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MATEMÁTICA

FÁCIL

Prof° Ms. Valdinei Cezar Cardoso

Operações com números inteiros A multiplicação de números inteiros não é muito diferente da multiplicação que estamos

• Operações com números inteiros........................................................................... Sumário
• Divisores de um número........................................................................................
• Máximo divisor comum.........................................................................................
• Mínimo múltiplo comum .......................................................................................
  • Operações com frações ..........................................................................................
• Potenciação e radiciação ........................................................................................
• Expressões numéricas ............................................................................................
• Sistemas de medidas ...............................................................................................
  • Médias ....................................................................................................................
  • Regra de três simples e composta ..........................................................................
  • Perímetros, áreas e volumes ...................................................................................
  • Função do primeiro grau ........................................................................................
  • Relações métricas no triângulo retângulo ..............................................................
    • Comprimento da circunferência em radianos ........................................................
  • Trigonometria em um triângulo qualquer .............................................................
    • Porcentagem ..........................................................................................................
  • Juros simples e compostos .....................................................................................
    • Funções do primeiro grau e representação gráfica ................................................
    • Coleta de dados, interpretação de gráficos e tabelas e o uso de MS-Excel ...........

Produto de dois números inteiros com sinais iguais.

Nesse caso a duas possibilidades: dos dois fatores serem positivos e dos dois fatores serem negativos. O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores.

A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos, o sinal fica conforme a regra:

A divisão dos números inteiros também segue a mesma idéia quanto aos sinais desses números:

Problemas e aplicações

1. O dia de Pedro:

7 h. É hora de levantar. Pedro lavou o rosto e escovou os dentes. Ele adora calcular, o tempo todo. Veja as expressões que calculou logo cedo. Calcule-as você também:

a) 2 – (-1 – 5 + 8) + (7 – 3) – 4 b) -81 + 14 – (-52 + 31 + 18) + (103 – 50)

7 h 30 min. Pedro tomou café, pois sabe que é importante alimentar-se bem pela manhã. Depois, calculou as expressões abaixo. Repita as operações:

c) 45 + [-15 – (30 – 18) + 10] d) -16 – [4 + (8 – 1) – (14 – 5)] + 1

8 h. Pedro calculou mais duas expressões, depois de cuidar do jardim:

e) 23 – (-18 + 3) + [9 – (20 – 7) + 12] f) [4 – (1 – 5) + 3] – [-8 + (2 – 7) + 10]

10 h. Depois de brincar um pouquinho, Pedro calculou:

g) 13 + 8 – [1 – (-15 + 3 – 12) + 8] – (12 – 8) h) -10 – {8 – [6 – (4 – 2)]}

11 h. É hora do banho. Pedro terminou a lição, calculando:

i) 36 – {14 + [-57 – (-33 – 49 + 50)]} j) 18 – (-8 + 31) + {-7 – [-4 + (8 – 1) – (16 – 3 + 7) + 2] – 4}

• Resolva todas as expressões e responda a pergunta.

 A que horas Pedro calculou a expressão que dá o resultado maior? E o menor?

1. Em janeiro, uma empresa teve um prejuízo de 5 200 reais, mas, em fevereiro, recuperou-se e teve um lucro de 12 560 reais.

a) Escolha, usando números inteiros, uma expressão que represente a situação da empresa ao final de fevereiro. b) Qual foi o lucro dessa empresa nesse bimestre?

1. Em relação ao nível do mar, a altitude de um avião é +2 500 metros e a de um submarino é - metros. Qual é a diferença entre as atitudes do avião e do submarino?
2. Um avião partiu de um aeroporto situado 600 metros acima do nível do mar, com te bom e temperatura de 28 °C. Ao atingir a altitude máxima, de 3 300 metros acima do nível do mar, o piloto avisou que a temperatura externa era de -40 °C.

Da decolagem até o momento em que foi atingida a altitude máxima, calcule quanto variou: a) a altitude do avião; b) a temperatura externa.

