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Exercícios resolvidos e propostos sobre a aplicação da transformada de laplace em equações diferenciais ordinárias (edos), incluindo a transformada inversa de laplace e o método de frações parciais. Fornece exemplos de como resolver edos de segunda e terceira ordem com condições iniciais nulas.
Tipologia: Resumos
1 / 10
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Exercícios para aplicação da Transformada de Laplace usando a tabela acima
4
3 𝑡
2
3 𝑡
Resolução
a. 𝓛
𝟒
𝑛+ 1
4 + 1
5
5
b. 𝓛
{ 𝑓
( 𝑡
)}
3 𝑡
(
) }
2
2
c. 𝓛
= 𝓛 {𝑡
2
. 𝑒
3 𝑡
𝑛+ 1
2 + 1
3
3
Exemplo 1: Aplicando a Transformada de Laplace, apresente a solução da equação diferencial considerando as
condições indicadas.
2
′
2
2
2
2
2
Exemplo 3: Aplicando a Transformada de Laplace, apresente a solução da equação diferencial considerando as
condições iniciais nulas.
′′
′
−𝑡
′′
′
−𝑡
2
2
2
2
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Em muitos casos não temos os termos simplificados. Para isso, precisaremos utilizar o método de frações
parciais, que nos auxilia na divisão de equações. Iremos ver dois tipos:
TIPO 1: divisão por polinômio do segundo ou terceiro grau que pode ser fatorado.
1
( 𝑠 − 𝑎
)
. (𝑠 − 𝑏)
=
𝐴
( 𝑠 − 𝑎
)
𝐵
(𝑠 − 𝑏)
TIPO 2: divisão por polinômio elevado a mesma potência
1
( 𝑠 − 𝑎
) ³
=
𝐴
( 𝑠 − 𝑎
) ³
𝐵
(𝑠 − 𝑎)²
𝐶
(𝑠 − 𝑎)
Exemplo 1 – No Exemplo 1 da parte de Transformada de Laplace (página 3), resolver a EDO y’’ + 4y’ + 3y = 0 e
apresentamos a solução no domínio algébrico (s). Agora, precisamos retornar para o domínio temporal (t)
aplicando a Transformada Inversa de Laplace.
2
𝑌(𝑠) =
1
𝑠
2
=
1
( 𝑠 − 𝑝ó𝑙𝑜 1
)
. (𝑠 − 𝑝ó𝑙𝑜 2 )
=
1
( 𝑠 + 3
)
. (𝑠 + 1 )
𝑌(𝑠) =
1
(𝑠 + 3 ). (𝑠 + 1 )
=
𝐴
(𝑠 + 3 )
𝐵
(𝑠 + 1 )
1
(𝑠 + 3 ). (𝑠 + 1 )
=
𝐴
(𝑠 + 3 )
𝐵
(𝑠 + 1 )
=
(𝑠 + 1 ). 𝐴 + (𝑠 + 3 ). 𝐵
(𝑠 + 3 ). (𝑠 + 1 )
Passo 3: aplicar a transformada inversa de Laplace:
− 1
− 1
− 1
− 1
− 1
− 1
− 3 𝑡
− 1 .𝑡
−𝟑𝒕
−𝒕
É 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝐸𝐷𝑂 𝑛𝑜 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑡
- Vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:
− 1 {
− 1 {
− 1 {
− 1 {
− 1 {
𝑛+ 1
𝑛
𝑎𝑡
2
− 1 𝑡
