Baixe Calculo: Raizes, Potências e Logaritmos e outras Esquemas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Conteúdo
- 1 Aritmética e Álgebra
- 1.1 Potências
- 1.2 Logaritmos
- 1.3 Coleção de notações e técnicas
- 1.4 Manipulação de equações e formulas
- 1.5 Solucionando equações
- 2 Geometria
- 2.1 A área de um triângulo
- 2.2 A área de um paralelogramo
- 2.3 Um pouco de geometria do círculo
- 2.4 Unidades de ângulo
- 2.5 Triângulos semelhantes e congruentes
- 3 Gráficos
- 3.1 Eixos Cartesianos
- 3.2 Gráfico de uma equação
- 3.3 Representando dados com um gráfico
- 4 Trigonometria
- 4.1 Seno, cosseno e tangente
- 4.2 Identidades
- 4.3 Quantidades vetoriais
- 5 Inclinação, Área e crescimento
- 5.1 A inclinação de uma curva
- 5.2 Área sob a curva
- 5.3 Crescimento e decaimento exponencial
Capítulo 1
Aritmética e Álgebra
1.1 Potências
Introdução Nesta seção conheceremos as propriedades das potências. am^ × an^ = am+n^ (1.1)
am an^ =^ a
m (^) × a−n (^) = am−n (^) (1.2)
(am) n^1 = am^ n^ (1.3)
(an)m^ = amn^ (1.4)
e veremos exemplos de manipulação de potência.
- Produtos como 1. 44 × 1. 44 e 0. 02 × 0. 02 × 0. 02 podem ser escritos na seguinte notação. 1. 44 × 1 .44 = (1, 44)^2 e 0. 02 × 0. 02 × 0 .02 = (0.02)^3. Se a é qualquer número e m é um número inteiro positivo (1, 2 , 3 ,... ), am^ é definido por: am^ = a︸ × a × a (^) ︷︷× · · · × a×︸ m fatores
am^ é chamado de m-ésima potência de a e m é chamada de índice ou expoente.
- Se n tanto quanto m for um número inteiro positivo, o produto das potencia aman é am^ × an^ = (a︸ × a × a (^) ︷︷× · · · × a×︸ m fatores
) × (a︸ × a × a (^) ︷︷× · · · × a×︸ n fatores
Em geral, se a é um número positivo, e q é um número inteiro positivo, a^1 q^ é a raiz q-ésima de a, logo a ︸ 1 q^ × a^1 q^ × a︷︷^1 q^ × · · · × a^1 q︸ q fatores
= a (1.18)
Notação equivalente: a^1 q^ = √qa (1.19)
- Se p é um inteiro, incluindo zero, e q é um inteiro, ap^ q^ é definido por
ap^ q^ = (ap)^1 q^ = (a^1 q^ )p^ (1.20)
A escolha de qual forma usar no cálculo depende dos números envolvidos. Exemplo 16 32 = (16^3 )^12 = (16 12 )^3 (1.21) Já que 16 12 é mais fácil de resolver do que 163
16 32 = (4)^3 = 64 (1.22)
- A m-ésima potência de an^ é escrita como (an)m
(an)m^ = ︷ m^ fatores de︸︸^ n^ termos ︷ a︸ × a × · · · ×︷︷ a︸ n fatores
× a︸ × a × · · · ×︷︷ a︸ n fatores
× · · · × a︸ × a × · · · ×︷︷ a︸ n fatores
= a︸ × a × a︷︷ × · · · × a︸ m×n fatores
ou seja (an)m^ = anm^ (1.25)
- As equações 1.7, 1.13, 1.20 e 1.25 são frequentemente chamadas de lei das potências.
aman^ = am+n^ (1.26)
am an^ =^ a
ma−n (^) = am−n (^) (1.27)
a
p q = (ap)^1 q^ = (a^1 q^ )p^ (1.28)
(an)m^ = anm^ (1.29)
A primeira e última relações podem ser estendidas para qualquer quantidade de produtos e potências. Por exemplo
am^ × an^ × ap^ × aq^ = am+n+p+q^ (1.30)
(( (an)m
)p)q = amnpq^ (1.31)
exemplo (^) ( (8^2 )^13
= 8^2 ×^13 ×^12 = 8 13 = 2 (1.32)
- Divisão por zero não é definido, então a−n^ é sem sentido, quando a = 0.
