Apostila de matemática aplicada, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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Educação Profissional

Curso Técnico em Mecânica

Módulo I – Mecânico Industrial

MATEMÁTICA APLICADA

SUMÁRIO

Educação Profissional 3

1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números Naturais N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... } Números Inteiros Z = { ... , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2, ... } Obs.: Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z. Números Racionais São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são números inteiros quaisquer, com b diferente de 0. Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 } Assim, como exemplo, podemos citar o - 1/2 , 1 , 2,5 , etc... Números decimais exatos são racionais, pois: 0,1 = 1/ 2,3 = 23/ Números decimais periódicos são racionais. 0,1111... = 1/ 0,3232 ...= 32/ 2,3333 ...= 21/ 0,2111 ...= 19/ Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1. Números Irracionais São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b sendo números inteiros e b diferente de 0.

  p  Z , q  Z , q  0

q

p

I x

Alguns números irracionais:

e



Educação Profissional 4 São compostos por dízimas infinitas não periódicas. Números Reais É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. 1.1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Você viu anteriormente, o Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N. Observou ainda que o conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z. O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................}, este conjunto é infinito, ou seja, não tem fim. Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos: a) 9 - 12 =? b) 8 - 100 =? Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja as respostas estão dentro do conjunto dos números inteiros. Vamos conhecer este conjunto: O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}. Observe que este conjunto é formado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar, que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo. No seu dia a dia, você já dever ter deparado com números inteiros. Quando se tem um crédito, tem um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação ao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivos. 1.1.1 - Reta Numérica Inteira Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estão crescendo da esquerda para a direita, - 7 é menor que - 6, 0 é maior que - 1 e assim em diante. Compare alguns números inteiros. a) - 5 > - 10 b) +8 > - 1000 c) - 1 > - 200.

• 4 - 3 - 2 - 1 0 +1 +2 +3 +4 +

Educação Profissional 6 1.1.4 - Potenciação de Números Inteiros Exemplos: a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32 c) (-8)0 = 1 d) (18)1 = 18 1.1.5 - Radiciação de Números Inteiros Exemplos:

a) 25 = 5 (lembre-se que 5x5 = 25)

b) 49 = 7 (lembre-se que 7x7 = 49)

c)  9 = (lembre-se não existe raiz quadrada de número inteiro negativo)

d) - 16 = - 4 (observe que neste caso o menos está da raiz, sendo assim existe raiz real)

e) 3  8 = - 2 (lembre-se (-2)x(-2) x(-2)= - 8 – neste caso é raiz cúbica e não real)

f) 3 8 = 2 (lembre-se (2)x(2) x(2)= 8)

1.1.6 - Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)] = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6] = 3 - 2 + 4 - 5 – 6 = 7 – 13 = - 6 Primeiro elimine os parênteses, como antes dele tinha um sinal de menos todos os números saíram com sinais trocados, logo depois elimine os colchetes, como também tinha um sinal de menos todos os números saíram com os sinais trocados, some os positivo e o negativos b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]} = {- 5 - 8 + 15 - 3} = - 5 - 8 + 15 - 3 = - 16 + 15 = - 1 Primeiro resolva dentro do parênteses, depois multiplique o resultado por 3, logo após elimine os colchetes, como antes deste tinha um sinal de mais, todo os números saíram sem trocar sinal, elimine também as chaves, observe que também não teve troca de sinais pelo mesmo motivo anterior, junte positivo e negativos.

Educação Profissional 7

1.2 - FRAÇÕES

O símbolo

b

a

, significa a : b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos:

b

a

de fração - a de numerador e b de denominador. Se a é múltiplo de b , então a fração

b

a

representa um número natural. Veja o exemplo: A fração

é igual a 12 : 3. Neste caso, 12 é o numerador e 3 é o denominador. Efetuando a divisão de 12 por 3, obtem-se o quociente 4. Assim,

é um número natural e 12 é múltiplo de 3. Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então, surgiu o conceito de número fracionário. 1.2.1 - O significado de uma fração Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, considere uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo: Aline comeu

de um bolo. Isso significa que o bolo foi dividido em 7 partes iguais, Aline teria comido 4 partes: xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Aline, e a parte branca é a parte que sobrou do bolo. 1.2.2 - Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...

