Eletromagnetismo
volume I
∇.D=ρ
∇×E =0
∇×H =J
∇.B=0
Prof. Evandro C. Gondim
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Apostila Eletromagnetismo, Trabalhos de Automação
Teoria b?sica da an?lise vetorial; campos eletrost?ticos; trabalho, potencia, energia; cargas eletricas em movimento em campos eletrost?ticos;...
Tipologia: Trabalhos
Antes de 2010
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Eletromagnetismo
volume I
∇. D =ρ
∇× E =
∇× H = J
∇. B =
Prof. Evandro C. Gondim
Mudanças de coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o cilíndrico e vice-versa:
Cartesiana/cilíndricas Cilíndricas/cartesianas
r = x^2 + y^2 x^ = r cos(^ φ)
φ = arctg (^) ( y x ) y = rsen ( φ)
z = z z = z
1.3.3 – Sistema de coordenadas esféricas:
produto vetorial que define este sistema a r× a θ =a φ logo um ponto neste sistema P (r; θ ; φ )
- Por definição r é sempre positivo e não existe um valor − r como existe um valor − x, entretanto poderá haver uma direção negativa de r, ou seja, −r ar.
- O sentido de contagem de ø é contrário ao ponteiro dos relógios a partir do eixo x variando de 0 a 360°.
- O sentido de contagem de θ é no sentido do ponteiro dos relógios a partir do eixo z variando de 0 a 180° apenas, para evitar que um ponto possa ser definido por dois conjuntos de coordenadas diferentes.
- Para memorizar : o angulo que não e comum aos dois sistemas no caso θ é que fica limitado a apenas 180°.
Mudanças de coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o esférico e vice-versa:
Cartesiana/esféricas Esféricas /cartesianas
r = x^2 + y^2 + z^2 x^ = rsen (^ θ^ )^ cos(^ φ)
( ) θ = arccos z x^2^ + y^2 + z^2 y = rsen (^) ( θ (^) ) sen ( φ)
φ = arctg (^) ( y x ) z = r cos( θ)
1.4 - Campos vetoriais
Temos um campo vetorial quando os módulos das componentes dos vetores nas três direções não são expressas por escalares e sim por funções que assumem valores diferentes para cada ponto no espaço. Em eletromagnetismo temos inúmeros campos vetoriais tais como, por exemplo, um campo elétrico qualquer que poderíamos exprimir por:
r
y
P(r ; (^) θ ; (^) φ )
z
x
θ
φ
E =x^3 ax +(x^2 +z 4 ) a (^) y + y^7 az este mesmo campo poderia variar com o tempo E =[x^3 ax +(x^2 +z 4 ) ay + y^7 az ]senwt
1.5 - Operações básicas com vetores que são muito usadas em Eletromagnetismo.
Muitas leis são formuladas com o uso do produto escalar e do produto vetorial. O produto vetorial em particular evita que se use a antiga regra da mão direita com os três dedos da mão em leis que podem ser expressas por este produto.
Para achar o sentido desta operação usa-se a regra do parafuso de rosca destrógira ou da mão direita:
Além dos produtos escalar e do produto vetorial que são iguais nos três sistemas é muito comum na resolução de problemas nos depararmos com as seguintes operações:
1.5.1 - Dados dois pontos encontrar a distância entre os mesmos e o vetor correspondente.
Só pode ser usado para coordenadas cartesianas não valendo para outros sistemas. Em outros sistemas temos que converter os pontos para coordenadas cartesianas.
Distância entre dois pontos A(x 1 ,y 1 ,z 1 ) e B(x 2 ,y 2 ,z 2 ): d= √ (x 1 −x 2 ) 2 +(y 1 −y 2 ) 2 +(z 1 −z 2 ) 2
Vetor apontando do ponto A(x 1 ,y 1 ,z 1 ) para o ponto B(x 2 ,y 2 ,z 2 )
R = (x 2 −x 1 ) ax +(y 2 −y 1 ) ay +(z 2 −z 1 ) az final origem
1.5.2 - Unitário aN normal a uma reta e apontando da reta para o ponto e menor distância R.