- Exercícios (a) Cacule as seguintes expressões. i. (25)^32 ii. 100 −^21 iii. (^) a−( 4 a×^2 )a^3 − 2 (b) Determine o valor de x. i. ((am)n)p^ = ax ii. bp^ × bq^ × br^ = bx iii. a^0 = x , para qualquer a
1.2 Logaritmos
Introdução Esta seção explica a teoria dos logaritmos. São apresentadas explanações completas de cálculos usando logaritmos.
- Preliminares para as definições
(a) Se a é positivo e menor que 1 , an, para n positivo ou negativo é positivo. Por exemplo (0.25)−^2 = 16 (1.33) e 8 −^13 = 0. 5 (1.34)
- Forma logarítmica das propriedades das potência.
Propriedade Forma logaritmica 10 m^ × 10 n^ = 10m+n^ log 10 (10m^ × 10 n) = log 10 (10m+n) = m + n 1010 mn = 10m−n (^) log 10 ( 1010 mn ) = log 10 (10m−n) = m − n (10m) n^1 = 10 m^ n^ log 10 ((10m) n^1 ) = log 10 (10 m^ n^ ) = m n (10m)n^ log 10 ((10m)n) log 10 (10mn) = mn
- Para entender porque as tabelas de logaritmos são representadas daquela maneira, primeiro iremos olhar para numeros de logaritmicos fáceis de encontrar. x log 10 x Comentário 1001 −^2 O^ log^ de todos os números entre^1001 e^101 assumem valores entre − 2 e − 1 101 −^1 O^ log^ de todos os números entre^101 e^1 assumem valores entre − 1 e 0 1 0 O log de todos os números entre 1 e 10 assumem valores entre 0 e 1 10 1 O log de todos os números entre 10 e 100 assumem valores entre 1 e 2 100 2 Por exemplo, 8 está entre 1 e 10 e por isso o seu logaritmo está entre 0 e 1. Mais precisamente, seu valor aproximado é 0. 9031. Já que qualquer numero positivo x pode ser expresso na forma padrão x = 10m^ × X (1.39) onde m é um inteiro e 1 ≤ X < 10 log 10 x = log 10 (10m) + log 10 X (1.40) = m + log 10 X (1.41)
Por exemplo 0 .08 = 10−^2 × 8 (1.42) então log 10 (0.08) = −2 + 0. 9031 (1.43) Portanto, para obter o logaritmo de x basta escrever x na forma padrão x = 10m^ × X (1.44)
e somar m ao log 10 X, o qual será um valor entre 0 e 1 , uma vez que X está entre 1 e 10.
1.3 Coleção de notações e técnicas
Introdução Nesta seção será discutida a simplificação de expressões algébricas pelo uso das pro- priedades de potências e das expansões
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (1.45)
(a − b)^2 = a^2 − 2 ab + b^2 (1.46)
(a + b)(a − b) = a^2 − b^2 (1.47) Serão apresentados tambem a noção de módulo, proporção direta, somatória e uma aproximação para (a + b)^2.
- Uma expressão algébrica às vezes pode ser simples ou complicada, como por exemplo
5
( (^) ax (^2) + 2by ax − 3 cy^2
As vezes é util usar a palavra termo para descrever um grupo de simbolos. No exemplo acima temos os termos ax^2 , 2 by, ax e 3 cy^2.
- O produto de a + b por c + d é escrito como
(a + b)(c + d) (1.49)
e o produto de a + b por si mesmo é escrito como
(a + b)^2 (1.50)
Se quisermos, podemos expandir (a + b)^2
(a + b)^2 = (a + b)(a + b) (1.51) = a(a + b) + b(a + b) (1.52) = a^2 + ab + ba + b^2 (1.53)
Neste caso o termo b^2 é muito pequeno comparado com os outros termos. De fato 102 é uma aproximação muito boa para (10.1)^2. Sempre que b é muito pequeno comparado a a podemos aproximar (a + b)^2 por a^2 + 2ab; Escrevemos isso como
(a + b)^2 ≈ a^2 + 2ab se b ≪ a (1.69) onde ≪ significa é "muito menor que". Mais dois exemplos. (a) (1000 + 1)^2 ≈ 106 + 2 × 103 (1.70) (b)
(10 + 5)^2 = 225 (1.71) 102 + 2 × 10 × 5 = 200 (1.72)
Neste caso (a + b)^2 não é bem aproximado por a^2 + 2ab já que 5 não é "muito menor que" 10.