1. Em um jogo de perguntas e respostas cada participante ganha 3 pontos por acerto, perde 2 pontos por erro e perde 1 ponto se não responder.

Veja o desempenho dos cinco participantes em cada jogo com 20 perguntas para cada um.

Christian: 9 acertos, 8 erros e 3 sem responder. Ana Clara: 6 acertos, 5 erros e 9 sem responder. Gustavo: 7 acertos, 8 erros e 5 sem responder. Larissa: 8 acertos, 3 erros e 9 sem responder. João Pedro: 7 acertos, 10 erros e 3 sem responder.

Determine a pontuação de cada um e escreva a classificação final de acordo com a ordem decrescente de pontos.

1. As expressões numéricas, a seguir, representam os números inteiros A e B

A  1 – [4 + (4 – 2 – 5) – (-7 + 3)]

B  2 – [7 – (-1 – 3 + 6) – 8]

Determine o valor de:

a) Em que mês o lucro foi de –30 milhões de reais?

b) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro?

1. Zé da Feira, tinha saldo negativo no banco: - 500 reais. Mesmo assim, deu um cheque de 200 reais. Efetue os cálculos para descobrir seu novo saldo.

Divisores de um número

Determinação do número de divisores de um número:

o Decompomos o número em um produto de fatores primos. o Somamos 1 a cada expoente dos fatores primos e multiplicamos os resultados. Exemplos:

1. Quantos são os divisores do número 120? 120 2 60 2 30^2 15 3 5 5 1 120 = 2^3 .3.5 = (3+1).(1+1).(1+1) = 4.2.2 = 16 divisores
2. Quantos são os divisores dos números 2^2 .3.5^3 .7? (2+1).(1+1).(3+1).(1+1) = 3.2.4.2 = 48 divisores.

Determinação dos divisores de um número. o Decompomos o número dado em um produto de fatores primos. o Colocamos um traço, à direita dos fatores primos e logo acima escrevemos o número 1, que é divisor de todos os números. o Multiplicamos os fatores primos pelos números que estão à direita do traço e acima deles.

Exemplos:

1. Quais são os divisores do número 120?

120 2 2 60^2 30 2 8 15 3 3, 6, 12 , 24 5 5 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120 1 1

1. Quais são os divisores do número 2.3^2 .5?

1 2 2 3 3, 6 3 9, 18 5 5, 10, 15, 30, 45, 90

Exercícios:

1. Quais são os divisores do número 180?
2. Quais são os divisores do número 22.3.52?
3. Quantos são os divisores comuns dos números 48 e 60?
4. Quais são os divisores comuns dos números 54 e 90?

Máximo Divisor Comum (M.D.C.)

O M.D.C. de dois ou mais números é o maior número possível que os divide exatamente.

1° Processo: Decomposição em fatores primos.

o É o produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes.

Exemplos:

1. Achar o M.D.C. entre 90, 120.

90 = 2.3^2. 120 = 2^3 .3. M.D.C. = 2.3.5 = 30

2° Processo: Divisões sucessivas. o Dividimos o maior número pelo menor. Depois o menor pelo resto encontrado, em seguida este resto pelo novo resto e assim, sucessivamente, até encontrarmos reto zero. O último divisor será o M.D.C. M.D.C. 12

Obs: No caso de vários números, achamos o M.D.C. dos dois menores. Depois achamos o M.D.C. desse resultado com o terceiro número e assim, sucessivamente.