Dado uma reta caracterizada por: todo x=x 2 e todo y=y 2 (reta paralela ao eixo z) e o ponto P(x 1 ,y 1 ,z 1 )
R= ( x (^) 1 − x (^) 2 ) 2 + ( y (^) 1 − y 2 )^2 ; a R =
x x y y x x y y
1 2 1 2 y 1 2
2 1 2
2
a (^) x a
1.5.3 - Componente de um vetor B em uma direção especificada.
O produto escalar resolve este tipo de problema
x
z
y (^2) y x (^2)
a R R
P(x 1 ;y 1 ;z 1 )
A
B
B × A
= ⎢^ ⎥
x y z x y z x y z
a a a A × B A A A B B B
UNIDADES DIFERENCIAIS DE VOLUME E ÁREA
SISTEMA DE
COORDENADAS
VOLUME ÁREA (VER FIGURAS)
CARTESIANO dv=dxdydz ds=dxdy ; ds=dydz ; ds=dzdx
CILÍNDRICO dv=rdrd φ dz ds=rdrd φ ; ds=rd φ dz ; ds=drdz
ESFÉRICO (^) dv=r 2 sen θ drd φ d θ ds=r 2 sen θ d θ d φ ; ds=rd θ dr ; ds=rsen θ drd φ
Observando-se esta tabela vê-se que os volumes são o produto dos módulos das componentes do vetor deslocamento dL e as áreas são a combinação dois a dois destas mesmas componentes.
1.8 - Vetor área ds= ds aN
onde : ds é o modulo do vetor que pode ser encontrado pelo produto das componentes do vetor deslocamento dL que estão perpendiculares à direção aN que é um vetor unitário normal a área e com sentido determinado em cada lei formulada podendo ser no sentido de uma corrente ou para fora de um volume. EXEMPLOS: Em coordenadas esféricas com aN = a φ e (ver tabela) dL =dr a r + rdθ a θ + r senθdφ a φ , o vetor área é: ds = rdrdθ a φ já com aN = a r vem que ds = r 2 senθdθdφ a r.
1.9 - Vetores genéricos
Podem ser definidos como vetores apontando da origem (dQ no campo elétrico e I dL no campo magnético) de um campo para sobre uma reta, área ou volume para um determinado ponto no espaço. Pode ser determinado por uma observação direta ou utilizar o vetor referenciado (ver item 1.5.4):
r
R = r – r' r'
origem
y
x
z
Plano
z=z (^2)
R
r'
r
EXEMPLOS:
A - Em coordenadas cartesianas vetor apontando de qualquer ponto P 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ), onde tem-se a origem do campo, sobre uma reta no eixo z para um ponto P 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 )
Diretamente com x 1 , y 1 , z 1 > 0 R 12 =x 2 ax + y 2 ay −(z −z 2 ) az
Pode – se calcular também desta forma:
R 12 = r – r' r = (x 2 − 0) ax + (y 2 − 0 ) ay r' = (z 1 − z 2 ) az
R 12 = r – r' = x 2 ax + y 2 ay − (z 1 − z 2 ) az
Para qualquer ponto do eixo z: R 12 = x 2 ax + y 2 ay −(z −z 2 ) az que é o mesmo resultado.
B - Em coordenadas cartesianas um vetor apontando de um plano z = z 1 em torno do eixo z para um ponto deste eixo P(0; 0; z 2 )
Diretamente com z 2 > z 1 para ponto em qualquer quadrante:
R 12 = − x ax − y ay + (z 2 −z 1 ) az
Com z 2 < z 1 a componente no eixo z tem sentido − az porque (z 2 −z 1 ) < 0
Pode – se calcular também desta forma:
R 12 = r – r' r' = (x 1 − 0) ax + (y 1 − 0) ay r = (z 2 − z 1 ) az
R 12 = r – r' = (z 2 − z 1 ) az − x 1 ax + y 1 ay
R 12 = − x 2 ax − y 2 ay + (z 2 −z 1 ) az que é o mesmo resultado.
