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CapÌtulo 1
N˙meros Reais, Intervalos e FunÁıes
Objetivos
IdentiÖcar os conjuntos numÈricos;
Conhecer e aplicar as propriedades relativas ‡ adiÁ„o e multiplicaÁ„o de n˙meros reais;
Utilizar as propriedades relacionadas com as desigualdades estritas e n„o estritas;
Operar com equaÁıes e inequaÁıes com e sem valor absoluto;
Determinar o campo de deÖniÁ„o de uma funÁ„o;
Operar com funÁıes;
Obter funÁıes compostas;
IdentiÖcar funÁıes pares, Ìmpares e periÛdicas;
Determinar a inversa de uma funÁ„o;
EsboÁar gr·Öcos de funÁıes usando translaÁ„o;
Reconhecer os tipos de funÁıes: polinomiais; racionais; irracionais; potenciais; exponenciais; logarÌtmicas; trigonomÈtricas; hiperbÛlicas; e hiperbÛlicas inversas;
1.1 N˙meros
Os primeiros n˙meros conhecidos foram os N˙meros Cont·veis, ou seja, o conjunto dos N˙meros Naturais, representado por N, isto È:
N = f 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; :::g:
As operaÁıes com os n˙meros naturais foram respons·veis pela criaÁ„o dos n˙meros negativos, assim:
x + a = b ) x = b a,
onde a e b s„o n˙meros naturais. Estes n˙meros, juntamente com os n˙meros naturais formam o conjunto dos N˙meros Inteiros, representado por Z, isto È:
Z = f:::; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; :::g: A resoluÁ„o de equaÁıes do tipo
ax = b ) x =
b a
com a e b n˙meros inteiros onde a n„o È nulo, pode levar ao surgimento de n˙meros n„o inteiros. Desta forma, os n˙meros da forma ba com a e b n˙meros inteiros e a 6 = 0 formam um conjunto de n˙meros, denominado N˙meros Racionais, representado por Q. E os n˙meros (fraÁıes) decimais inÖnitos n„o periÛdicos s„o denominados N˙meros
Irracionais, representados por =. S„o exemplos de n˙meros irracionais: , e,
p 2 ,
p p^3 , 5 , ... Observando a reta numerada, vemos que a todos os pontos foram atribuÌdos n˙meros. Temos, ent„o que, a reuni„o dos n˙meros racionais com os n˙meros irracionais se denomina conjunto dos N˙meros Reais, representado por R.
Como o c·lculo envolve n˙meros reais, vejamos algumas deÖniÁıes e pro- priedades fundamentais destes n˙meros, embora n„o tenhamos interesse em mostrar como estas propriedades s„o tiradas dos axiomas e teoremas.
DeÖniÁ„o 2:
Soma: 8 a; b 2 R ) 9 (a + b) 2 R Produto: 8 a; b 2 R ) 9 (a:b) 2 R , satisfazendo as pro- priedades:
- Comutativa: 8 a; b 2 R )
a + b = b + a a:b = b:a ;
- a < 0 se, e somentes se, a È positivo;
- Transitiva: Se a < b e b < c, ent„o a < c;
- Se a < b e c 2 R, ent„o a + c < b + c;
- Se a < b e c < d, ent„o a + c < b + d;
- Se a < b e c 2 R +, ent„o a:c < b:c;
- Se a < b e c 2 R , ent„o a:c > b:c;
- Se 0 < a < b e 0 < c < d, ent„o a:c < b:d;
- Se a > b e b > c, ent„o a > c;
- Se a > b e c 2 R, ent„o a + c > b + c;
- Se a > b e c > d, ent„o a + c > b + d;
- Se a > b e c 2 R +, ent„o a:c > b:c;
- Se a > b e c 2 R , ent„o a:c < b:c;
- Se a > b > 0 e c > d > 0 , ent„o a:c > b:d;
- Se a < b, com ambos positivos ou negativos, ent„o (^1) a > (^1) b :
DeÖniÁ„o 7: R^ = fx 2 R : x 6 = 0g R+ = fx 2 R : x 0 g R + = fx 2 R : x > 0 g R = fx 2 R : x 0 g R = fx 2 R : x 0 g
1.3 Intervalos
DeÖniÁ„o 8: Intervalos s„o conjuntos inÖnitos de n˙meros reais. Geomet- ricamente, correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, se a < b, ent„o o intervalo aberto de a a b, denotado por (a; b), È o segmento de reta que se estende de a atÈ b, excluindo-se os extremos; e o intervalo fechado de a atÈ b, deno- tado por [a; b], È o segmento de reta que se estende de a atÈ b, incluindo-se os extremos. Estes intervalos podem ser expressos na notaÁ„o de conjuntos como
(a; b) = fx 2 R = a < x < bg; [a; b] = fx 2 R = a x bg. .
