Introdução à Algebra Linear: Equações Diferenciais e Sistemas Lineares, Notas de estudo de Administração Empresarial

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UNIVERSIDADE DE S AO PAULO˜

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEM ˆ ATICAS E DE COMPUTAC´ ¸ AO˜

DEPARTAMENTO DE MATEM ATICA´

Algebra Linear e Equac^ ´ ¸˜oes Diferenciais

Luiz Augusto da Costa Ladeira

S AO CARLOS - SP˜

• 1 No¸c˜oes Preliminares
  • 1.1 Espa¸co Euclidiano n− dimensional
  • 1.2 Matrizes
  • 1.3 Sistemas Lineares
  • 1.4 Determinante
  • 1.5 N´umeros Complexos
• 2 Equa¸c˜oes de Primeira Ordem
  • 2.1 Introdu¸c˜ao
  • 2.2 Defini¸c˜oes
  • 2.3 Equa¸c˜oes Separ´aveis
  • 2.4 Equa¸c˜ao Linear de Primeira Ordem
  • 2.5 Equa¸c˜ao de Bernoulli
  • 2.6 Equa¸c˜oes Diferenciais Exatas
  • 2.7 Exerc´ıcios
• 3 Espa¸cos Vetoriais
  • 3.1 Defini¸c˜ao e Exemplos
  • 3.2 Subespa¸cos Vetoriais
  • 3.3 Combina¸c˜oes Lineares
  • 3.4 Dependˆencia Linear
  • 3.5 Base e Dimens˜ao
  • 3.6 Dependˆencia Linear de Fun¸c˜oes
  • 3.7 Bases Ortogonais em Rn
  • 3.8 Somas e Somas Diretas
  • 3.9 Exerc´ıcios
• 4 Equa¸c˜oes Diferenciais Lineares 4 SUM ARIO´
  • 4.1 Fatos Gerais sobre Equa¸c˜oes Lineares
  • 4.2 M´etodo de Redu¸c˜ao da Ordem
  • 4.3 Equa¸c˜ao Homogˆenea com Coeficientes Constantes
  • 4.4 Equa¸c˜ao N˜ao Homogˆenea
  • 4.5 M´etodo de Varia¸c˜ao dos Parˆametros
  • 4.6 M´etodo dos Coeficientes a Determinar
  • 4.7 Equa¸c˜oes de Ordem Superior
  • 4.8 Exerc´ıcios
• 5 Transforma¸c˜oes Lineares
  • 5.1 Transforma¸c˜oes
  • 5.2 Transforma¸c˜oes Lineares
  • 5.3 N´ucleo e Imagem
  • 5.4 Autovalores e Autovetores
• 6 Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais Lineares
  • 6.1 Introdu¸c˜ao
  • 6.2 Fatos Gerais sobre Sistemas Lineares
  • 6.3 Sistema Homogˆeneo com Coeficientes Constantes
  • 6.4 Sistema N˜ao Homogˆeneo
  • 6.5 M´etodo dos Coeficientes a Determinar
  • 6.6 F´ormula de Varia¸c˜ao das Constantes
  • 6.7 Exerc´ıcios

Cap´ıtulo 1

No¸c˜oes Preliminares

Neste cap´ıtulo reunimos fatos b´asicos sobre vetores, matrizes, sistemas de equa¸c˜oes lineares e n´umeros complexos, que ser˜ao usados nos cap´ıtulos se- guintes. Assumiremos conhecido o conjunto R dos n´umeros reais e suas propriedades alg´ebricas elementares: suas opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multipli- ca¸c˜ao s˜ao associativas, comutativas, tˆem elemento neutro, cada n´umero tem seu oposto aditivo e cada n´umero n˜ao nulo tem seu inverso multiplicativo.