C - Em coordenadas cilíndricas o vetor apontando de um anel ou superfície cilíndrica centrada no eixo z no plano z = z 1 para um ponto P (0; 0; z 2 ):
Diretamente R 12 = − r a r+ (z 2 − z 1 ) a z onde para um anel de
largura infinitesimal o valor de r é definido e para uma superfície ou um anel com largura finita a coordenada r é uma variável entre dois limites ou
y
x
z
Plano
z=z (^2)
R
z
x
y
Origem do^ R^12 campo P 1
P 2
r
r'
z
x
y
R (^12)
Origem do campo P 1 R' 12
P 2
dL
x
y
z
P
R
r ds
r'
1.12 – Operações aplicadas sobre campos vetoriais e funções escalares
As derivadas parciais de cada módulo de um vetor utilizadas nas expressões para obtenção da divergência, gradiente e rotacional de campos vetoriais tal com E =x^3 ax +(x^2 +z 4 ) ay + y^7 az e também derivadas parciais de funções escalares são todas em relação a comprimentos em uma dada direção****. Ou seja, procuram computar a variação da função que exprime um componente de um campo vetorial em uma dada direção, ou de uma função escalar no caso do gradiente, para um pequeno deslocamento em uma dada direção.
1.12.1 – Divergência de um campo vetorial
Duas das Equações de Maxwell são formuladas com esta operação vetorial.
A divergência é uma operação sobre um vetor que resulta em um escalar. Esta escalar simplesmente indica a variação da grandeza dentro do volume sem indicar direção ou sentido de saídas ou entrada da mesma no volume. A sua aplicação em um campo vetorial qualquer é ilustrada a seguir por dois exemplos práticos:
Como a água não pode ser comprimida em todo os pontos dentro do cano a velocidade das partículas é a mesma e toda a água que entra sai do cano. Não existe divergência.
Ao ser destampada uma das extremidades as moléculas do ar terão velocidades diferentes em cada ponto dentro do cano e sai mais partículas de ar do cano do que entram. Existe divergência.
A analise destes dois casos nos mostra que:
- No primeiro caso as fontes e sumidouros do campo que provocavam o deslocamento das partículas (bomba de água e torneira) estão fora do volume. O campo não sofreu variação de intensidade no mesmo sentido dele.
- No segundo caso as fontes do campo que provocavam o deslocamento das partículas (pressão) estavam dentro do volume. O campo sofreu variação de intensidade no mesmo sentido dele.
Portanto:
♦ Quando houver fontes ou sumidouros dentro do volume existe divergência. Neste caso o valor da grandeza que entra é diferente da que sai do volume. ♦ Uma divergência: positiva indica que sai mais do que entra dentro do volume (denuncia a existência de fontes do campo dentro do volume) negativa indica que entra mais do que sai de dentro do volume (denuncia a existência de sumidouros do campo dentro do volume).
v v v v
Volume dentro de um cano em que passa água com representação da velocidade de suas partículas por vetores.
O volume é um cano com ar sobre pressão e tapado inicialmente com representação da velocidade de suas partículas, após ser destapado, por vetores.
