Apostila Matemática Básica, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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Apostila de Matemática Básica

Volume 1

Unidade 1

Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio

1.1 Apresentação

Esta é a primeira unidade da disciplina Matemática Básica dos curso de Engenharia de Produção.

1.2 Simbologia Matemática mais usual

Esperamos que o estudante conheça a seguinte simbologia:

a) = (igual à)

b)  (diferente de)

c)  ou  (conjunto vazio)

d)  (pertence à)

e)  (não pertence à)

f)  (está contido)

g)  (não está contido)

h)  (contém)

i)  (não contém)

j)  (existe pelo menos um)

k)  (não existe)

l) | (existe e é único)

m) | (tal que / tais que)

n)  (ou)

o)  (e)

p) A  B (interseção dos conjuntos A e B )

q) A  B (união dos conjuntos A e B )

r)  (para todo e qualquer, qualquer que seja)

s)  (implica)

t)  (implica e a recíproca é equivalente)

é o conjunto dos números naturais.

g) Z*   x | x Z e x  0 

h) Q*  x | x Q e x  0 

i) R*  x | x R e x  0 

j) C*  x | x C e x  0 

Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os números negativos dos conjunto.

k) Z (^)   x | x Z e x  0  N

é o conjunto dos números inteiros não negativos.

l) Q  x | x Q e x  0 

é o conjunto dos números racionais não negativos

m) R  x | x R e x  0 

é o conjunto dos números reais não negativos.

Quando acrescentamos o símbolo – (menos) estamos indicando que foram excluídos todos os números positivos do conjunto. Assim, temos:

n) Z (^)   x | x Z e x  0 

é o conjunto dos números inteiros não positivos.

o) Q  x | x Q e x  0 

é o conjuntos dos números racionais não positivos.

p) R  x | x R e x  0 

é o conjunto dos números reais não positivos.

Devemos notar que o zero é elemento dos conjuntos Z (^) , Z (^) , Q, Q, R, R. Se excluímos o zero destes conjuntos, teremos:

q) Z *  x | x Z e x  0 

r) Z *  x | x Z e x  0 

s) Q^ *  x | x Q e x  0 

t) Q^ *  x | x Q e x  0 

u) R^ *  x | x R e x  0 

v) R^ *  x | x R e x  0 

O conjunto R^ * é chamado conjunto dos números reais estritamente positivos e R^ *é o

conjunto dos números reais estritamente negativos. Os outros têm nomes semelhantes.

Notemos a propriedade:

N *ZQRC

isto é, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional, todo número racional é real e todo número real é também complexo.

1.4 Operações com Números Relativos

 Ilustração 1.1: Números relativos

  ^3 ^2 ^10 1 2 3 

1.4.1 Soma ou Adição

Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+).

 ILUSTRAÇÃO 1.

a) (  10 )( 2 ) 10  2  12

b) (^ ^10 )(^2 )^10 ^2 ^8

c) (  10 )( 2 ) 10  2  8

1.4.2 Subtração ou Diferença

Cumpre observar que o sinal de menos (–) antes de um parêntese troca o sinal do número que está entre parênteses e, no mais, procedemos como na operação anterior.

 ILUSTRAÇÃO 1.

a) (  10 )( 2 ) 10  2  8

b) (  10 )( 2 ) 10  2  12

c) (  10 )( 2 ) 10  2  12

d) (  10 )( 2 ) 10  2  8

Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra: “Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos”.

1.4.3 Multiplicação

 Ilustração 1.

a) (  10 )( 2 ) 20

b) (  10 )( 2 ) 20

c) (  10 )( 2 ) 20

d) (  10 )( 2 ) 20

1.4.4 Divisão

 Ilustração 1.

a) (  10 )( 2 ) 5

b) (  10 )( 2 ) 5

c) (  10 )( 2 ) 5

d) (  10 )( 2 ) 5

1.4.5 Potenciação

Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de fatores iguais a este número, sendo representada por:

p a

Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva, qualquer que seja o sinal da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o sinal de base.

 Ilustração 1.

a)  2   2   2  ( 2 )  2  16 4       

b) (  2 )^4   2    2    2    2   16

c)  2   2   2   2  8 3      

d) (  2 )^3   2   2   2   8

 expoente (n.º de repetições dos fatores iguais)  base (é o número ou fator em questão)

No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica , mas este índice aparece no radical.

b) Valor algébrico dos radicais:

Se o radicando é considerado em valor absoluto (módulo), a radiciação é uma operação unívoca. No entanto, se este radicando é um número relativo a unicidade, em alguns casos, não estará mais garantida e por isso vamos considerar três casos:

1.º) Índice par e radicando positivo.

Neste caso o radical admitirá duas raízes reais e simétricas no conjunto dos números reais, bem como um par complexo conjugado.

2.º) Índice ímpar.

