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TRANSFORMAÇÁO DE COORDENADAS: TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO COORDENADAS:
POLARES, ESFÉRICAS E CILÍNDRICAS
PROFA: MARA DE CARVALHO DE SOUSA
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
Um dos objetivos da Geometria Analítica é a determinação das propriedades de várias curvas e configurações geométricas, mas à medida que as estudamos, verificamos que as curvas e suas equações se tornam mais complicadas e mais difíceis de serem analisadas; em conseqüência, torna-se necessário, em várias ocasiões, estudar novos recursos a fim de facilitar o estudo destas curvas.Assim, é conveniente introduzir a noção de transformação de coordenadas, recurso que nos possibilita simplificar as equações de muitas curvas Uma transformação é uma operação por meio da qual uma relação, expressão ou figura é mudada de acordo com uma dada lei. Analiticamente a lei dada é expressa por uma ou mais equações denominadas equações de transformação. A solução é simples, basta exprimirmos os valores das coordenadas de um ponto genérico no sistema particular, em função das coordenadas do mesmo ponto no novo sistema.
TRANSLAÇÃO DE EIXOS COORDENADOS
Na translação de eixos coordenados mudamos a origem e conservamos as direções e os sentidos destes eixos. Sejam XOY o sistema particular e X'O'Y' o novo sistema. O novo sistema X'O'Y', percebemos facilmente, que é definido, em relação ao primeiro, pelas coordenadas h e k da origem O' e pela condição O'X' e O'Y' serem, respectivamente, paralelos e do mesmo sentido que OX e OY. Y Y' P(x.y) ou P(x',y') y F 0 4 3 y' x' O'(h ,k) X'
k O h x X
então A fórmula de mudança do sistema XOY para X'O' Y' é:
A fórmula de mudança do sistema X'O'Y' para o XOY é: EXEMPLOS:
- Transforme a equação 7xy–14x–21y–13=0 em outra equação sem os termos do 1 o^ grau, usando a translação de eixos coordenados. x= x' + h e y = y' + k F 0 D E^ 7(x' + h)(y' + k) – 14( x' + h) – 21(y' +k) – 13=0^ F 0 D E7x'y' + 7kx' + 7hy' + 7hk –14x'– 14h –21y'– 21k =0 F 0 D E7x'y'+(7k –14)x' + ( 7h -21)y'+ 7hk –14h –21k – 13 = 0F 0 D E F 0 D E O'(3,2) F 0 D E 7x'y' – 7.3.2 –14.3–21.2=0 F 0 D E 7x'y' – 55=0.
- Transforme a equação x 2 +y^2 –6x +2y0 0 1 E^ 6=0 em relação a um novo sistema de coordenadas, de eixos paralelos aos primeiros e origem conveniente para que na nova equação não figurem os termos em 1 o^ grau. 1 a^ maneira: quando não se conhece a equação geral da curva. x= x' +h e y= y'+ k , F 0 D E^ ( x' + h)^2 +( y'+ k)^2 – 6(x'+ h) + 2( yF 0 A 2+k) –6=0^ F 0 D E x '^2 + y'^2 +(2h –6)x' + (2k + 2)y' + h 2 + k 2 –6h +2k– 6=0F 0 D E F 0 D EO'( 3,–1) , substituindo na equaçãoF 0 D Ex' 2 + y'^2 = 16. 2 a^ maneira : quando se conhece a equação geral da curva, neste caso é um círculo, de equação geral é^ (x– h) 2 + (y–k)^2 = R^2 ( x 2 – 6x + 9) +( y^2 + 2y +1) = 6 +9 + 1^ F 0 D E^ ( x– 3)^2 + ( y +1)^2 = 16 , fazendo x+3 = x' e yF 0 2 D1=y' , temos O'(3,F 0 2 D1) e a equação se transforma em x'^2 + y'^2 = 16.
ROTAÇÃO DE EIXOS COORDENADOS
Na rotação, mudamos a direção dos eixos sem mudarmos a origem. Seja o sistema XOY, através de uma rotação dos eixos de um ânguloF 0 7 1, mantendo a mesma origem, obtém - se um novo sistema X ‘O Y^ ’^.