v
v v
v
Em qualquer livro sobre análise vetorial temos que a divergência de um vetor pode ser expressa por:
div
d v
D S
D. s
→
∫ lim Δ v (^0) Δ
Usando-se o operador Nabla:
. (^) x y z. ( (^) x y z) x y z x y z
x y z x y z
D D D
D D D
∂ ∂ ∂ ∂^ ∂ ∂
D a a a a a a
logo div D = ∇. D
Em coordenadas cartesianas ∇. D =
D
x
D
y
D
z
x (^) + y^ + z
Em coordenadas cilíndricas: ∇. D = z
D D
r
r
(rD) r
(^1) r z
Em coordenadas esféricas: ∇. D =
r
r D r r
D D
2
2
∂ r
( ) θ φ sen
( sen ) sen
r
Nesta últimas expressões pode se ver que são computadas as derivadas lineares (por isto os denominadores são os deslocamentos infinitesimais em cada sistema de coordenadas) e somadas as variações do campo nas três direções. Ou seja caso existam origens ou sumidouros do campo em qualquer
direção em torno de um ponto dentro de um volume resulta em ∇ .D ≠ 0.
1.12.1.1 - Campo "solenoidal" → ∇. F = 0
Todo campo cuja divergência é nula é um campo solenoidal!
Um campo solenoidal não tem fontes nem sumidouro neste caso, sua intensidade não varia entre o ponto de entrada e saida de um volume.
Exemplos de campos solenoidais:
I. Campo magnético. As linhas de forças se fecham sobre si mesmas e não tem nem fonte nem sumidouros, tudo que entra em um volume sai igualmente, sem acréscimos, deste volume, portanto a sua divergência é nula ∇ .H = 0. II. A corrente elétrica contínua dentro de um fio. As cargas circulam o fio em um percurso fechado e todas que entram saem de um volume logo dentro deste volume ∇. J = 0.
Já o campo elétrico E tem fontes (cargas positivas) e sumidouros (cargas negativas) logo um volume pode englobá-las e assim sua divergência ∇ .E ≠ 0 em um volume englobando estas fontes.
1.12.2 – Gradiente de uma função escalar
- Divergência : operação sobre um vetor resultando em um escalar.
- Gradiente : operação sobre uma função escalar resultando em um vetor.
Em coordenadas cilíndricas: ∇V=
V
r
a r+
r
∂V
a ø +
V
z
a z
Em coordenadas esféricas: ∇V=
V
r
a r+
r
∂V
a θ +
r
V
sen θ
a ø
Os denominadores tem a forma do vetor deslocamento dL em cada sistema desde que o gradiente envolve deslocamentos e computo da variação da função em cada direção dos módulos do vetor resultante da operação gradiente.
Analisando tem-se: ∇ + +
P d = (^) ⎟
P
x
P
y
P
x y (^) z z
. L a a a
. (dx ax +dy ay +dz az )
∇P d. L =
P
x
dx
P
y
dy
P
z
- dz
a igualdade da direita é a derivada total da função que exprime o campo escalar e portanto é a variação da função P para um movimento em uma distância d L logo:
P
x
dx
P
y
dy
P
z
- dz=dP ∴ ∇ P .d L = dP =|∇ P ||d L |cosφ
♦ φ = 90° ⇒ dP = 0 logo para deslocamentos em qualquer distância não existe variação e só pode ter se dado sobre uma curva de nível ou superfície equipotencial.
♦ φ = 0° temos o valor máximo de dP e Gradiente P esta na mesma direção de d L. Portanto a direção do gradiente é a direção de maior valor de variação da função e portanto Gradiente P é normal a uma superfície equipotencial ou no nosso exemplo uma curva de nível do terreno.
Portanto o gradiente tem a direção e módulo da maior taxa de variação positiva de um campo escalar em um ponto. O seu módulo é diretamente proporcional a esta variação e um caminho perpendicular ao sentido do vetor gradiente é uma superfície equipotencial.
Estes mesmos raciocínios valem também para coordenadas cilíndricas e esféricas.
1.12.3 – Rotacional de um campo vetorial
- Rotacional : operação sobre um vetor resultando em um vetor.
- Divergência : operação sobre um vetor resultando em um escalar.