Educação Profissional 9 8/12, 15/12 e 42/12 - para obter, pega-se o m.m.c, dividi-se pelo denominador, pega-se o resultado e multiplica-se pelo numerador. 1.2.6 - Adição e Subtração de Frações 1.2.6.1 - Denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Exemplos: 4/5 + 3/5 = 7/5 8/15 - 7/15 = 1/ 1.2.6.2 - Denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, deve-se reduzir as frações ao menor denominador comum (achar o mmc) e, em seguida, adicionar ou subtrair as frações equivalentes às frações dadas. Para obter as frações equivalentes, deve-se determinar o m.m.c entre os denominadores destas frações. Exemplo: 5/4 + 1/6 = 15/12 + 2/12 = 17/ Obtendo o m.m.c dos denominadores tem-se m.m.c (4,6) = 12. 1.2.7 - Multiplicação e Divisão de Frações 1.2.7.1 - Multiplicação Na multiplicação de números fracionários, deve-se multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador. Exemplo: 3/5 x 3/6 = 9/ 1.2.7.2 - Divisão Na divisão de números fracionários, deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplo: 2/5 : 3/7 = 2/5 x 7/3 = 14/

Educação Profissional 10 1.2.8 - Potenciação e radiciação de números fracionários 1.2.8.1 - Potenciação Na potenciação, quando se eleva um número fracionário a um determinado expoente, está elevando o numerador e o denominador a esse expoente: Exemplos:

2

 ^ 

x

3

 ^ 

x x 1

0

^ 

1.2.8.2 - Radiciação Na radiciação, quando aplica-se a raiz a um número fracionário, está aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador: Exemplos:

1.2.9 - Fração Geratriz Conforme estudado, todo número racional (Conjunto Q), resulta da divisão de dois número inteiros, a divisão pode resultar em um número inteiro ou decimal. Convém lembrar que se tem decimais exato. Exemplos: 2,45; 0,256; 12,5689; 12, E também decimais não exato (dízima periódica) Exemplo: 2,555555.... ; 45,252525....; 0,123123123...; 456,12454545; 7,4689999.... Você deve saber, que em uma dízima periódica a parte decimal que repete, recebe o nome de período, a parte que não repete é chamada de ante-período, a parte não decimal é a parte inteira. 1.2.10 - Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica 1.2.10.1 - Dízima periódica simples Deve-se adicionar a parte decimal à parte inteira. Deve-se lembrar que a parte decimal será transformada em uma fração, cujo numerador é o período da dízima e o denominador é um número formado por tantos noves quantos sãos os algarismos do período. Exemplos:

Educação Profissional 12 O contrário seria um número depois da vírgula denominador 10, dois números depois da vírgula denominador 100, três números depois da vírgula denominador 1000 e assim por diante. 1.3.4 – Propriedade Um número decimal não se altera ao acrescentarmos zeros a direita do seu último número. Exemplos: 0,4 = 0,400 = 0,4000 = 0, 0,23 = 0,230 = 0,2300 = 0,23000 = 0, 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000, 1, 1.3.5 - Operações com números Decimais 1.3.5.1 – Adição Na adição de números decimais devemos somar os números de mesma ordem de unidades, décimo com décimo, centésimo com centésimo. Antes de iniciar a adição, deve-se colocar vírgula debaixo de vírgula. Exemplos: 0,3 + 0,81 = 1,42 + 2,03= 7,4 + 1,23 + 3, 7, 0,30 1,42 1, +0,81 +2,43 +3,1 1 2 1,11 3,45 11, 1.3.5.2 – Subtração A subtração de números decimais é efetuada da mesma forma que a adição. Exemplos: 4,4 - 1,21= 2,21 - 1,211= 9,1 - 4, 4,40 2,210 9,

• 1,21 - 1,2 1 1 - 4, 3,19 0,999 4, 1.3.5.3 – Multiplicação Efetua-se a multiplicação normalmente. Em seguida, contam-se as casas decimais de cada número e o produto fica com o número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores.