1.1 Espa¸co Euclidiano n− dimensional

As no¸c˜oes de par ordenado (x, y) e terna ordenada (x, y, z) de n´umeros reais tˆem uma extens˜ao natural ao conceito de n-upla (x 1 ,... , xn), que ´e uma sucess˜ao ordenada de n n´umeros reais. Denotaremos as n−uplas por letras em negrito. Se x = (x 1 ,... , xn), cada um dos n´umeros x 1 ,... , xn ´e chamado uma componente (ou coordenada) de x. Duas n−uplas (x 1 ,... , xn) e (y 1 ,... , yn) s˜ao ditas iguais (indica- mos (x 1 ,... , xn) = (y 1 ,... , yn)) se e somente se x 1 = y 1 ,... , xn = yn. O conjunto de todas n−uplas de n´umeros reais ´e denotado por Rn, isto ´e, Rn^ = {(x 1 ,... , xn) : xk ∈ R, k = 1 ,... , n}. Recordemos da Geometria Anal´ıtica que R^3 pode ser identificado com o conjunto V 3 dos vetores geom´etricos (definidos pelos segmentos ori- entados) por meio da correspondˆencia que a cada v = a i + b j + c k de V 3 associa a terna (a, b, c) ∈ R^3 :

v = a i + b j + c k ∈ V 3 ←→ (a, b, c) ∈ R^3. (1.1)

O espa¸co euclidiano 7

A1) (u + v) + w = u + (v + w) A2) u + v = v + u A3) qualquer que seja a terna u, temos u + 0 = u, em que 0 designa a terna (0, 0 , 0) A4) para qualquer terna u = (a, b, c), a terna v = (−a, −b, −c) satisfaz u + v = 0 M1) α (β u) = (α β) u M2) (α + β) u = α u + β u M3) α (u + v) = α u + α v M4) 1 u = u.

As opera¸c˜oes acima estendem-se de modo natural ao Rn. Dados u = (a 1 ,... , an) e v = (b 1 ,... , bn) em Rn^ e α ∈ R, definimos a soma u + v e o produto por escalar α u por

u + v = (a 1 ,... , an) + (b 1 ,... , bn) = (a 1 + b 1 ,... , an + bn) (1.2) α u = α (a 1 ,... , an) = (α a 1 ,... , α an) (1.3)

Como no caso das ternas ordenadas, pode-se verificar que em Rn est˜ao satisfeitas as propriedades A1) a A4) e M1) a M4). Por estarem satisfeitas essas propriedades, dizemos que Rn^ ´e um espa¸co vetorial. A igualdade (1.2) define a soma de dois vetores. Para somar trˆes vetores u, v e w, podemos considerar as combina¸c˜oes u + (v + w) e (u + v) + w. A propriedade associativa afirma que esses vetores s˜ao iguais. Por causa dessa propriedade, vamos omitir os parˆenteses. Mais geralmente, dados n vetores u 1 , u 2... , un e n n´umeros reais α 1 , α 2... , αn, podemos definir o vetor

α 1 u 1 + α 2 u 2 + · · · + αn un ,

que chamaremos combina¸c˜ao linear de u 1 , u 2... , un. Por exemplo, o vetor (3, 1 , 0) ´e combina¸c˜ao linear de (6, 3 , 1), (3, 2 , 1) e (0, 2 , 2) pois

1 · (6, 3 , 1) + (−1) · (3, 2 , 1) + 0 · (0, 2 , 2) = (3, 1 , 0).

J´a o vetor (6, 1 , 0) n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de (6, 3 , 1), (3, 2 , 1) e (0, 2 , 2); de fato, para que (6, 1 , 0) seja combina¸c˜ao linear de (6, 3 , 1),

8 Cap. 1 No¸c˜oes Preliminares

(3, 2 , 1) e (0, 2 , 2) precisam existir n´umeros x, y, z tais que

x (6, 3 , 1) + y (3, 2 , 1) + z (0, 2 , 2) = (6, 1 , 0) ,

ou seja, (6 x+3 y, 3 x+2 y +2 z, x+y +2 z) = (6, 1 , 0). Dessa igualdade vemos que x, y, z precisam satisfazer o sistema de equa¸c˜oes   

6 x + 3 y = 6 (1) 3 x + 2 y + 2 z = 1 (2) x + y + 2 z = 0 (3)

Subtraindo a equa¸c˜ao (3) da equa¸c˜ao (2), obtemos 2 x + y = 1. Di- vidindo a equa¸c˜ao (1) por 3, temos 2 x + y = 2. As equa¸c˜oes { 2 x + y = 1 (4) 2 x + y = 2 (5)

mostram que n˜ao existem tais n´umeros x, y, z. Logo, o vetor (6, 1 , 0) n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de (6, 3 , 1), (3, 2 , 1) e (0, 2 , 2).