Um intervalo pode incluir um extremo, mas n„o outro. Estes intervalos s„o chamados semi-abertos (ou, algumas vezes, semi-fechados). AlÈm disso, È possÌvel um intervalo estender-se indeÖnidamente em uma ou em outra direÁ„o, escrevemos + 1 no lugar do extremo direito, e para indicar que o intervalo se estende indeÖnidamente na direÁ„o negativa, escrevemos 1, no lugar do extremo esquerdo. Os intervalos que se estendem entre dois n˙meros reais s„o chamados de intervalos Önitos, enquanto que os que se estendem indeÖnidamente em uma ou em ambas as direÁıes s„o chamados de intervalos inÖnitos.
NotaÁ„o de Intervalo NotaÁ„o de Conjuntos ClassiÖcaÁ„o (a; b) fx 2 R = a < x < bg Finito; aberto [a; b] fx 2 R = a x bg Finito; fechado [a; b) fx 2 R = a x < bg Finito; semi-aberto (a; b] fx 2 R = a < x bg Finito; semi-aberto ( 1; b] fx 2 R = x bg InÖnito; fechado ( 1; b) fx 2 R = x < bg InÖnito; aberto [a; + 1 ) fx 2 R = x ag InÖnito; fechado (a; + 1 ) fx 2 R = x > ag InÖnito; aberto ( 1; + 1 ) R InÖnito; aberto e fechado
Exemplo 2: Determinar os valores de x que satisfazem a desigualdades:
- x^2 3 x 10; SoluÁ„o: Subtraindo-se 10 em ambos os lados, obtÈm-se a inequaÁ„o:
x^2 3 x 10 0 : (1)
As raÌzes da equaÁ„o x^2 3 x 10 = 0 s„o 2 e 5. Estas raÌzes dividem o eixo coordenado em trÍs intervalos abertos: ( 1; 2) ; ( 2 ; 5) e (5; + 1 ) : Analisando os sinais de x^2 3 x 10 = (x + 2) (x 5) em cada intervalo, temos que:
Intervalo Ponto de teste Sinal (x + 2) (x 5) no ponto de teste ( 1; 2) -3 ( ) ( ) = + ( 2 ; 5) 0 (+) ( ) = (5; + 1 ) 6 (+) (+) = +
Portanto, a soluÁ„o da desigualdade (1) È S = [ 2 ; 5] :
- 2 x 5 < (^) x ^11 () SoluÁ„o:
CondiÁ„o de existÍncia de soluÁ„o: x 1 6 = 0 ) x 6 = 1: Observe que x 1 pode ser positivo ou negativo. Assim, temos 2 casos a serem analisados:
1 ^ Caso: Para x 1 < 0 , ou seja, x < 1 , temos que:
- jxj x;
- j xj = jxj;
A demonstraÁ„o da cada uma das propriedades acima, decorre diretamente da deÖniÁ„o.