Y Y' P(x, y) ou P(x',y') y X' F 0 7 1 y'
D C
x'
F 0 7 1 O A B X x
A principal aplicação de mudança dos eixos coordenados é a simplificação das equações, pela escolha conveniente dos novos eixos. A fim de mostrar a possibilidade dessa simplificação, demonstraremos o seguinte teorema: Teorema: É sempre possível eliminar o termo xy da equação do segundo grau com duas variáveis: Ax 2 + B y^2 + C xy + D x + E y + F = 0^ (1)
Mediante uma rotação dos eixos coordenados. Com efeito, as fórmulas de rotação dos eixos são: , sendoF 0 7 1o ângulo de rotação. Substituindo em (1) e ordenando desenvolvendo e reduzindo a termos semelhantes temos: (AcosF 0 7 1^2 +BsenF 0 7 1cosF 0 7 1+CsenF 0 7 1^2 )x^2 + [Bcos2F 0 7 1F 0 2 D(AF 0 2 DC)senF 0 7 1^2 ]xy + (AsenF 0 7 1^2 F 0 2 DBsenF 0 7 1cosF 0 7 1+CcosF 0 7 1^2 )y^2 +(DcosF 0 7 1 +EsenF 0 7 1)x+(EcosF 0 7 1F 0 2 DDsenF 0 7 1)y^ +F=0. Para ser eliminado o termo xy, devemos ter: Bcos2F 0 7 1F 0 2 D(AF 0 2 DC)senF 0 7 1^2 = Donde
Como o valor deF 0 7 1é real, quaisquer que sejam os valores de A,B e C,conclui-se que é sempre possível eliminar o termo xy da equação (1), como queríamos demonstrar. Observação: pela rotação dos eixos coordenados o termo F da equação não se altera.
EXEMPLO Elimine, usando rotação de eixos , o termo xy da equação x 2 +4xy+y 2 = Sabe-se que : A =1 , B =1 e C =4F 0 D Etg 2F 0 7 1= F 0 D E 2 F 0 7 1=90^0 F 0 D EF 0 7 1= 45^0 F 0 D E F 0 D E Substituindo na equaçãoF 0 D E +4+= x’ 2 - x’y’ +y’ 2 + 2x’ 2 – 2y’^2 +x’^2 + x’y’ + y’ 2 = 4 F 0 D E 3x’^2 – y’^2 = 4
TRANSFORMAÇÃO GERAL : TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO
É quando os eixos coordenados são submetidos a uma translação e uma rotação , tomados em qualquer ordem. As coordenadas de qualquer ponto P, referido aos conjuntos de eixos original e final são (x,y) e (x",y"), respectivamente, então, as equações de transformações das antigas para as novas coordenadas finais são dadas por.
ondeF 0 7 1é o ângulo de rotação e (h,k) são as coordenadas da nova origem referida aos eixos coordenados originais. Obs.: 1) Pode-se efetuar , indiferente da ordem. a translação e a rotação, separadamente.
- O grau de uma equação não é modificado por transformação de coordenadas. Exemplo: Por meio de uma translação e rotação dos eixos coordenados reduzir a equação 5x 2 + 6xy + 5y^2 –4x + 4y –4= 0 Para eliminar os termos em 1 o^ grau , façamos:^ x=x'+h e y = y'+k 5(x'+h)^2 +6(x'+h)(y'+k) +5(y'+k)^2 – 4(x'+h) +4(y'+k) – 4 = 0 Desenvolvendo e agrupando convenientemente os termos, temos: 5x'^2 +6x'y'+5y'^2 +(10h +6k –4)x' + (10k +6h+4)y'+ 5h^2 +6hk +5k^2 + 4h + 4k – 4= 0^ F 0 D E resolvendo o sistema: 10h +6k –4 =0 F 0 D Eh=1 e k= –1 , logo O'( 1,–1), substituindo na equação acima, 10k +6h+4 = temos: 5x' 2 + 6x'y'+5y'^2 = 8
Para determinarF 0 7 1utilizaremos a expressão: = F 0 D E 2 F 0 7 1= 90 0 F 0 D EF 0 7 1= 45^0 F 0 D E
F 0 D Em substituindo na equação, obtida após a translação F 0 D E 5+6+5=8 F 0 D E 4x" 2 + y" 2 = 4
elipse , de eixo maior vertical e vértice na nova origem.
Y Y' Y" X"
X
O'(1,-1)F 0 B AC
X"
COORDENADAS POLARES
Seja o ponto P referido a um sistema cartesiano XOY e ao sistema polar, de modo que o pólo esteja coincidente com a origem dos eixos cartesianos e o eixo polar coincida com o semi - eixo positivo das abscissas (OX). No sistema cartesiano o ponto P tem coordenadas x e y e no sistema polarF 0 7 1 e r Das relações métricas do triângulo retângulo sabe-se que: Y
P(x,y) ou P(F 0 7 2F 0 7 1, )
F 0 7 2
F 0 7 1 O X ou e
, , , , ; F 0 7 2^2 =x 2 + y^2 F 0 D E
Distância entre dois pontos
Sejam os pontos A(F 0 7 2 1 F 0 7 1, 1 ) e B(F 0 7 2 2 ,y 2 ) referidos a um sistema polar ( figura abaixo)
B d F 0 7 2 2 A F 0 7 1 2 – F 0 7 1 1 F 0 7 2 1 F 0 7 1 2 F 0 7 1 1 O e Para determinarmos a distância d do ponto a ao ponto B, apliquemos a Lei dos co-senos ao triângulo OAB.
