Aprenda sobre potências, raízes e expoentes, Notas de estudo de Matemática

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CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA PAULA SOUZA

ETEC ITAQUERA II

ETIM – EDIFICAÇÕES

TRABALHO DE MATEMÁTICA

SÃO PAULO

BRUNO VILLELA NEVES

DIOGO MANSANO GOMES

GUSTAVO LOPES OLIBONI

GUSTAVO MORENO MARQUES DOS SANTOS

HENRI RODRIGO ALMANZA SINANI

TRABALHO DE MATEMÁTICA

Trabalho de caráter bimestral proveniente da

base comum curricular Matemática da instituição de

ensino ETEC Itaquera II

Orientador : Alexandre Padilla

SÃO PAULO

• REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS RACIONAIS NA
  • 1.1. Adição e subtração
    • 1.1.1. Situação 1: Os denominadores são comuns
    • 1.1.2. Situação 2: Os denominadores são diferentes
    • 1.1.3. Situação 3: Números mistos
  • 1.2. Multiplicação
  • 1.3. Divisão
  • 1.4. Potenciação
  • 1.5. Radiciação
• REPRESENTAÇÃO DECIMAL OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS RACIONAIS NA
  • 2.1. Adição
    • 2.1.1. Outro método....................................................................................
  • 2.2. Subtração
    • 2.2.1. Outro método....................................................................................
  • 2.3. Multiplicação
    • 2.3.1. Outro método....................................................................................
  • 2.4. Divisão exata
    • 2.4.1. Outro método....................................................................................
  • 2.5. Divisão não exata
  • 2.6. Representação decimal de uma fração
  • 2.7. Potenciação e raiz quadrada
    • 2.7.1. Potenciação
  • 2.7.2. Raiz quadrada
    • PROPRIEDADES DE POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
• 3.1. Propriedades da potenciação
  • 3.1.1. Expoente de valor
  • 3.1.2. Expoente de valor
  • 3.1.3. Multiplicação das bases
  • 3.1.4. Multiplicação dos expoentes
  • 3.1.5. Divisão das potências
  • 3.1.6. Potência elevada a número negativo
  • 3.1.7. Expoente fracionado
• 3.2. Propriedades da radiciação
  • 3.2.1. Índice e expoente igual
  • 3.2.2. Índices e expoente diferentes
  • 3.2.3. Multiplicações dos Radicais
  • 3.2.4. Fração das Radiciações
  • 3.2.5. Potência de radicais
  • 3.2.6. Expoentes dos radicais
  • 3.2.7. Raízes de Raízes
    • EQUAÇÕES DE 1° GRAU
• 4.1. Resolver equações do 1°grau...........................................................
• 4.2. Incógnita ou variável
• 4.3. Igualdade em equações diferentes
• 4.4. Resolução de duas variáveis - SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1°GRAU
• 5.1. Método da substituição
• 5.2. Método da adição - OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
• 6.1. Redução dos polinômios
• 6.2. Adição e Subtração do Polinômios
• 6.3. Multiplicação dos Polinômios
  • 6.3.1. Multiplicando mais de dois Polinômios
• 6.4. Divisão entre os Polinômios
  • 6.4.1. Método da Chave
  • 6.4.2. Método de Descartes
  • 6.4.3. Método de descartes para P(x)
  • 6.4.4. Método de Descartes para D(x).....................................................
• 6.5. Fatoração entre os Polinômios
  • 6.5.1. Fator comum em evidência............................................................
  • 6.5.2. Fatoração por agrupamento
  • 6.5.3. Trinômio do quadrado perfeito.......................................................
  • 6.5.4. Diferença de dois quadrados
  • 6.5.5. A soma de dois cubos
  • 6.5.6. Diferença entre dois cubos
    • PRODUTOS NOTÁVEIS
• 7.1. Quadrado da soma
• 7.2. Quadrado da diferença......................................................................
• 7.3. O Produto da soma pela diferença de dois termos
• 7.4. Cubo da soma
• 7.5. Cubo da diferença - EQUAÇÕES DE 2° GRAU
• 8.1. Equação do 2° grau completa...........................................................
• 8.2. Equação do 2° grau incompleta
• 8.3. Fórmula de Bháskara
• 8.4. Gráfico da equação do 2°grau
• 8.5. Pontos notáveis de uma função do 2°grau....................................... - ESTATÍSTICA
• 9.1. Medidas de tendência central
• 9.2. Média aritmética
  • 9.2.1. Moda
  • 9.2.2. Mediana
• 9.3. Média aritmética ponderada..............................................................
• 9.4. Média geométrica
• 9.5. Média harmônica
• 9.6. Medidas de dispersão
  • 9.6.1. Desvio médio
  • 9.6.2. Variância
  • 9.6.3. Desvio padrão
    • CONJUNTOS
• 10.1. Diagrama de Venn.............................................................................
• 10.2. Propriedades de Conjuntos...............................................................
• 10 .3. Conjuntos finitos e infinitos
• 10.4. Conjunto Vazio
• 10.5. Conjunto único
• 10.6. Pertencente
• 10.7. Conjuntos Iguais
• 10.8. Propriedades da Inclusão
• 10.9. Conjuntos das Partes
• 10.10. Subconjuntos
• 10.11. Intersecção entre os conjuntos
  • 10.11.1. Propriedades da Intersecção
• 10.12. União dos conjuntos
  • 10.12.1. Propriedades da união
• 10.13. Diferença entre os conjuntos
• 10.14. Conjuntos disjuntos
  • 10.14.1. Conjunto Universo......................................................................
    • REFERÊNCIAS
• 11.1. SITES
• 11.2. CANAIS DO YOUTUBE

OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS RACIONAIS NA

REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA

1.1. Adição e subtração

Quando formos efetuar a soma ou diferença de duas frações, sempre

deve-se prestar atenção em seus denominadores para ver se eles são comuns

ou não.

1.1.1. Situação 1: Os denominadores são comuns

Nessa situação, como os denominadores são iguais, basta

mantê-los do jeito que estão e efetuar as operações apenas nos

numeradores.

1.1.2. Situação 2: Os denominadores são diferentes

Para se resolver essa situação, devemos pegar o mínimo múltiplo

comum dos denominadores 3 , 5 e 6 , então:

Agora que pegamos o mmc de 3, 5 e

6, agora é só pegar o produto, dividir

pelo denominador e depois

multiplicar pelo numerador, após

isso, a soma continua normalmente.

1.4. Potenciação

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um

determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a um

mesmo expoente, segue os exemplos abaixo:

[

]

2

2

2

[

]

3

3

3

1.5. Radiciação

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número

fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o

denominador a esse expoente, segue os exemplos abaixo:

25

64

√

25

√

64

5

8

144

100

√

144

√

100

12

10

6

5

OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS RACIONAIS NA

REPRESENTAÇÃO DECIMAL

2.1. Adição

Observe a seguinte adição:

Se transformarmos em números fracionários, vai ficar assim:

Para você determinar se um número vai ficar sobre 10 , 100 , 1000 , e daí

por diante, você tem que observar a casa decimal do número, se um número

tiver 2 casas decimais, ele vai ficar sobre o 100, pois foi como se você tivesse

acrescentado 2 zeros. Então você acrescenta de acordo com as casas

decimais.

Após transformar em números fracionários, você vai observar se os

denominadores são comuns ou não, caso eles não sejam, você vai transformá-

los em denominador comum usando o 𝑚𝑚𝑐.

2.1.1. Outro método

Você também pode optar pelo método tradicional de adição, colocando

um número em baixo do outro e ir somando, porém como estamos trabalhando

com números decimais, teremos que adicionar um zero caso esses números

não tenham a mesma quantidade de casas decimais e alinhar a vírgula para

não haver confusão na hora da soma. Segue os exemplos abaixo:

2.2. Subtração

Observe a seguinte subtração:

Para transformar em números fracionários, basta seguir os mesmos

raciocínios do tópico anterior:

2.2.1. Outro método

Além das outras considerações feitas no tópico da adição, você

vai colocar o maior número em cima, como se fosse uma subtração

simples, segue os exemplos:

6

1

1

9

1

8

9

9

1

Relembrando que na divisão de frações, você mantém a primeira fração

e multiplica pelo inverso da segunda fração. Outro ponto importante das frações

é que quando houver os números 10 , 100 , 1000 , etc., você poderá cortar os

zeros como forma de simplificar, mas de acordo com as quantidades de zeros

presentes.

2.4.1. Outro método

O outro método é bem mais simples do que o primeiro, pois são

3 passos simples de se resolver uma divisão entre números decimais:

a) Você iguala o número de casas decimais com o acréscimo de zeros;

b) Elimina as vírgulas;

c) Efetua a divisão.

Agora acompanhe o raciocínio com os exemplos abaixo:

𝟏, 𝟒 ÷ 𝟎, 𝟎𝟓

Igualamos as casas decimais; 1 , 40 0 , 05

Cortamos as vírgulas; 140 5

Efetuamos a divisão. 140 ÷ 5 = 28

Logo o quociente de 1 , 4 por 0 , 05 é 28.

Usa-se o mesmo processo:

𝟒, 𝟎𝟗𝟔 ÷ 𝟏, 𝟔

Nessa situação, parece que o resultado não vai dar exato, porém,

nesse caso deu exato pois o resto é 0. Inicialmente o quociente deu um

número inteiro igual a 2 , mas depois disso o resto se tornou impossível

para dividir novamente, então o que você faz? Você acrescenta um zero

no resto para continuar a divisão e coloca uma vírgula no quociente, mas

após colocar a vírgula uma vez, não poderá colocar novamente.

𝟎, 𝟕𝟑 ÷ 𝟓

Nessa situação aqui, podemos ver que inicialmente o 73 não pode

ser dividido por 500 , então foi acrescentado um zero logo de cara,

porém, você também deve colocar um zero no quociente e em seguida

a vírgula, para então sim você poder continuar a divisão.