- jxj^2 = x^2 e jxj =
p x^2 ; DemonstraÁ„o:
(a) Se x 0 , ent„o da deÖniÁ„o vem que, j xj = jxj que veriÖca a proposiÁ„o;
(b) Se x < 0 , ent„o da deÖniÁ„o vem que, j xj = jxj e ( x)^2 = x^2 , de onde jxj^2 = x^2 e, por conseguinte, jxj =
p x^2.
- jxyj = jxj : jyj;
DemonstraÁ„o:
Pela propriedade 4, temos que: jxyj =
q (xy)^2 =
p x^2 :
p y^2 = jxj : jyj :
- Desigualdade triangular: jx + yj jxj + jyj;
DemonstraÁ„o: Pela propriedade 4, temos que: jx + yj^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 x^2 + 2 jxyj + y^2
) jx + yj^2 jxj^2 + 2 jxyj + jyj^2 = (jxj + jyj)^2 ) jx + yj jxj + jyj.
- jxj jyj jx yj ;
DemonstraÁ„o: Fazendo x = x + y y e da propriedade 6 ; segue que:
jxj = jx + y yj jx yj + jyj :
Somando jyj a ambos os lados, temos que:
jxj jyj jx yj :
- jxj jyj jx + yj ;
DemonstraÁ„o: Fazendo x = x + y y e da propriedade f vem que
jxj = jx + y yj jx + yj + j yj = jx + yj + jyj :
Somando jyj a ambos os lados, temos que:
jxj jyj jx + yj :
- jx yj jxj + jyj ; DemonstraÁ„o: Observe que:
jx yj = jx + ( y)j jxj + j yj jxj + jyj :
- xy = jjxyjj , com y 6 = 0.
DemonstraÁ„o: Note que:
x y
= x:
y
= jxj :
y
= jxj :
jyj
jxj jyj
- Seja a um n˙mero real positivo, ent„o:
(a) jxj < a se, e somente se, a < x < a; (b) jxj a se, e somente se, a x a (c) jxj > a se, e somente se, x < a ou x > a; (d) jxj a se, e somente se, x a ou x a.
DemonstraÁ„o: Somente do caso (a)
Inicalmente, provaremos que jxj < a se a < x < a: i: Se x > 0 ) jxj = x, uma vez que x < a teremos jxj < a; ii: Se x < 0 ) jxj = x , uma vez que , mas x < a teremos x < a, mas j xj = x, ent„o jxj < a: Portanto jxj < a se a < x < a:
Agora, mostraremos que jxj < a somente se a < x < a: i: Se x 0 , como jxj = a, teremos x < a, como a > 0 e a < 0 , ent„o a < 0 < x < a de onde vem que a < x < a.
ii:Se x < 0 ) jxj = x , como jxj < a teremos que x < a e com x > 0 , ent„o a < 0 < x < a ou a < x < a, de onde vem que a < x < a: Portanto, jxj < a se, e somente se, a < x < a:
ObservaÁ„o 1: A demonstraÁ„o dos casos (b), (c) e (d) È an·loga.