Exemplo 1.1. Consideremos em Rn^ os vetores

e 1 = (1, 0 ,... , 0), e 2 = (0, 1 ,... , 0),... , en = (0, 0 ,... , 1)

Mostrar que todo vetor x = (x 1 ,... , xn) se escreve, de modo ´unico, como combina¸c˜ao linear dos vetores e 1 ,... , en. Por causa desta pro- priedade, diremos que os vetores e 1 , e 2 ,... , en formam uma base de Rn, chamada base canˆonica de Rn.

Podemos escrever (x 1 ,... , xn) = (x 1 , 0 ,... , 0) + · · · + (0 ,... , xn) = = x 1 (1 , 0 ,... , 0) + · · · + xn (0, 0 ,... , 1) = = x 1 e 1 + · · · + xn en.

Logo, x ´e combina¸c˜ao linear de e 1 ,... , en. Para ver que essa ´e a ´unica maneira de escrever x como combina¸c˜ao linear de e 1 ,... , en, suponhamos que tenhamos x = t 1 e 1 + · · · + tn en. Ent˜ao

(x 1 ,... , xn) = x = t 1 e 1 + · · · + tn en = = t 1 (1 , 0 ,... , 0) + · · · + tn (0, 0 ,... , 1) = = (t 1 ,... , tn).

Logo, t 1 = x 1 ,... , tn = xn.

10 Cap. 1 No¸c˜oes Preliminares

Dados u = (x 1 ,... , xn), v = (y 1 ,... , yn) ∈ Rn, definimos o pro- duto interno de u e v, denotado por u · v (ou 〈u, v〉), como sendo

u · v = x 1 y 1 +... + xn yn (1.7)

(notemos que o produto interno de dois vetores de Rn^ ´e um n´umero real). O espa¸co vetorial Rn, munido do produto interno, ´e chamado espa¸co euclidiano. E f´´ acil ver que u · u > 0 , ∀u 6 = 0. Definimos a norma de um vetor u como sendo ‖u‖ =

u · u. O produto interno tem as seguintes propriedades

u · v = v · u (1.8) (u + α w) · v = u · v + α (w · v) (1.9)

Exemplo 1.2. Se u = (1,

3 , 0), v = (3, − 1 , 5), w = (− 3 , 1 , 2), ent˜ao

u · u = 1 + 3 = 4 u · v = 3 −

3 v · w = 3(−3) + 1(−1) + 5 · 2 = 0 ‖u‖ = 2 ‖v‖ =

35 ‖w‖ =

Existe uma importante desigualdade importante relacionando nor- ma e produto interno, conhecida como desigualdade de Cauchy-Schwarz ∣ ∣ (^) u · v

∣ (^) ≤ ‖u‖ ‖v‖. (1.10)

Se v = 0 , temos 〈 u, v〉 = 0, e a desigualdade (1.10) ´e trivial. Para mostrar essa desigualdade quando v 6 = 0 , notemos que, para qualquer t ∈ R, temos ‖u + t v‖ ≥ 0. Usando as propriedades (1.8) e (1.9), temos

0 ≤ ‖u + t v‖^2 = (u + t v) · (u + t v) = u · u + 2 t u · v + t^2 v · v = = ‖u‖^2 + 2 t u · v + t^2 ‖v‖^2

donde ‖v‖^2 t^2 + 2 (u · v) t + ‖u‖^2 ≥ 0. (1.11)

O primeiro membro dessa desigualdade ´e uma fun¸c˜ao quadr´atica em t. Para que essa fun¸c˜ao quadr´atica seja sempre n˜ao negativa, seu discri- minante n˜ao pode ser positivo, isto ´e,

4 (u · v)^2 − 4 ‖v‖^2 ‖u‖^2 ≤ 0. (1.12)

O espa¸co euclidiano 11

A desigualdade (1.12) implica (1.10).

Dois vetores u, v ∈ Rn^ s˜ao ditos ortogonais quando u·v = 0. Por exemplo, os vetores u = (1, 0 , 9 , −6) e v = (0, − 1 , 2 , 3) s˜ao ortogonais, pois u · v = 1 × 0 + 0 × (−1) + 9 × 2 + (−6) × 3 = 0. Um conjunto de vetores {u 1 ,... , um} ´e dito um conjunto ortogonal se os seus vetores s˜ao dois a dois ortogonais, isto ´e, ui · uj = 0, ∀i, j com 1 ≤ i, j ≤ m e i 6 = j; se, al´em disso, ‖u 1 ‖ = · · · = ‖um‖ = 1, dizemos que esse conjunto ´e ortonormal. A base canˆonica {e 1 ,... , en} ´e um conjunto ortonormal em Rn.