Educação Profissional 13 Exemplos: 4,21 x 2,1= 0,23 x 1,42= 0,42 x 1,2= 4,21 0,23 0, x 2,1 x 1,42 x 1, 421 046 084

• 842= +096= + 042= 8,841 023== 0, 0, 1.3.5.4 - Divisão Na divisão de números decimais, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número de casas decimais. Deve-se igualá-las antes de começar a divisão. Igualadas as casas decimais, elimine a vírgula e afetue a divisão normalmente. Exemplos: 11,7 2,34 11,70 2, Iguala-se o número de casas decimais. 1170 234

• 1170 5 0000 1.3.5.5 - Potenciação Efetue da mesma forma com os números naturais. Exemplos: (0,2)² = 0,2 x 0,2 = 0,04 (^) (1,23)^0 = 1 (1,2) ²= 1,2 x 1,2 = 1,44 (^) (23,5)^1 = 23, 1.4 - RAZÃO Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b¹ 0, ao quociente entre eles. Indica- se a razão de a para b por a/b ou a : b. Exemplo: Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão) Observe que, a vírgula foi eliminada e se efetuou a divisão. Resto igual a zero divisão exata

Educação Profissional 15 1.5.3 - Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais Entende-se por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, são alguns exemplos de grandezas. No nosso dia-a-dia são encontradas varias situações em que duas ou mais grandezas as relacionam. Em uma corrida quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. Numa construção , quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo gasto para que esta fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de funcionário e o tempo. 1.5.4 - Grandezas Diretamente Proporcionais Em um determinado mês do ano, o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse dado pode-se formar a seguinte tabela. Quantidade de gasolina (em litros) Quantidade a pagar (em reais) 1 0, 2 1, 3 1, Observe: Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra. Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica. Neste caso, as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais. Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica. 1.5.5 - Grandezas inversamente proporcionais Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. Observe a tabela:

Educação Profissional 16 Número de alunos escolhidos. Números de livros para cada aluno 2 12 4 6 6 4 Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade. Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante. Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro. 1.6 - REGRA DE TRÊS Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porém não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos. 1.6.1 - Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Deve-se, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples:  Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.  Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.  Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido? Tecido (m) Preço 8 156 12 x

Educação Profissional 18

8 x  200  x   x 

Será preciso de 25 caminhões. 1.7 - PORCENTAGEM Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem. Exemplo: Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento. Se reparar em sua volta, percebe-se que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc. Exemplos: O crescimento no número de matrícula no ensino fundamental foi de 24%. A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. Desconto de 25% nas compras à vista. Apenas 20% da mão-de-obra é realmente especializada. Deve-se lembrar que a porcentagem, também pode ser representada na forma de números decimal, observe os exemplos: Exemplos:

Alguns cálculos que envolvem porcentagens. Exemplos: 01 - Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista? (primeiro representamos na forma de fração decimal) 10% de 100 10% x 100 300 - 30 = 270 Logo, pagarei 270 reais.

Educação Profissional 19 02 - Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou. 32% x 100 = 32 Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira. 03 - Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo. 25% x 2000 = 5000 O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro. Então, 2000 + 500 = 2500 reais. Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais. 04 - Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro? Lucro: 25 000 - 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o preço de custo) (resultado da divisão do lucro pelo preço de custo) Porcentagem Preço 100% 20 000 2 0000 x = 500000 => x = 500000/20000 => x = 25% X 5 000 05 - O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento? Porcentagem Preço 120% 35 000 120 x = 3500000 => x = 35000/120 => x = 29.166, 100% x Logo, o preço anterior era 29 166,