Exemplo 2: Determine todos os valores de x que satisfazem a desigualdade
2 ^ Caso: Se 12 x < 2 , temos que:
Para 12 x < 2 , temos que x 2 < 0. Assim, multiplicando () por x 2 , temos que: j 2 x 1 j < (^) x ^12 ) (2x 1) (x 2) > 1 ) 2 x^2 5 x + 1 > 0 : Resolvendo a inequaÁ„o 2 x^2 5 x + 1 > 0 : (??) Observe que 5+
p 17 4 e^
5
p 17 4 s„o raÌzes da equaÁ„o^2 x
(^2) 5 x + 1 = 0: Dessa
forma, analisando os intervalos
p 17 4
5
p 17 4 ;^
5+
p 17 4
e
5+
p 17 4 ;^ +^1
, conclui-
se que a soluÁ„o da inequaÁ„o () È I 2 =
p 17 4
[
5+p 17 4 ;^ +^1
Logo, neste intervalo a soluÁ„o È S 2 = I 2 \
2 ;^2
) S 2 = fg :
3 ^ Caso: Se x > 2 , temos que:
Para x > 2 ; temos que x 2 > 0. Assim, multiplicando () por x 2 , temos que: j 2 x 1 j < (^) x ^12 ) (2x 1) (x 2) < 1 ) 2 x^2 5 x + 1 < 0 :
A soluÁ„o da inequaÁ„o 2 x^2 5 x + 1 < 0 È I 3 =
5
p 17 4 ;^
5+
p 17 4
Logo, neste intervalo È S 3 = I 3 \ (2; + 1 ) ) S 3 =
p 17 4
Portanto, a soluÁ„o da desigualdade È a uni„o das soluÁıes acima, ou seja,
S = S 1 [ S 2 [ S 3 ) S =
p 17 4
Exemplo 4: Determine todos os valores de x que satisfazem a desigualdade
x^4 5 x^2 + 4 jx^2 1 j
< 4 x:
SoluÁ„o: CondiÁ„o de existÍncia de soluÁ„o: x^2 1 ) x 6 = 1 : Pela deÖniÁ„o de mÛdulo, temos que:
x^2 1 =
x^2 1 ; se x^2 1 > 0 (x^2 1) ; se x^2 1 < 0 :
Resolvendo a inequaÁ„o x^2 1 > 0 , obtÈm-se que:
x^2 1 =
x^2 1 ; se x < 1 ou x > 1 (x^2 1) ; se 1 < x < 1
Observe que: x
(^4) 5 x (^2) + jx^2 1 j =
(x^2 ^4 )(x^2 ^1 ) jx^2 1 j <^4 x:^ (#) Temos dois casos a serem analisados.
1 ^ Caso: Se x^2 1 > 0 :
Aplicando a deÖniÁ„o de mÛdulo em (#), temos que:
x^2 4 x 4 < 0 :
A soluÁ„o dessa inequaÁ„o È I 1 =
p 2 ; 2 + 2
p 2
Logo, a soluÁ„o È S 1 = I 1 \ [( 1; 1) [ (1; + 1 )] ) S 1 =
p 2
2 ^ Caso: Se x^2 1 < 0 :
Aplicando a deÖniÁ„o de mÛdulo em (), temos que:
x^2 + 4x 4 > 0 : A soluÁ„o dessa inequaÁ„o È I 2 =
p 2
[
p 2 ; + 1
Logo, a soluÁ„o È S 2 = I 2 \ ( 1 ; 1) ) S 2 =
p 2 ; 1
Portanto, a soluÁ„o da desigualdade È a uni„o das soluÁıes acima, ou seja, S = S 1 [ S 2 ) S 3 =
p 2 ; 1
[
p 2
Exemplo 5: Resolva a equaÁ„o jx 3 j^2 4 jx 3 j = 12: SoluÁ„o: DeÖnindo u = jx 3 j, temos que a equaÁ„o acima pode ser escrita como
u^2 4 u 12 = 0 (1)
As raÌzes da equaÁ„o (1) s„o 2 e 6.
? Para u = 2 , segue que: jx 3 j = 2. Absurdo!!!! Por propriedade de mÛdulo jxj 0 :
? Para u = 6, segue que: jx 3 j = 6 (2) Pela deÖniÁ„o de mÛdulo, temos que
jx 3 j =
x 3 , se x 3 (x 3) , se x < 3 :
1 o^ Caso: Se x 3 ; temos que: x 3 = 6 =) x = 9 Como 9 2 [3; + 1 ), segue que uma soluÁ„o È S 1 = f 9 g :
2 o^ Caso: Se x < 3 ; temos que: x + 3 = 6 =) x = 3 Como 3 2 ( 1; 3], segue que uma soluÁ„o È S 2 = f 3 g : Portanto, a soluÁ„o È S = f 3 ; 9 g :
1.5 FunÁ„o
DeÖniÁ„o 10: Sejam A e B dois subconjuntos de R. Uma funÁ„o f : A! B È uma lei (ou regra) de correspondÍncia entre dois conjuntos n„o vazios, tal que a cada elemento de A se associa um ˙nico elemento de B. O conjunto A È chamado de
Observe que: DomÌnio de f : Df = A; ContradomÌnio de f : B; Imgem de f : Im f = f 2 ; 3 ; 5 ; 7 g :
(b) Diagrama Cartesiano: As retas x e y s„o perpendiculares; x È chamado eixo das abscissas e y o eixo das ordenadas.