Exercícios

1. Achar o M.D.C. entre 20, 36 88.

Quociente 1 1 4 108^60 48 48 12 0 Resto

Exemplos:

1. Efetue:

a) 60

Exercícios

1. Efetue as operações indicadas:

a)^1 2 3

• b)^1 3 7

• c)^2 3 2

• d)^3 2 5

• e)^1 2 4

• f)^4 3 12

• g)^1 4

h) 2 1 3

• i) 4 2 5

• j)^8 3 2

• l)^5 7 7

• m)^2 3 9

• n)^5 9 2

• o)^4 7

p) 1 1 1 3 4 2

• • q) 1 1 1 3 7 7
• • r) 2 3 3 3 2 5
• • s) 1 1 4 2 2 3
• • t) 1 1 9 3 7 2
• • u) 2 1 2 3 4
• • v) 5 4 4 6 3

1. Efetue as operações indicadas:

a)^5 7 7

− b)^2 3 9

− c)^5 9 2

− d)^4 7

− e)^1 2 3

− f)^1 3 7

− g)^2 3 3

−

h)^3 2 5

− i)^1 4 3

− j)^4 3 12

− l)^1 4

− m) 2 1 3

− n) 3 2 5

− o)^8 5 2

−

p) 1 1 4 2 2 3

− − q) 2 3 3 3 2 5

− − r) 2 1 2 3 4

− − s) 5 4 4 6 3

− − t) 1 1 1 3 4 2

− − u) 1 1 1 3 7 7

− − v) 1 1 9 3 7 2

− −

Multiplicação e divisão:

o Na multiplicação : multiplicamos, respectivamente, os numeradores e os denominadores das frações. o Na divisão: multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda.

Observações:

1. Devemos simplificar as frações entre si antes de multiplicá-las.
2. Pelo mesmo número que dividimos em cima temos que dividir em baixo.
3. Para obter uma fração inversa basta trocar o numerador e o denominador de posição.

Exercícios

1. Efetue as operações indicadas:

a)^1 2 3

× b)^1 3 7

× c)^2 3 2

× d)^3 2 5

× e)^1 2 4

× f)^4 5 12

× g)^1 4

×

h) 6 1 3

× i) 4 2 5

× j)^8 3 2

× l)^5 7 7

× m)^2 3 9

× n)^5 7 15

× o)^4 7

×

p) 1 1 1 3 4 2

× × q) 1 6 7 3 7 2

× × r) 2 3 3 3 2 5

× × s) 3 7 5 2 4 3

× × t) 2 1 9 3 7 5

× × u) 2 1 2 3 4

× × v) 4 4 4 5 3

× ×

1. Efetue as operações indicadas:

a)^1 2 3

÷ b)^1 3 7

÷ c)^2 3 2

÷ d)^3 2 5

÷ e)^1 2 4

÷ f)^4 3 12

÷ g)^1 4

÷

h) 1 2 3

÷ i) 2 4 5

÷ j) 8 3 3 2

÷ l) 5 6 7 7

÷ m) 2 4 3 9

÷ n) 5 3 9 2

÷ o) 4 2 7

÷

p)^1 1 3 4 2

 (^) ÷ ÷    

q)^1 1 3 7 7

÷ ^ ÷     

r)^2 3 3 2 5

÷ ^ ÷     

s)^1 1 2 2 3

÷ ^ ÷     

t)^1 1 3 6 2

 (^) ÷ ÷    

u)^2 1 3 4

 (^) ÷ ÷    

v)^5 4 6 3

÷ ^ ÷     

Potenciação e radiciação:

Na potenciação , quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação , quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

Propriedades das Potências:

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1. 2^4 ÷ 2 = 24-1^ = 2^3

2. 3^5 ÷ 3^2 = 35-2^ = 3^2

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.

Exemplos de fixação:

1. 2-4^ = 1/2^4 = 1/

2. 3-3^ = 1/3^3 = 1/

3. 4-2^ = 1/4^2 = 1/

Temos então: (I)-m^ = 1/I m^ I#

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1. (a/b)^4 = a^4 /b^4 = b#

2. (a^2 /b^4 )^3 = a^6 /b^12 = b#

3. (a^3 /b^2 )^3 = a^9 /b^6 = b#

Temos então: (a/b)m^ = am/bm^ b #

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1. Para se elevar 10n^ (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação:

a) 10^4 = 10000

b) 10^6 = 1000000

c) 10^7 = 10000000

1. Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação:

a) 10-4^ = 0,

b) 10-6^ = 0,

c) 10-7^ = 0,

1. Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.10^2

b) 7000 = 7.1000 = 7.10^3

c) 10.000 = 1.10000 = 1.10^4

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10-

b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10-

c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10- 5

• Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

Veja: (+2)^2 = 4 / / (-2)^4 = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

Veja: (+3)^3 = 27 / / (-3)^3 = -

Observação importante: -2^2 # (-2) 2 , pois -2^2 = -4 e (-2) 2 = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.