E caso o acréscimo de 1 zero não seja o suficiente para dividir,

não tem problema, pode colocar outro zero, mas não esqueça de colocar

um zero depois da vírgula no quociente. Segue o exemplo:

2.5. Divisão não exata

No caso de uma divisão não exata, determinamos o quociente

aproximado por falta ou por excesso. Veja, por exemplo, a divisão de 𝟔𝟔 por

2.6. Representação decimal de uma fração

Para transformar uma fração em um número decimal é muito simples,

basta dividir o numerador pelo denominador, aliás, uma fração é uma divisão

se você parar para pensar. Segue os exemplos:

Converta

𝟑

𝟒

em número decimal

0 𝐿𝑜𝑔𝑜, ¾ é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 0 , 75 𝑞𝑢𝑒 é 𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑜.

2.7. Potenciação e raiz quadrada

2.7.1. Potenciação

As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente

um número natural seguem as mesmas regras desta operação, já

definidas. Assim:

2.7.2. Raiz quadrada

A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada

com facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. Assim:

2

2

2

2

2

4

PROPRIEDADES DE POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

3.1. Propriedades da potenciação

As propriedades da potenciação se referem as regras em situações da

operação e como atuam a base, expoente e potência, diversas vezes

encontramos situações onde existe a operação de potência mas não

consigamos resolve-la e muitas das causas são pelas maneiras onde são

expostas, o que dificulta na hora de calcular qualquer operação ou equação

matemática pois a falta de compreendimento sobre as propriedades postas

sobre elas.

3.1.1. Expoente de valor 1

Qualquer número elevado a 1 , o resultado da operação será igual

a base independentemente do valor ou forma em que a própria base se

encontra, sendo assim a forma negativa ou positiva não interferem o

valor final da potenciação.

1

1

1

1

3.1.2. Expoente de valor 0

Qualquer número, elevado a 𝟎 o resultado será 𝟏 mesmo em

casos de radiciação, fração, número negativo e até onde base 𝟎 é

elevado a 𝟎.

0

0

0

0

3.1.5. Divisão das potências

Quando há divisão das bases de mesmo valor é necessária que

conserve a base e subtrai os expoentes tendo em consideração que o

resultado pode ser negativo, podemos dizer que é o contrário da

multiplicação de bases iguais onde se soma os expoentes.

𝒃

𝒄

𝒃−𝒄

90

20

90

30

20 − 30

− 10

204

25

204

20

25 − 20

5

Mas quando há bases e expoentes diferentes, podemos utilizar

também a pratica de fatoração onde transformamos os números em

bases iguais elevados a expoente diferentes, e logo após teremos

potência elevado a potência.

𝑨

𝒃

𝑩

𝒅

(𝑨

𝒄

)

𝒃

(𝑩

𝒆

)

𝒅

𝑨

𝒄×𝒃

𝑩

𝒆×𝒅

4

5

9

4

6

5

9 × 4

6 × 5

36

30

36 − 30

6

𝟗

m 16 2 𝟐

𝟔

8 2 4 i 2

3.1.6. Potência elevada a número negativo

Quando a potência elevada a um número negativo temos que

inverter tanto a base quanto o expoente, assim o expoente passa a ser

positivo e base em forma fracionada para que haja uma igualdade entre

os valores. 𝑨

−𝒃

𝟏

𝑨

𝒃

− 10

1

50

10

− 8

1

90

8

− 1

1

110

1

3.1.7. Expoente fracionado

Em casos onde o expoente está em forma de fração podemos inverte-lo

para radiciação, ou seja, separamos a fração em que seu denominador se

transforma na enésima da radiação e o seu numerador o expoente de A, sendo

assim: 𝑨

𝒃

𝒄 = √𝑨

𝒃

𝒄

5

2

5

2

3

3

3

3

3

1

0

= √ 100

1

0

= 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 0 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒.

3.2. Propriedades da radiciação

A radiciação tem seus elementos estruturais como o índice, radicando,

raiz e radical mesmo tendo nomes semelhantes tem funções diferentes na

operação, quando deparamos em situações em que há radiciação está em

outra radiciação, vemos uma situação onde não estamos habituados a resolver,

pois na maioria das vezes utilizamos apenas a raiz quadrada da operação e

para facilitar o compreendimento da questão utilizamos as propriedades da

operação.

Para começarmos a explicar as propriedades é necessário saber que a

radiciação é o contrário da potenciação pois existem elementos semelhantes,

mas com objetivos diferentes; a potenciação busca o valor do produto a

radiciação a base.

3.2.1. Índice e expoente igual

Para índices e expoentes iguais em radiciação podemos dizer que

o resultado será o próprio radicando já que quando o expoente e o índice

estão no mesmo valor apenas cortamos os dois elementos; está

propriedade é validade desde que 𝑨 seja maior ou igual a zero.√𝑨

𝒃

𝒃

𝟕

𝟕

𝟗𝟎

𝟗𝟎