Exemplo 1.3. Encontrar todos os vetores de R^2 que s˜ao ortogonais a v = (2, −1).

Procuramos os vetores u = (x, y) tais que u · v = 0, isto ´e, 2 x − y = 0. Logo, u = (x, 2 x). Notemos que y = 2 x ´e a equa¸c˜ao da reta passa pela origem e tem v como vetor normal. (Figura 1.3).

Exemplo 1.4. Encontrar todos os vetores de R^3 que s˜ao ortogonais a n = (2, − 1 , 0).

Procuramos os vetores u = (x, y, z) tais que u · n = 0, ou seja, y = 2 x. Logo, u = (x, 2 x, z) = x (2, 1 , 0) + z (0, 0 , 1). Notemos que y = 2 x ´e equa¸c˜ao do plano que cont´em a origem e tem n como vetor normal (Figura 1.4).

y-

y = 2 x x

z 6

y

x

y = 2 x

HH Hj v

6

Figura 1.3 Figura 1.

Matrizes 13

Denotaremos essa matriz por A = (aij ). Cada n´umero aij chama-se um elemento (ou entrada) da matriz: i indica a linha e j a coluna onde se localiza aij. Duas matrizes de mesma ordem A = (aij ) e B = (bij ) s˜ao ditas iguais quando seus elementos correspondentes s˜ao iguais, isto ´e, aij = bij , ∀i, j.

Exemplo 1.6.

[

0 x 0

]

[

y 2 z t − 1 0

]

x = − 1 y = 1 z = 1 t = 0

Denotaremos por Mm×n(R) o conjunto das matrizes de ordem m×n de n´umeros reais; quando m = n, denotaremos tal conjunto por Mn(R); neste caso, cada elemento de Mn(R) ´e dito uma matriz quadrada de ordem n. A matriz O ∈ Mm×n cujos elementos s˜ao todos iguais a zero ´e chamada matriz nula. Uma matriz com m linhas e 1 coluna ´e chamada matriz coluna e uma matriz com 1 linha e n colunas ´e chamada matriz linha.

Exemplo 1.7. Sejam A =

[

1 2 1 3

]

, B =

0 3 7

 (^) e C =

[

1 2 9 4

]

Ent˜ao A ´e matriz linha, B ´e matriz coluna e C ´e matriz quadrada de ordem 2.

Existe uma correspondˆencia natural entre matrizes m × 1 e vetores de Rm. A cada vetor x = ( x 1 ,... , xm ) de Rm^ associamos a matriz linha X = [ x 1 · · · xm ] e reciprocamente, a cada matriz m × 1 , X, associamos um vetor x como acima. Da mesma maneira, existe uma correspondˆencia natural entre matrizes colunas m × 1 e vetores de Rm. Sempre que for conveniente, identificaremos vetores de Rm^ com matrizes linhas ou matrizes colunas, por meio das correspondˆencias

x = (x 1 ,... , xm) ←→

x 1 .. . xm

 (^) ←→ [ x 1 · · · xm ]. (1.13)

Em uma matriz quadrada A = (aij ), os elementos a 11 ,... , ann constituem a diagonal principal de A. Uma matriz quadrada (aij ) ´e chamada matriz diagonal quando aij = 0, ∀ i 6 = j, isto ´e, todo

14 Cap. 1 No¸c˜oes Preliminares

elemento fora da diagonal principal ´e nulo. Uma importante matriz diagonal ´e a matriz identidade de ordem n:

In =

1 0... 0 0 1... 0 .. .

.. .

... .. . 0 0... 1

Uma matriz quadrada A = (aij ) ´e dita triangular superior, quando aij = 0, para todo i > j , ou seja,

A =

a 11 a 12... a 1 n 0 a 22... a 2 n .. .

.. .

... .. . 0 0... ann

De modo an´alogo define-se matriz triangular inferior. Dada uma matriz A = (a (^) i j )m×n, sua transposta, denotada por AT^ , ´e a matriz B = (b (^) j i)n×m, em que b (^) j i = a (^) i j , ∀i, j. Uma matriz quadrada ´e dita sim´etrica quando AT^ = A, isto ´e, a (^) j i = a (^) i j , ∀i, j. Uma matriz ´e dita anti-sim´etrica se AT^ = −A, isto ´e, a (^) j i = −a (^) i j , para todo i, j: em particular, como para i = j devemos ter a (^) i i = −a (^) i i , os elementos de sua diagonal principal s˜ao nulos.