- Expressões algébricas complicadas às vezes podem ser simplificadas aplicando as leis de índices e expansões 1.54, 1.58 e 1.61. Exemplos: (a) Simplifique (a + b)^2 − ((a − b)^4 )^12 4 ab (1.73) aplicando a propriedade de potências de potências (a + b)^2 − ((a − b)^4 )^12 4 ab =
(a + b)^2 − (a − b)^2 4 ab (1.74) Expanda o lado direito da equação usando 1.54 e 1.
= a
(^2) + 2ab + b (^2) − (a (^2) − 2 ab + b (^2) ) 4 ab (1.75) Cacele os termos =^44 abab (1.76) logo (a + b)^2 − ((a − b)^4 )^12 4 ab = 1^ (1.77)
(b) Simplifique (^ (xyz 2 )^3 (^1) x y− 2 )^2 (1.78) Já que a−n^ = (^) a^1 n (1.79)
(^ (xyz 2 )^3 (^1) x y− 2 )^2 =^
(xyz^2 )^3 (x−^1 y−^2 )^2 (1.80) Aplique a propriedade de potência de potência no numerador e no denominador x^3 y^3 z^6 x−^2 y−^4 (1.81) Usando novamente a relação a−n^ = (^) a^1 n , temos x^3 x^2 y^3 y^4 z^6 (1.82)
Logo (^ ( xyz^2 )^3 x^1 y−^2 )^2 =^ x
(^5) y (^7) z (^6) (1.83)
- Se a letra d representa uma grandeza física que pode ser positiva ou negativa e estamos interessados apenas na magnitude e não no sinal da grandeza, dizemos que estamos interessados no módulo de d, representado pelo símbolo: |d| (1.84)
Exemplos | − 5 | = 5 | + 5| = 5 (1.85) Em geral |d| = | − d| (1.86) Note que | 0 | = 0 (1.87)
Exemplos: (a) Se a = 6 e b = − 7 , calcule |a + b| e |a| + |b|. |a + b| = | 6 − 7 | = | − 1 | = 1 (1.88)
|a| + |b| = | 6 | + | − 7 | = 6 + 7 = 13 (1.89)
- Suponha que t e s representem alguma grandeza física. Suponha também que, a partir de um experimento foram coletados os valores de t e s apresentados na tabela. t s 1.7 5. 2.9 8. 3.8 11. 4.6 14. 5.9 17.
Inspecionando a tabela, podemos per- ceber que a razão s t é aproximadamente 3 em cada caso
Em tais casos dizemos que s e t são diretamente proporcionais. Esta relação é expressada simbolicamente por s ∝ t (1.99)
A partir disso, podemos escrever que s t =^ k^ ,^ (1.100) onde k é alguma constante para os experimentos em questão. No caso acima, podemos assumir k = 3, então s t = 3^ (1.101) ou t s =
Para confirmar esta equação nós podemos observar mais valores de s no intervalo de t de 1. 7 a 5. 9. Devemos tambem observar valores fora desse intervalo.
- Exercícios
(a) i. (X − Y )^2 ii. (X + Y )(X − Y ) iii. (3a + b)^2 iv. (2a + c^2 )^2 (c^2 − 2 a) (b) Mostre que (x − a − b)(a + b + x) + a^2 + 2ab + b^2 x^2 = 1 (c) Se x ≪ y, mostre que (x + y)^2 ≈ y(y + 2x). (d) Simplifique
i. (x^2 yz^2 )^
(^12)
ii. ((x + 2y)^2 − (2x − y)^2 )^2 (e) Cacule |a − b| sendo que a = − 3 e b = − 4. (f) Calcule ∑^4 j=
2 j .
1.4 Manipulação de equações e formulas
Introdução Esta seção explica o que é uma equação e dá uma orientação para a manipulação delas por meio de operações permitidas.
- Uma variável é uma quantidade que pode assumir qualquer valor de um determinado conjunto de números. O conjunto de números podem ser, por exemplo, todos os números, apenas os inteiros positivos ou todos os numeros entre − 4 e +6. Variáveis são comumente representadas por letras. Uma equação é a declaração formal de equivalência entre duas expressões, na qual pelo menos uma das expressões envolve no mínimo uma variável. Apresentamos exemplos de equações das variáveis x e y.
x + y = 1 (1.103)
2 x = y (1.104)
x + 1 = 2 (1.105)
x = x (1.106)
A equação v = u + f t (1.107)
Se é conhecido o valor de F e é solicidado encontrar o valor de C, podemos manipular a equação para que C esteja em evidência da seguinte maneira.