Outros exemplos:

[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 = = [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = =[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = = [1.3 + 12] : 5 = = [3 + 12 ] : 5 = = 15 : 5 = 3

Exercícios

1. Efetue:

a) 11 + 32 + 4.9 – 15 : 3 =

Resp: 74

b) 109 – 15.4 + 26 : 13 =

Resp: 51

c) 10 + 3502 : 17 – 100 : 25 =

Resp: 212

d) 25 + 25 : 25 – 25.1 =

Resp: 1

e) 2 4 + 2 .( 4 2 : 8 − 1 ) =

Resp: 18

f) 82 :( 15. 15 : 15 + 20 ) =

Resp: 4

g) (7.6 – 32 : 2) : 13 =

Resp: 2

h) [( ( 16 ): 2 ). 32 ] : 2 .( 9 − 23 )=

Resp: 9

i) ( ) ( )

2 10 5 1252 : 3 23 : 4 

Resp: 25

j) 20 – (- 45) : (-3)^2 + (-2). (-1)^5

Resp: 27

k) − ( − 2 ) +(− 1 )^0 − 25 − 32 − 53 : 25 =

3

Resp: 0

l) + ( − ) −( − ) +^7 +^0 +^2 =

4 4 3 1 2 2 0 32 8. 2

Resp: 58

m)

0

(^23)

Resp: 7

n)

2 3

3

Resp: 5

o) =  

2

5

Resp: 3

p) (0,5)² : 5 – 2.(0,3.1,2 - 0,72 : 2,4) =

Resp: - 0,

q) + − − )= 2

Resp: 0,

r) (^)  = 

− − −

2 1 1 3

Resp: 17

s) ( )

0 12

4

6

−

Resp: 3

t) (- 3,5 + 2.1,45) – ( -1,2 : 5 – 3,5) =

Resp: 3,

Sistemas de medidas

Medidas de Comprimento:

Sistema Métrico Decimal Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu- se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.

Metro A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

Múltiplos e Submúltiplos do Metro

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

quilômetro Hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

(^1) Fonte:www.somatemática.com.br

Ou seja:

16,584 hm = 1.658,4 m

Medidas de capacidade

A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.

A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 1l = 1dm^3

Múltiplos e submúltiplos do litro

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Relações 1l = 1dm^3 1ml = 1cm^3 1kl = 1m^3 Leitura das medidas de capacidade

• Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal kl hl Dal l dl cl ml 2, 4 7 8 Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".

Medidas de superfície

Introdução As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:

• Qual a área desta sala?
• Qual a área desse apartamento?
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina?
• Qual a área dessa quadra de futebol de salão?
• Qual a área pintada dessa parede? Superfície e área

Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.

Metro Quadrado

A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.

O metro quadrado (m^2 ) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

quilômetros quadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado km^2 hm^2 dam^2 m^2 dm^2 cm^2 mm^2 1.000.000m^2 10.000m^2 100m^2 1m^2 0,01m^2 0,0001m^2 0,000001m^2

O dam^2 , o hm^2 e km^2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm^2 , o cm^2 e o mm^2 são utilizados para pequenas superfícies.

Exemplos: 1) Leia a seguinte medida: 12,56m^2 km^2 hm^2 dam^2 m^2 dm^2 cm^2 mm^2 12, 56 Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m^2 km^2 hm^2 dam^2 m^2 dm^2 cm^2 mm^2 1 78, 30 Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados” 3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam^2 km^2 hm^2 dam^2 m^2 dm^2 cm^2 mm^2 0, 91 70 Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

Medidas Agrárias