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
x
y
- Forma AnalÌtica: A funÁ„o È escrita, segundo uma lei, denotada por y = f (x). Exemplos:
(a) f (x) = x^2 ; DomÌnio: Df = R; Imagem: Im f = [0; + 1 ).
(b) g (t) = (^) t 2 t 4 ; DomÌnio: Dg = ft 2 R : t 6 = 2 g ) Dg = R f 2 ; 2 g; Imagem: Im g = R.
(c) h (x) =
p x^2 1 DomÌnio: Dh = fx 2 R : x^2 1 0 g ) Dh = fx 2 R : x 1 ou x 1 g ) Dh = ( 1; 1] [ [1; + 1 ); Imagem: Im h = [0; + 1 ).
Na forma analÌtica, a segunda vari·vel, x, a qual se pode atribuir valores arbitr·rios dentro dos limites impostos pela natureza do problema, È dita vari·vel in- dependente ou argumento da funÁ„o, e a primeira vari·vel y cujo valor È determinado quando se d· valores ‡ vari·vel independente È dita vari·vel dependente ou simplesmente funÁ„o.
ObservaÁ„o:Uma maneira r·pida de saber se a curva C dada representa ou n„o uma funÁ„o È atravÈs do teste da reta vertical. Sabemos que, se f È uma funÁ„o, um ponto de seu domÌnio pode ter somente uma imagem. Assim, C sÛ representa o gr·Öco de uma funÁ„o quando qualquer reta vertical corta a curva C no m·ximo em um ponto. Na Ögura abaixo, C 1 respresenta o gr·Öco de uma funÁ„o, enquanto a curva C 2 n„o representa.
CC 11 CC 22
1.5.2 OperaÁıes com FunÁıes
DeÖniÁ„o 12: Dadas as funÁıes f e g. As operaÁıes de adiÁ„o, subtraÁ„o, multiplicaÁ„o e divis„o s„o deÖnidas por:
- (f g) (x) = f (x) g (x) ;
- (f:g) (x) = f (x) :g (x) ;
f g
(x) = f g^ ((xx)) :
O domÌnio das funÁıes f g e f:g È a interseÁ„o dos domÌnios de f e g. O domÌnio de fg È a interseÁ„o dos domÌnios f e g, excluindo-se os pontos x onde g (x) = 0.
Exemplo 8: Sejam f (x) = 2x 1 e g (x) =
p x^2 5 x + 6. Determine as
funÁıes f g, f:g e fg e seus domÌnios.
SoluÁ„o: Pela deÖniÁ„o acima, temos que: (f g) (x) = 2x 1
p x^2 5 x + 6; (f:g) (x) = (2x 1)
p x^2 ^5 x^ + 6; f g
(x) = px^22 x 51 x+. Como Df = R e Dg = ( 1; 2] [ [3; + 1 ), ent„o o domÌnio de f g e f:g È
( 1; 2] [ [3; + 1 ). O domÌnio de fg È ( 1; 2) [ (3; + 1 ).