Sendo o índice do radical um número ímpar, temos uma raiz no conjunto dos números reais, tendo o mesmo sinal que o radicando, e ( n – 1) raízes no conjunto dos números complexos.

3.º) Índice para e radicando negativo.

Neste caso não existe nenhum valor do conjunto do números reais que elevado ao índice para seja igual ao radicando. Este assunto será abordado na seção 1.14.

 Ilustração 1.

1.º caso

        

625 5 pois

64 8 pois

4

4 4

2

2.º caso

   ^ 

32 2 pois 2 32

32 2 pois 2 32 5 5

5 5

3.º caso 

 (^)  4  j e,

Observação: pelo que foi exposto, se alguém lhe perguntar qual é o valor de 9 , a resposta e

simplesmente 3. Agora se for pedido o valor algébrico do 9 teremos então  3.

1.4.7 Produto e Divisão de Potências de Mesma Base

a) Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

b) Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do denominador do expoente do numerador.

 Ilustração 1.

a)^2

3 2 3241 2

1 a^3^  a^2  a ^4  a  a   a

b) 5 85 3

8 b b b

b   

c) 5 25 3

2  x ^  x^  x

x

d) 4 3 (^4 )^7

3 I I I

I

 ^  

1.4.8. Expoente Nulo

Toda potência de expoente nulo é igual à unidade.

Ilustração 1.

a^0  1

Observação:

São exceções 00 e ^0 , que não têm qualquer significado numérico, sendo símbolos de indeterminação, e são abordados em Análise Matemática na parte de Limites.

 Ilustração 1.

Determinar os valores algébricos das seguintes operações:

a) 8 3 3 82 364 4

2   

b) 162 16 4

1   

c) 2

2

1

2

1    



1.4.11 Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos Números

 Ilustração 1.

a) 2 000  2  103 * —

b) 4 000000  4  106 * —

c) 0 , 0003  3  10 ^4 —

d) 0 , 025  25  10 ^3 —

1.5 Produtos Notáveis

1.5.1 Quadrado de um binômio

a) ( a  b )^2 :

( a  b )^2 ( a  b )( a  b ) a^2  ab  ab  b^2  a^2  2 ab  b^2

ou

2 2

2

2

a 2 ab b

ab b

a ab

a b

a b

( a  b )^2  a^2  2 ab  b^2 (4)

b) ( a  b )^2 :

( a  b )^2 ( a  b )( a  b ) a^2  ab  ab  b^2  a^2  2 ab  b^2

ou

2 2

2

2

a 2 ab b

ab b

a ab

a b

a b

( a  b )^2  a^2  2 ab  b^2 (5)

1.5.2 Produto da soma de dois termos pela diferença entre eles

( a  b )( a  b ) :

( a  b )( a  b ) a^2  ab  ab  b^2  a^2  b^2

ou

2 2

2

2

a b

ab b

a ab

a b

a b

( a  b )( a  b ) a^2  b^2 (6)

 Ilustração 1.

a)  a  5 x  2  a^2  2   a 5 x   5 x  2 

 a^2^  10 ax  25 x^2

b)         ^2   ^2 

2 2 22 5 x 3 y 5 x 25 x 3 y 3 y  25 x^4^  30 x^2 y  9 y^2

c)  x  y  x  y   x   y   x  y

2 2

d)  2 x  3 y  3  2 x  3  3  2 x  ^23 y   3  2 x  3 y  2  3 y  3 

 8 x^3^  36 x^2 y  54 xy^2  27 y^3

e)  x  2 y  3  x^3  3  x 2  2 y   3   x 2 y  2  2 y  3 

 x^3^  6 x^2 y  12 xy^2  8 y^3

1.6 Equações

1.6.1 Equação do 1º Grau com uma Incógnita

Toda equação do 1º grau com uma incógnita pode ser reduzida a forma

ax  b  (^0) (9)

em que a  0.

Sua solução é:

ax  b  0  ax  b 

a

b x  (10)

EXEMPLO 1.

Resolver as seguintes equações do 1º grau:

a) 3 x  1  7 x  3

b) 12

x

c) 4

y 

d) pz  q  0 (sendo p  0)

Solução:

a) 3 x  1  7 x  3 

x z

x x

b)   12

x

 

x x

x

x

c)    4

y

 

y y

y

y

y

d) pz  q  0 

p

q z

pz q

 

1.6.2 Equação do 2º Grau com uma Incógnita

A forma geral da equação do 2º grau com uma incógnita é:

ax^2  bx  c  (^0) (11)

c) x^2  4 x  13  0

Solução:

a)  

c

b

a x x

  b^2  4 ac  52  4  2  3   49

a

b x

x 

x 

b)  

c

b

a x x

  b^2  4 ac   4 ^2  4  4  1  0

  8

a

b x

raizdupla

2

2

1

x

x

c)  

c

b

a x x

  b^2  4 ac   42  4  1  13  16  52  36  0

e esta equação não admite raízes no campo real.