Exemplo 1.8. A matriz

2 − 1 0 − 1 9 5 0 5 − 3

 (^) ´e sim´etrica e

0 − 1 0 1 0 5 0 − 5 0

´e anti-sim´etrica.

Dada a matriz

A =

a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .

.. .

... .. . am 1 am 2... amn

as n matrizes m × 1:

v 1 =

a 11 a 21 .. . am 1

 ,... ,^ vn^ =

a 1 n a 2 n .. . amn

16 Cap. 1 No¸c˜oes Preliminares

Sejam A = (aij ) ∈ Mm×n(R), B = (bjk) ∈ Mn×p(R). O produto de A por B ´e a matriz C = (ci k), de ordem m × p, cujo termo geral cik ´e dado por

cik =

∑^ n

j=

ai j bj k = ai 1 b 1 k + ai 2 b 2 k + · · · + ai n bn k.

Exemplo 1.11.

[

2 1 0 0 1 − 2

]

4 4 5 0 0 0 1 0 1

[

8 8 10 − 2 0 − 2

]

A defini¸c˜ao acima permite multiplicar uma matriz A = (ai j )m×n

por uma matriz n × 1, X =

[

x 1... , xn

]T

e o produto ´e uma matriz

m × 1 , Y = [ y 1... ym ]T^. Sempre que for conveniente, usaremos a identifica¸c˜ao (1.13) e diremos que estamos multiplicando a matriz A pelo vetor x = (x 1 ,... , xn), resultando no vetor y = (y 1 ,... , ym).

O produto de matrizes tem as seguintes propriedades: P1: A(BC) = (AB)C, ∀A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p, C ∈ Mp×q

P2: A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Mm×n, B, C ∈ Mn×p

P3: (A + B)C = AC + BC, ∀A, B ∈ Mm×n, C ∈ Mn×p Observando a defini¸c˜ao acima, vemos que o produto de matrizes pode ser escrito em termos das colunas de B da seguinte forma: se B = [v 1 ,... , vp ], ent˜ao

A B = [A v 1 ,... , A vp ]. (1.16)

Teorema 1.1. Sejam A,B e C matrizes quadradas de ordem n, com A = diag (a 1 , · · · , an), e B = diag (b 1 , · · · , bn). Sejam u^1 ,... , un as linhas de C e v 1 ,... , vn as colunas de C. Ent˜ao

A C =

a 1 u^1 a 2 u^2 .. . anun

 e^ C B^ = [b^1 v^1 ,... , bn^ vn^ ]^.^ (1.17)

1.3. SISTEMAS LINEARES 17

A demonstra¸c˜ao do teorema fica como exerc´ıcio.

Uma matriz A ∈ Mn(R) ´e dita invert´ıvel quando existe B ∈ Mn(R) tal que A B = B A = In. A matriz B chama-se inversa de A e ´e denotada por A−^1. Por exemplo, a matriz A =

[

2 1 2 2

]

´e invert´ıvel e sua inversa ´e A−^1 =

[

1 − 1 / 2 − 1 1

]

Na pr´oxima se¸c˜ao apresentaremos um m´etodo para calcular a inversa de uma matriz.

Exerc´ıcio 1.8. Mostre que se A e B forem invert´ıveis, ent˜ao AB ´e invert´ıvel e (AB)−^1 = B−^1 A−^1.

Exerc´ıcio 1.9. Mostre que (A + B)T^ = AT^ + BT^ , (A B)T^ = BT^ AT^ e (AT^ )T^ = A.

Exerc´ıcio 1.10. Sejam A ∈ Mn(R) e X , Y ∈ Mn× 1 (R). Mostre que XT^ A Y = Y T^ AT^ X.

Exerc´ıcio 1.11. Seja A ∈ Mn(R). Mostre que a matriz B = A + AT ´e sim´etrica e que a matriz C = A − AT^ ´e anti-sim´etrica.

Exerc´ıcio 1.12. Mostre que toda matriz A ∈ Mn(R) se escreve como soma de uma matriz sim´etrica e uma matriz anti-sim´etrica. (Sugest˜ao: escreva A = 12 (A + AT^ ) + 12 (A − AT^ )).