ObservaÁ„o: Deve-se tomar cuidado, pois nem sempre a interseÁ„o dos domÌnios das funÁıes È o domÌnio das funÁıes resultantes. Por exemplo, se f (x) =
p x e g (x) =
p x o domÌnio da funÁ„o h (x) = (f:g) (x) = x È Dh = Df \ Dg = [0; + 1 ) e n„o R (que aparentemente seria o domÌnio da funÁ„o h (x)).
DeÖniÁ„o 13: Dadas duas funÁıes f e g, a funÁ„o composta de g com f , denotada por g f È deÖnida por
(g f ) (x) = g (f (x)).
O domÌnio de g f È o conjunto de todos os pontos x do domÌnio de f tais que f (x) est· no domÌnio de g. Simbolicamente,
D (g f ) = fx 2 Df : f (x) 2 Dgg. O diagrama pode ser visualizado abaixo.
È uma reta. Se a > 0 , a reta È crescente; se a < 0 , a reta È decrescente; e se b = 0, a reta passa pela origem do sistema cartesiano. Exemplo: f (x) = 3 x + 4:
-2 2
5
10
x
y
- FunÁ„o MÛdulo: f : R! [0; + 1 ) deÖnida por f (x) = jxj :
-2 0 2
2
x
y
- FunÁ„o Quadr·tica: f : R! R deÖnida por f (x) = ax^2 + bx + c, onde a, b e c constantes e a 6 = 0. O gr·Öco dessa funÁ„o È uma par·bola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y: Se a > 0 a par·bola tem concavidade voltada para cima. Se a < 0 a concavidade È voltada para baixo. Exemplo: f (x) = x^2 4 x + 4
-2 0 2 4 6
5
10
x
y
- FunÁ„o polinomial: f : R! R deÖnida por f (x) = a 0 xn^ + a 1 xn ^1 + + an 1 x + an, com ai, i = 0; 1 ; ; n, constantes reais, a 0 6 = 0, n 2 N e n È o grau do polinÙmio. As funÁıes constante, identidade, lineares e quadr·ticas s„o exemplos de funÁıes polinomiais. Exemplo: f (x) = 5x^5 6 x + 7:
-2 2
10
x
y
- FunÁ„o Racional: funÁ„o deÖnida como o quociente de duas funÁıes polinomiais,
isto È, f (x) = p q((xx)) , onde q (x) 6 = 0. O domÌnio da funÁ„o racional È o conjunto dos reais excluindo todos os x tais que q (x) 6 = 0: Exemplo: f (x) = (^) xx 2 ^11 :
-6 -4 -2 2 4
2
4
x
y
1.5.4 FunÁıes Pares, Õmpares e PeriÛdicas
DeÖniÁ„o 14: Uma funÁ„o f (x) È par se, para todo x 2 Df ,
f ( x) = f (x) : O gr·Öco de uma funÁ„o par È simÈtrico em relaÁ„o ao eixo dos y.
DeÖniÁ„o 15: Uma funÁ„o f (x) È Ìmpar se, para todo x 2 Df ,
f ( x) = f (x) : O gr·Öco de uma funÁ„o Ìmpar È simÈtrico em relaÁ„o ‡ origem.
DeÖniÁ„o 16: Uma funÁ„o f (x) È periÛdica se existe um n˙mero real T 6 = 0, tal que
f (x + T ) = f (x) : para todo x 2 Df.
Exemplo 11: ClassiÖque as funÁıes abaixo, como par ou Ìmpar.
- f (x) = x^4 + x^2 2; SoluÁ„o: f ( x) = ( x)^4 + ( x)^2 2 = x^4 + x^2 2 = f (x) : Logo, f È uma funÁ„o par.
- f (x) = 4x^3 + x^2 ; SoluÁ„o: f ( x) = 4 ( x)^3 + ( x)^2 = x^2 4 x^3 : Logo, f n„o È uma funÁ„o par nem Ìmpar.
- f (x) = x^7 ; SoluÁ„o: f ( x) = ( x)^7 = x^7 = f (x) : Logo, f È uma funÁ„o Ìmpar.