- Gradiente : operação sobre uma função escalar resultando em um vetor.
d L
9 "O módulo do vetor proveniente do rotacional de um campo vetorial é proporcional à taxa de mudança da intensidade deste campo em uma direção perpendicular à direção do campo"
9 A direção do rotacional é perpendicular ao plano que contem o campo vetorial sendo ele um campo solenoidal****.
Se uma roda com pás colocadas dentro de um campo vetorial tiver rotação existe rotacional e o seu sentido é aquele indicado pela regra do parafuso de rosca destrógira. No exemplo haverá um rotacional entrando na pagina na parte superior e saindo da mesma na parte inferior. Quanto maior for a taxa de variação do campo na direção perpendicular a do campo mais rápido gira o medidor de rotacional e maior será o módulo do vetor rotacional do campo.
Expressões matemáticas para o rotacional.
Em qualquer livro sobre operações com vetores encontramos: Sistema cartesiano:
| a x a y a z | rotH= | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z| logo A =∇× H | H (^) x Hy Hz |
Rotacional em coordenadas cartesianas A =∇× H = (^) ⎟⎟ ⎠
z
H
y
H (^) z y
ax + (^) ⎟ ⎠
x
H
z
H (^) x z
ay + (^) ⎟⎟ ⎠
y
H
x
H (^) y x
az
Nesta última expressão pode se ver que para computar cada um dos módulos do vetor rotacional em uma direção são executadas derivadas lineares nas outras duas direções definindo assim as variações em direções perpendiculares. Isto esta de acordo com o conceito físico da operação rotacional.
Em outros sistemas de coordenadas sem definir nabla nestes sistemas temos:
Em coordenadas cilíndricas:
∇× H = ⎟⎟
z
H H
r
Z
ar + (^) ⎟ ⎠
r
H
z
H (^) r z
aø + (^) ⎟⎟ ⎠
∂ φ Hr
r r
rH r
az
Em coordenadas esféricas:
OPERADOR NABLA
Um campo que tem rotacional
Rotacional (é um campo solenoidal , portanto com divergência nula) no plano ⊥ ao plano da folha
MEDIDOR DE ROTACIONAL
MEDIDOR DE ROTACIONAL
1- Campo solenoidal e sem rotacional (“lamelar"):
∇. F = 0 e ∇ × F = 0
Exemplo: Campo elétrico estático em uma região sem cargas ou corrente elétrica em um condutor com corrente contínua.
2 - Campo solenoidal, porém com rotacional:
∇. F = 0 ∇ × F ≠ 0
Exemplo: Campo magnético devido a um condutor conduzindo corrente.
3 - Campo sem rotacional, porém não solenoidal:
∇. F ≠ 0 e ∇ × F = 0
Exemplo: Campo elétrico (ou densidade de fluxo elétrico) estático em uma região com cargas.
4 - Campo com rotacional, porém não solenoidal:
∇. F ≠ (^0) e ∇ × F ≠ 0
Exemplo: Campo elétrico em um meio com cargas com um campo magnético variável no tempo.
CAPITULO 2
CAMPOS ELETROSTÁTICOS − LEI DE COULOMB E LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA
DESTES CAMPOS
2.1 - Lei de Coulomb
A primeira lei da eletrostática é a Lei de Coulomb que usou uma balança de torção para colocar em bases matemática o fenômeno já conhecido da atração e repulsão de cargas.
"A força entre duas cargas pontuais separadas pelo vácuo ou espaço livre, à uma distância grande comparada com seus tamanhos, é diretamente proporcional à cada carga e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas".