1.3 Sistemas Lineares

Nesta se¸c˜ao, estudamos sistemas de equa¸c˜oes alg´ebricas lineares. Um sistema de m equa¸c˜oes lineares nas n vari´aveis x 1 ,... , xn tem a forma:   

 

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 n xn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 n xn = b 2 .. . am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amn xn = bm.

Sistemas lineares 19

podemos escrever o sistema (1.18) na forma matricial

A X = B (1.20)

A matriz A chama-se matriz dos coeficientes do sistema (1.18). A matriz

[A : B] =

a 11 a 12... a 1 n b 1 a 21 a 22... a 2 n b 2 .. .

.. .

... .. .

.. . am 1 am 2... amn bm

chama-se matriz aumentada do sistema (1.18).

Uma classe especial de sistema sistemas lineares que podem ser facilmente resolvidos ´e a dos sistemas escalonados: s˜ao sistemas da forma   

 

a1 1 x 1 + · · · + a 1 j 1 xj 1 + · · · + a 1 jk xjk + · · · + a 1 n xn = b 1 a 2 j 1 xj 1 + · · · + a 2 jk xjk + · · · + a 2 n xn = b 2 .. . ak jk xjk + · · · + ak n xn = bk.

com a 11 6 = 0, a 2 j 1 6 = 0,... , ak jk 6 = 0. Consideremos, por exemplo, o sistema  



x + y + 2 z = 3 y + z = 1 2 z = − 4.

Da terceira equa¸c˜ao, temos z = −2; substituindo esse valor na segun- da equa¸c˜ao, tiramos y = 3 e, substituindo esses valores na primeira equa¸c˜ao, obtemos x = 4. Assim, sua ´unica solu¸c˜ao ´e (4, 3 , −2). Dois sistemas lineares S 1 e S 2 s˜ao ditos equivalentes (e indica- mos S 1 ∼ S 2 ) quando eles tˆem as mesmas solu¸c˜oes. Por exemplo, os sistemas (^) { x + y = 2 x − y = 0 e

x + 2y = 3 2 x − y = 1

s˜ao equivalentes, pois sua ´unica solu¸c˜ao ´e (1, 1).

20 Cap. 1 No¸c˜oes Preliminares

Vamos agora introduzir, por meio de exemplos, os m´etodo de elimi- na¸c˜ao de Gauss e de Gauss-Jordan para resolver sistemas lineares. Tais m´etodos consistem em transformar o sistema dado em um siste- ma equivalente na forma escalonada, efetuando as seguintes opera¸c˜oes, chamadas opera¸c˜oes elementares: (i) multiplicar uma das equa¸c˜oes de S por um n´umero real k 6 = 0. (ii) substituir uma equa¸c˜ao de S pela soma daquela equa¸c˜ao com outra equa¸c˜ao de S.

Exemplo 1.12. Resolver o sistema

x − y + z = 1 2 x + y − 4 z = − 1 x − 3 y + 3z = 5.

Temos  

x − y + z = 1 (A) 2 x + y − 4 z = − 1 (B) x − 3 y + 3z = 5 (C)

∼

  

x − y + z = 1 (A) 3 y − 6 z = − 3 (D) − 2 y + 2z = 4 (E)

∼

  

x − y + z = 1 (A) y − 2 z = − 1 (F ) −y + z = 2 (G)

∼

  

x − y + z = 1 (A) y − 2 z = − 1 (F ) −z = 1 (H)

Agora fica f´acil resolver o sistema. Da ´ultima equa¸c˜ao tiramos z = −1; substituindo na segunda, obtemos y = −3 e levando esses valores na primeira, temos x = −1. Este ´e basicamente o m´etodo de Gauss. Uma outra maneira de resolver o sistema ´e continuar com as opera¸c˜oes elementares e eliminar z nas duas primeiras equa¸c˜oes e, em seguida, eliminar y na primeira: este ´e o m´etodo de Gauss-Jordan.   

x − y = 2 (K) y = − 3 (J) z = − 1 (I)

x = − 1 (L) y = − 3 (J) z = − 1 (I)

Nessa resolu¸c˜ao, efetuamos as opera¸c˜oes: D = (−2) A+B, E = C −A, F = D/ 3 , G = E/ 2 , H = F +G, I = (−1)H, J = F − 2 H, K = A+H e L = J + K.

Exemplo 1.13. Analisar o sistema

x + 2y − z = 7 x + y + 2z = 3 2 x + 3y + z = k

para diversos

valores de k.