Apostila CD028 GD, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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Expressão Gráfica II

Unidade I - GEOMETRIA DESCRITIVA

EXPRESSÃOGRÁFICA

Departamentode

Material elaborado por: Profª MSc.Andrea Faria Andrade Curitiba, PR / 2011

I – Introdução

A Geometria Descritiva (também denominada de Método Mongeano) foi desenvolvida pelo

desenhista francês Gaspard Monge (1746-1818), uma figura política do final do século XVIII e

início do século XIX. Foi um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa e professor da Escola

Militar de Meziéres e da Escola Politécnica de Paris, pode ser considerado o pai da geometria

diferencial de curvas e superfícies do espaço.

Definição:

Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões.

II – Sistemas de Projeção

Dizemos que uma figura F do espaço se projeta de um ponto C sobre um plano , que não contém o ponto C, quando determinamos, sobre o plano , as intersecções dos vários raios projetantes, determina- dos pelo centro de projeção C e pelos pontos da figura.

F 1 '

F '

F

C

F 1

De acordo com a posição ocupada pelo centro de projeção (finita ou no infinito), os sitemas de projeção classificam em:

(a) sistema de projeção central (ou cônico);

(b) sistema de projeção cilíndrico.

III – O método Mongeano

O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla projeção cilíndrico-ortogonal, onde dois planos , um horizontal e um vertical, se interceptam no espaço, sendo portanto, em função de suas posições,

perpendiculares entre si. A intersecção desses planos determina uma linha chamada Linha de Terra (LT).

Esses planos determinam no espaço quatro diedros numerados no sentido anti-horário.

Monge idealizou um sistema de projeções no qual um ponto P é representado por duas projeções,

P’ e P” , nos dois planos de projeções  ’ e  ’’, perpendiculares entre si (Figura XXXa). O plano  ’ (ou PH)

é denominado de plano horizontal de projeções; e  ’’ (ou PV) é denominado de plano vertical de

projeções. Os pontos P’ e P” projetam-se sobre aLT em um mesmo ponto, denotado de P 0. A linha de

terra divide cada plano de projeções em dois semi-planos, conforme Figura XXXXa:

PHA – plano horizontal anterior;

PHP - plano horizontal posterior;

PVS - plano vertical superior, e;

PVI - plano vertical inferior.

Uma vez efetuada as projeções de P sobre  ’ e  ’’, fazemos um rebatimento do PH sobre o PV, até

que ambos coincidam (rotação de 90 graus em torno daLT). Desta forma, ambas as projeções do ponto P

ficam no mesmo plano. O desenho assim obtido é denominado deépura. Naépura, as projeções de um

ponto qualquer estão sobre uma reta perpendicular à linha de terra, chamada de linha de chamada.

Na Figura XXXb temos a épura de um ponto P situado no 1o diedro. Em épura representamos um ponto através da sua abscissa, seu afastamento e sua cota.

A abscissa é a distância de um plano considerado como origem que passa por (O), até a projeção

do ponto naLT.

A cota de um ponto P do espaço é a distância entre P e a sua projeção sobre o  ’. Logo, a cota de

P é igual a medida do segmento P”P 0 , uma vez que d(P,  ’) = d(P,P’) = d(P”,P 0 ).

O afastamento de um ponto P do espaço é a distância entre P e plano  ’”. Logo, o afastamento de

P é igual a medida do segmento P’P 0 , uma vez que d(P,  ”) = d(P,P”) = d(P’,P 0 ).

Exercício 01:

Obter a épura dos pontos cujas coordenadas são dadas abaixo e identifique a sua posição o espaço.

A (1, 5, 3), está no __________B (3, 1, -4), está no _________

C (5, -2, -3), está no _________D (7, -5, 1), está no _________

E (8, 0, 2), está no __________F (9, 4, 0), está no __________

G (4, 0, 0), está no __________

LT

TIPOS DE RETAS

Em geral, de acordo com sua posição em relação aos planos de projeção, as retas podem ser paralelas ou

não aos planos de projeções  ’ e  ’’.

Retas paralelas ao plano horizontal de projeções  ’ :

1) Reta Horizontal

Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de projeção e inclinada em relação ao Plano Vertical de projeção.

2) Reta de Topo

Essa reta é paralela ao PH e perpendicular ao PV.

3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela à LT)

Essa reta é paralela ao PH e PV.