Multiplicar ambos os lados de 1.110 por (^59)
5 9 (F^ −^ 32) =
5 C^ (1.115)
E se nós trocarmos os lados e simplificarmos, temos
C =^59 (F − 32) (1.116)
Exemplo 3
Manipule a equação para que u seja função das outras variáveis.
puv = ψv u (1.117)
Multiplique ambos os lados da equação 1.117 por u
pu^2 v = ψv (1.118)
Divida ambos os lados de 1.118 por pv
u^2 = ψ p 66 vv (1.119)
Cancele v no numerador e denominador do lado direito da equação e então tome a raiz quadrada de ambos os lados de 1.119. Note que existem duas soluções para a equação 1.119 e que estas variáveis representam grandezas físicas com propriedades que podem desqualificar algumas das soluções.
u = +
ψ p (1.120) e
u = −
ψ p (1.121)
Podendo ser reescrito como
u = ±
ψ p (1.122)
Exemplo 4
Considere duas equações que são simultaneamente verdadeiras
y = ax + b (1.123)
e Y = AX + B (1.124) As operações permitidas indicadas a seguir podem ser usadas para produzir uma unica equação de 1.123 e 1.124. Já que Y = AX + B, podemos realizar a operação permitida de divisão de ambos os lados de 1.123 por Y dividindo o lado esquerdo por Y e o direito por AX + B. y Y =^
ax + b AX + B (1.125)
- Exercícios (a) Manipule a formula abaixo com operções válidas e obtenha u(v, f, s). v^2 = u^2 + 2f s
(b) Dado v = πr^2 h V = πR^2 H H = 2h expresse a razão (^) Vv em função de r e R apenas. (c) Um cilindro de altura h e raio r ocupa um volume V 1 dado por V 1 = πr^2 h Uma esfera de raio r ocupa um volume V 2 dado por V 2 =^43 πr^3 Se V 2 = 2V 1 , expresse h em termos de r.
1.5 Solucionando equações
Introdução Nesta seção nós solucionamos equações lineares, equações quadrática e equações cúbi- cas simples. As equações quadráticas são solucionadas por meio da formula de Baskhara
x = −b^ ±
b^2 − 4 ac 2 a (1.126) O método por eliminação é utilizado para solucionar pares de equações simultâneas de duas variáveis.
- Exemplo 3: Equações quadráticas em x
Resolva 2 x^2 + x − 2 = 4 (1.135)
Equações como essa podem sempre ser resolvidas comparando a equação equivalente na forma 2 x^2 + x − 6 = 0 (1.136) com a equação quadrática geral em x, para a 6 = 0,
ax^2 + bx + c = 0 (1.137)
temos que as soluções são dadas por
x = −b^ +^
√b (^2) − 4 ac 2 a (1.138) e x = −b^ −
b^2 − 4 ac 2 a (1.139) A fórmula para a solução de 1.137 é geralmente escrita como
x = −b^ ±
√b (^2) − 4 ac 2 a (1.140) Resolveremos 1.136 usando 1.
x = −^1 ±^
Portanto, são solução da equação 1.136, x = − 2 e x = 32. Novamente, as soluções podem ser checadas por substituição. Quando x = − 2 , o lado esquerdo da equação 1.136 torna-se:
2 · (−2)^2 + (−2) − 6 = 0 (1.143)
E quando x = 32 ,o lado esquerdo da equação 1.136 torna-se:
2 ·
− 6 =^92 +^32 − 6 = 0 (1.144)
Note que
(a) se b^2 − 4 ac é positivo, 1.137 tem duas soluções. (b) se b^2 − 4 ac é zero, 1.137 tem uma soluções. (c) se b^2 − 4 ac é negativo, 1.137 não tem solução pertencentes ao conjuntos dos numeros reais.
- Exemplo 4: Equação cúbica simples em x Solucione
2 x^3 + 4 = − 12 (1.145)
Subtraia 4 de ambos os lado de 1.
2 x^3 + 4 − 4 = − 12 − 4 (1.146)
logo 2 x^3 = − 16. (1.147) Divida ambos os lados por de 1.147 por 2
x^3 = − 8 (1.148)
Calcule a raiz cúbica em ambos os lados da equação 1.
x = (−8)^13 (1.149) logo x = − 2 (1.150)
A solução pode ser checada por substituição. Quando x = − 2 , o lado esquerdo da equação 1.145 torna-se: 2(−2)^3 + 4 = − 12 (1.151)
Em geral, as equações cúbicas simples, na forma
ax^3 + b = c (1.152)
tem,para a 6 = 0, solução dada por
x =
(c − b a
Se c − b é positivo, x é positivo; Se c − b é negativo, x é negativo.