Equações Polares da Reta
Seja r uma reta que não passa pelo pólo cuja equação geral é Ax +By + C = 0
E passando para coordenadas polares, obtemos:
AF 0 7 2cosF 0 7 1+ BF 0 7 2senF 0 7 1+ C = 0 ou (A cosF 0 7 1+ B semF 0 7 1F 0 7 2) + C = 0 que é a equação geral da reta em coordenadas polares.
Equação polar do círculo
Seja ao círculo de centro C(F 0 7 2 0 F 0 7 1 , 0 ) e de raio R, e P(F 0 7 2,F 0 7 1) um ponto qualquer do círculo. O triângulo OPC nos dá: F 0 7 2^2 +F 0 7 2 02 F 0 2 D 2 F 0 7 2F 0 7 2 0 cos (F 0 7 1F 0 2 DF 0 7 1 0 ) = R^2 que é a equação polar do círculo Casos Particulares
- Se o centro do círculo está no eixo polar, à direita do pólo, e o círculo passa pelo pólo, temos: F 0 7 2 0 = R e F 0 7 1 0 = 0 então F 0 7 2= 2R cosF 0 7 1 Se o centro do círculo estiver à esquerda do pólo, temos: F 0 7 1=F 0 7 0 então F 0 7 2=F 0 2 D2P cosF 0 7 1
- Se o centro do círculo está no eixo OY, acima do pólo e o círculo passa pelo pólo, F 0 7 2 0 =R e F 0 7 1 0 = então F 0 7 2=2RsenF 0 7 1 Se o centro do círculo estiver abaixo do pólo, temos: F 0 7 1= então F 0 7 2=F 0 2 D2R senF 0 7 1
- Se o centro está no poçoF 0 7 2 0 =0 e a equação do círculo é simplesmente F 0 7 2=F 0 2 2R Observe-se que qualquer das duas equaçõesF 0 7 2=R eF 0 7 2=F 0 2 DR representa a mesmo círculo. As equações que representam o mesmo lugar o mesmo lugar geométrico denominam-se equivalentes e ocorrem em virtude de convenção de sinal das coordenadas polares, constituindo, pois, uma peculiaridade das equações em coordenadas polares.
EXEMPLOS
1)Transformar as seguintes equações cartesianas em equações polares: a) x-3y=
F 0 7 2cosF 0 7 1- 3F 0 7 2senF 0 7 1=0 F 0 D E cosF 0 7 1=3senF 0 7 1F 0 D E F 0 D E tgF 0 7 1= F 0 D E F 0 7 1=arctg
b) x^4 +x 2 y 2 - (x+y) 2 = 0
F 0 7 2^4 cosF 0 7 1^4 +F 0 7 2^2 cosF 0 7 1^2 F 0 7 2^2 senF 0 7 1 2 - (F 0 7 2cosF 0 7 1+F 0 7 2senF 0 7 1) 2 =0F 0 D E
F 0 7 2^4 cos^4 +F 0 7 2^4 cos0 0 1 F^2 F 0 7 1senF 0 7 1 2 -(F 0 7 2^2 cosF 0 7 1^2 +F 0 7 2^2 senF 0 7 1 2 +2F 0 7 2cosF 0 7 1F 0 7 2senF 0 7 1) 2 =0F 0 D E
F 0 7 2^4 cosF 0 7 1^4 +F 0 7 2^4 cosF 0 7 1^2 ’enF 0 7 1^2 -[F 0 7 2^2 (cosF 0 7 1 2 +senF 0 7 1^2 )+2F 0 7 2^2 cosF 0 7 1senF 0 7 1]=0 F 0 D E
F 0 7 2^4 cosF 0 7 1^4 +F 0 7 2^4 cosF 0 7 1^2 senF 0 7 1^2 - F 0 7 2^2 – 2F 0 7 2^2 cosF 0 7 1senF 0 7 1= 0 F 0 B 8(F 0 7 2^2 )F 0 D EF 0 7 2^2 cosF 0 7 1^4 +F 0 7 2^2 cosF 0 7 1^2 senF 0 7 1^2 - 1 – 2cosF 0 7 1senF 0 7 1= 0 F 0 D E
F 0 7 2^2 cosF 0 7 1^2 (cosF 0 7 1 2 +senF 0 7 1^2 )=1+ 2cosF 0 7 1senF 0 7 1F 0 D EF 0 7 2^2 cosF 0 7 1^2 =1+ 2cosF 0 7 1senF 0 7 1F 0 D EF 0 D E
F 0 D EF 0 7 2^2 =secF 0 7 1 2 +2tgF 0 7 1 F 0 D EF 0 7 2^2 =1+tgF 0 7 1^2 +2tgF 0 7 1 F 0 D EF 0 7 2^2 =(1+tgF 0 7 1) 2 F 0 D E F 0 7 2=1+tgF 0 7 1 c) 9x 2 –72x+25y 2 –81=0 F 0 D E 9 F 0 7 2 2 cosF 0 7 1^2 + 25F 0 7 2^2 senF 0 7 1 2 –72F 0 7 2cosF 0 7 1–81=0 F 0 D E 9 F 0 7 2 2 cosF 0 7 1^2 +16F 0 7 2 2 cosF 0 7 1^2 –16F 0 7 2 2 cosF 0 7 1^2 +25F 0 7 2^2 senF 0 7 1 2 –72F 0 7 2cosF 0 7 1–81=0F 0 D E
Do triângulo OQPF 0 D Ez =F 0 7 2cosF 0 6 7 e OQ =F 0 7 2senF 0 6 7 ( 1) Do triângulo retângulo OAQF 0 D Ex = OQ cosF 0 6 Ae y = OQ senF 0 6 Acomparando com ( 1) , resulta
x =F 0 7 2cosF 0 6 A^ senF 0 6 7,^ y =F 0 7 2senF 0 6 AsenF 0 6 7^ e^ z =F 0 7 2cosF 0 6 7
OBS.:1)Nos exercícios de coordenadas esféricas procede-se da mesma maneira que nos de coordenadas polares.