Retas paralelas ao plano vertical de projeções  ” :

1) Reta Frontal

Essa reta é paralela ao Plano Vertical de projeção e inclinada ao Plano Vertical de projeção.

2) Reta Qualquer

A reta qualquer, por estar inclinada em relação aos planos de projeção PH e PV, não se projeta em verdadeira grandeza em nenhum desses planos.

Exercício 01:

Representar a reta r (vertical), pertencente a um ponto dado A(50, 30, 40)mm. Representar um ponto B

pertencente a esta reta, tal que AB seja um segmento de 2cm.

LT

Exercício 02:

Dada a reta a(A, B) e os pontos A(4, 1, 5) e B(4, 5, 2), pede-se:

a) o comprimento em mm de AB;

b) o ângulo que a reta faz com o PHP.

LT

Exercício 03:

Representar a reta frontal f , pertencente a um ponto A(40, 15, 30) e que faz um ângulo de 45º com o plano horizontal de projeções. Representar o ponto B desta reta, tal que o segmento Ab seja de 20mm.

LT

Exercício 01:

Representar a épura das retas a(A, B), b(C, D), c(E, F), defini-las quanto a posição no espaço, seus nomes e obter as projeções dos seus traços.

A(4, 1, 2) B(4, 4, 2) C(1, 2, 1) D(4, 2, 3) E(-3, -2, -2) F(0, -2, 3)

Exercício 02:

Dada a reta de perfil p(P, Q), encontrar as projeções dos traços horizontal e vertical da reta.

P(0, 3, 1) Q(?, 1, 3).

LT

Exercícios Propostos

Exercício 1: Dada a reta AB A(0, -20, -10)mm B(60, 20, 25)mm, pede-se:

a) sua posição no espaço;

b) os traços horizontal e vertical da reta.

Exercício 2: Dada a reta CD C(10, 20, 10)mm D(40, 10, 30)mm, pede-se:

a) sua posição no espaço;

b) os traços horizontal e vertical da reta.

Exercício 02:

Verificar se o ponto A pertence à reta de perfil EF. E(4, 1, 5) F( 4, 5, 2) A(4, 4, 4)

LT

Exercício 03:

Obter as projeções do ponto B, que pertence à reta EF do exercício anterior, e tem cota =3cm. B(?, ?, 3)

V – Métodos Descritivos

A solução de um problema pode ser facilitada quando pelo menos um de seus elementos ocupa uma posição particular (seja paralelo a um dos planos de projeção).

Para que, no método mongeano (dupla projeção ortogonal) uma figura ou objeto ocupe uma posi- ção desejada podemos recorrer a artifícios que visem deslocar a figura (ou objeto) ou deslocar o sistema de representação adotado. A estes artifícios denominamos, genericamente, de métodos descritivos, que são:

• rotação
• mudança de planos de projeção.

Rotação

Quando conservamos o sistema de representação adotado e giramos a figura (ou objeto), em torno de um eixo.

Mudança de Planos de Projeção

Quando a figura (ou objeto) é conservada e um dos planos de projeção (ou ambos) são substituí- dos, mantendo a ortogonalidade entre eles.

Quando um objeto possui uma face inclinada em relação aos planos principais de projeção, esta face não aparece em verdadeira grandeza.

Para obter a verdadeira grandeza desta face, é preciso projetá-la em um plano auxiliar que lhe seja paralelo. Para isso, é preciso mudar a posição de um dos planos de projeção, plano horizontal de projeção ou plano vertical de projeção, ou os dois; um após o outro; de forma que fique paralelo à face inclinada. Assim o objeto permanece fixo e os planos de projeção mudam de posição.

Fonte: adaptado de Barison. Disponível em:

Exercício 03:

Tornar „vertical‟ a reta „qualquer‟ dada abaixo, utilizando o método da mudança de planos de projeção.

Exercícios Propostos

Exercício 01:

Submeter a reta „qualquer‟ dada ao processo de mudança de planos de projeção, de modo a torná-la uma reta „fronto-horizontal‟.

Exercício 02:

Dada a reta PQ = „qualquer‟ pede-se obter a distância em „mm‟ entre os pontos P e Q, utilizando o método da mudança de planos de projeção. P(10, 70, 20) Q(80, 10, 50)

Exercício 03:

Obter as projeções do ponto A, que pertence a reta do exercício anterior, e tem cota=3cm.

Exercício 04:

Tornar „de topo‟ a reta „qualquer‟ dada abaixo, utilizando o método da mudança de planos de projeção.