y = x^3 F 0 A Ey = (-x)^3 = -x 3 Polinomiais f(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +..+a (^) nx n^ y = 3 +5x-7x^2 e outros. Racionais f(x) = P(x)/Q(x) y =(2x^3 + 4x) / (x 2 +2x) Algébricas Todas as anteriores. Trigonométricas y = senx , cosx , etc. Logarítmicas y =lnx , ou y = lga x Exponenciais y = ef(x)^ ou y = a f(x)
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As funções trigonométricas são 6, ou seja, seno, co-seno, tangente, secante, co-secante e co- tangente. Essas funções são abreviadas por: sen, cos, tan (ou tg) , sec, csc, cot. Antes de estudar essas funções vamos estudar as medidas de ângulos. As medidas de ângulos podem ser em graus e radianos.
Num círculo completo s =F 0 6 1r = 2F 0 7 0r F 0 A EF 0 6 1= = 2F 0 7 0 ou 360 o^ equivalente a 2F 0 7 0(radianos), e 180o^ =F 0 7 0= 3, ... Graus 30 o^45 o^ 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º Radianos F 0 7 0^2 F 0 7 0 O grau é uma unidade sexagesimal , isto é, seus múltiplos e sub-múltiplos variam de 60 em 60. Exemplo : 1o^ = 60F 0 A 2(minutos de arco) e 1F 0 A 2= 60F 0 A 2F 0 A 2(segundos de arco). Ex.1 Transformar 35,758 o^ em grau, minutos e segundos. Solução: = 35o^ + (0,758F 0 B 460=45,48) (^) parte inteira + (0,48F 0 B 460=28,8) = 35o^45 F 0 A 2 28,8F 0 A 2F 0 A 2 Ex.2 Efetuar a transformação inversa, ou seja, 35 o^45 F 0 A 2 28,8F 0 A 2F 0 A 2 para a forma decimal .Solução: = 35o^ + 45/60 + 28,8/(60F 0 B 460) = 35,758 o
História da Trigonometria A trigonometria provavelmente começou quando se quis saber a altura de árvores e montanhas, sem que fosse necessário subir nas mesmas para medir. Construiu-se um triângulo com o lado maior(hipotenusa) coincidindo com o raio de um círculo de raio=1, e com isso, montou-se uma tabela de valores x e y (que seriamF 0 A 31) para cada ângulo. Para valores de X e Y (fora do círculo) maiores do que 1, e um mesmo ângulo, os lados seriam proporcionais e isso permitiria calcular esses valores.
O nome senF 0 6 1 foi dado para a medida y , e para a medida x foi dado cosF 0 6 1. A relação entre as duas grandezas y e x é chamada de tanF 0 6 1. Assim a altura da árvore pode ser calculada, considerando que