- Diferentes autores utilizam diferentes nomenclaturas para as coordenadas do ponto.
COORDENADAS CILÍNDRICAS
Seja a um ponto P(x,y,z) qualquer ponto sobre a superfície cilíndrica circular reta de raio r cujo eixo é o eixo OZ .A equação de uma superfície cilíndrica é x 2 + y^2 = r^2 (1). Na figura abaixo está representada uma porção da superfície no primeiro octante. Pelo ponto P e pelo eixo OZ passamos um plano que intercepta a superfície numa geratriz que fura o plano XY no ponto P ’^ Seja F 0 B DOP’F 0 B D=r e sejaF 0 7 1o ângulo entre OP’ e o eixo OX positivo. Temos então a relações:
Z
z P(x,y,z)
O y Y
x F 0 7 1^ r
P’
X
x = rcosF 0 7 1^ ,^ y = rsenF 0 7 1^ ,^ z =z^ ( 2 )
a partir das quais, evidentemente é possível localizar qualquer ponto sobre a superfície cilíndrica (1) quando são dados os valores de r,F 0 7 1e z. Por está razão essas quantidades são denominadas coordenadas cilíndricas do ponto P e são escritas (r,F 0 7 1,z). Mais geralmente, se um ponto fixo (a origem O),uma reta fixa ( o eixo OX) e um dado plano ( o plano XY) são tomados como elementos de referência, então, juntamente com as coordenadas cilíndricas (r,F 0 7 1,z),é possível localizar qualquer ponto no espaço; temos assim o sistema de coordenadas cilíndricas. O ânguloF 0 7 1pode ser medido como na trigonometria com o eixo OX positivo como lado origem. A fim de que as coordenadas cilíndrica (r,F 0 7 1,z) representem inequivocamente um ponto no espaço restringiremos os valores de r eF 0 7 1aos intervalos P( r,F 0 7 1,z) , onde^ rF 0 B 3^0 ,^0 F 0 A 3F 0 7 1F 0 A 3^2 F 0 7 0^ e z Eliminando-seF 0 7 1e z a partir das relações (2) obtemos a equação (1). Logo as equações (2) são as equações paramétricas da superfície cilíndrica circular reta (1), sendo as variáveisF 0 7 1e r os parâmetros. As relações (2) podem ser usadas como equações de transformação entre os sistemas de coordenadas retangulares e cilíndricas. A partir da primeira destas relações obtemos, como no sistema de coordenadas polares, as relações:
que também, podem ser usadas como equações de transformação entre os dois sistemas. OBS.: Obviamente o sistema de coordenadas cilíndricas é uma extensão para o espaço do sistema de coordenadas polares.
BIBLIOGRAFIA
1) GEOMETRIA ANALÍTICA, CHARLES H. LEHMANN, EDITORA GLOBO.
2) GEOMETRIA ANALÍTICA, ZÓZIMO MENNA GONÇALVES, LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS.
3) GEOMETRIA ANALÍTICA, SMITH GALE-NEELY, AO LIVRO TÉCNICO.
4) GEOMETRIA ANALÍTICA, COLEÇÃO SCHAUM, JOSEPH H. KINDLE, AO LIVRO TÉCNICO.
5) VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA, ARMANDO RIGHETTO, IBLC.
6) GEOMETRIA ANALÍTICA (UM TRATAMENTO VETORIAL), PAULOE BOULOS E IVAN CAMARGO E
OLIVEIRA, MAKRON BOOKS EDITORA.