Exemplo 12: Mostre que a funÁ„o f (x) = sin (2x) È periÛdica de perÌdo T = . SoluÁ„o: Pela deÖniÁ„o de funÁıes periÛdicas, temos que: f (x + ) = sin (2 (x + )) = sin 2x = f (x) : Portanto, f (x) = sin (2x) È periÛdica com perÌdo T = .
Uma funÁ„o n„o pode ter duas inversas. Assim, se uma funÁ„o f tiver uma inversa, a inversa È ˙nica. A inversa de uma funÁ„o È comumente denotada por f ^1 (lÍ-se: inversa de f ). Sabemos que, funÁ„o est· determinada pela relaÁ„o que estabelece entre suas entradas e saÌdas e n„o pela letra usada para vari·vel independente. Assim, no exemplo 13, temos que f ^1 (x) = 3
p x 1 È a funÁ„o inversa de f: Se usarmos a notaÁ„o f ^1 , em vez de g, na deÖniÁ„o 15, e se usarmos x como
vari·vel independente, temos que se f e f
01 s„o inversas, ent„o:
f ^1 f
(x) = x, 8 x 2 Df , f f ^1
(x) = x, 8 x 2 Df ^1.
ATEN«√O: f ^1 È apenas uma notaÁ„o para a funÁ„o inversa, f ^1 6 = (^1) f :
Exemplo 14:
- A funÁ„o f :
3 ;^ +^1
! R+ deÖnida por y = f (x) =
p 3 x 2 tem como funÁ„o inversa f ^1 : R+!
3 ;^ +^1
, deÖnida por f ^1 (x) = 13 (x^2 + 2).
- A funÁ„o f : R f 3 g! R f 1 g deÖnida por y = f (x) = x 3 x^1 tem como funÁ„o inversa f ^1 : R f 1 g! R f 3 g, deÖnida por f ^1 (x) = 1+3x+1x.
Uma maneira de determinar as funÁıes inversas È resolvendo y = f (x) para x como uma funÁ„o de y e, a seguir, substituir y por x na fÛrmula Önal para f ^1 : Nem toda funÁ„o tem uma funÁ„o inversa. GraÖcamente, podemos deter- minar se uma funÁ„o admite inversa. Passndo uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o gr·Öco em apenas um ponto. Este È o teste da reta horizontal. A funÁ„o f (x) = x^2 n„o possui funÁ„o inversa, mas fazendo uma restriÁ„o conveniente no domÌnio, essa mesma funÁ„o pode admitir inversa.
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
3
x
y
Para fazermos o gr·Öco da funÁ„o inversa basta traÁarmos a reta y = x e observarmos a simetria.
Exemplo 15: Se f : [0; + 1 )! [0; + 1 ) deÖnida por f (x) = x^2 tem como inversa a funÁ„o f ^1 : [0; + 1 )! [0; + 1 ) dada por f ^1 (x) =
p x:
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
x
y
1.5.7 Algumas FunÁıes Elementares
- FunÁ„o Potencial: funÁ„o deÖnida por f (x) = xn, onde n 2 R. Exemplo: f (x) = x
(^13) = 3
p x
-5 5
2
x
y
- FunÁ„o Exponencial: f : R! (0; + 1 ) deÖnida por f (x) = ax, com a 2 R e 0 < a 6 = 1. Com relaÁ„o ao gr·Öco dessa funÁ„o, podemos aÖrmar que:
(a) est· acima do eixo das abscissas; (b) corta o eixo das ordenadas no ponto (0; 1) ; (c) f È crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1 :
-4 -2 0 2 4
5
10
x
y
- FunÁ„o LogarÌtmica: f : R +! R deÖnida por f (x) = loga x, com a 2 R e 0 < a 6 = 1. Com relaÁ„o ao gr·Öco dessa funÁ„o, podemos aÖrmar que:
(a) est· todo a direita eixo das ordenadas;