F
kQ Q R
1 2 = 2
onde: F medida em Newtons é uma força mútua de igual módulo que age ao longo da linha que une as duas cargas sendo:
- atrativa quando as cargas tem sinais diferentes e
- e repulsiva para cargas de sinais iguais, Q 1 e Q 2 podem ser positivas ou negativas e são medidas em Coulomb, R é a distância entre as cargas em metros, e k é a constante de proporcionalidade com valor no vácuo de:
k
logo F
Q Q
4 R
1 2 0
ε 0 é a permissividade no vácuo com valor: ε 0 =8,854×10 −^12 F/m ou ε 0 ≈ (1/36 π )×10 −^9 F/m
Usando-se vetores e vetores posição para generalizar para quaisquer sistemas de coordenadas temos:
F
R
2 1 2 a 0
12
Q Q
2
com a carga no centro do sistema de coordenadas esféricas vem | R 12 | = r e a 12 = a r : (^2 1 22) r 0
Q Q
4 πε r
F = a
caso isto não ocorra:
F F
r r
r r (^2) r r
1 2 2
2 1 2 1
Q Q
Usando-se vetores o sentido da força é dado pelos cálculos, por exemplo:
EXEMPLO: E2.1 Hayt Q 1 =2mC em P 1 (−3;7;−4) e Q 2 = −5mC em P 2 (2;4;−1) F 2 =? e F 1 =?
Q 1 Q (^2) a (^12) F 2
Q (^2)
Q (^1)
r 1 F 2 r 2
r 2 - r 1 = R 12
Origem do sistema de coordenadas
F 1
R 12
A casca metálica esférica exterior que estava descarregada fica carregada com uma carga superficial
- ρ S (módulo igual a da esfera interior e de sinal contrário). Este fenômeno foi denominado por Faraday como "fluxo elétrico de deslocamento" ou "fluxo elétrico" sua notação é ψ ,sua unidade é o Coulomb. Como ele é função da carga Q na esfera interna temos a igualdade:
ψ = Q
2.3.2- Densidade de fluxo elétrico D
É a relação entre o fluxo elétrico e a área total S da superfície atravessada pelo mesmo:
D
S
Q
S
C/m^2
Na experiência de Faraday teríamos em coordenadas esféricas e com as esferas centradas na origem :
2 r
Q
Q
S π r
D = = a
Para uma esfera: E = a
Q
4 r
1 0
πε 2 r portanto^ D^ =^ ε^0 E
EXEMPLO:
E3.1 Hayt carga pontual em (0; 0; 0) com Q=15π nC. Qual o fluxo total em uma esfera de raio 5m e centro em (1; −1; 2). Como a esfera engloba a carga: ψ = Q =15π = 47,12 C
2.3.3 Expressão matemática da Lei de Gauss:
“O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é igual a carga envolvida pela mesma”
Q = (^) v∫ (^) S D .d s
onde: d s tem sentido para fora do volume que contém Q Q é a carga envolvida que pode ter qualquer configuração ou seja reta, planos etc...
Desta forma a aplicação da Lei de Gauss implica em calcular cargas envolvidas e desde que a incógnita que normalmente é o vetor D e este esta dentro de uma integral também implica na determinação de superfícies gaussianas.
2.3.4- Superfícies Gaussianas.
Q = (^) ∫ (^) S D. d s A expressão matemática da Lei de Gauss é uma equação diferencial de 1ª ordem em que a
incógnita D esta dentro do sinal de integração (quando estamos usando a Lei de Gauss geralmente deseja-se conhecer D ).
Uma equação deste tipo pode ser impossível de ser resolvida se a superfície de integração não for bem definida. A idéia é retirar D de dentro do sinal de integração ou anular a integral.
Assim: D e d s tem que ser em qualquer ponto da superfície escolhida:
⇒ D ⊥ d s anulando a integral ou ⇒ D ⁄⁄ d s resultando em um escalar. Neste caso D tem que ser constante para ser retirado da integral, restando uma integral de superfície fechada.
Não é possível o uso desta Lei para encontrar a densidade de fluxo de duas cargas pontuais porque neste caso não existe uma superfície Gaussiana.
Exemplo de aplicação da Lei de Gauss a uma carga pontual obtendo-se a superfície gaussiana:
Em coordenadas cilíndricas a superfície Gaussiana é uma esfera centrada na origem e a integração é sobre a superfície de uma esfera.
Q = (^) ∫ D. d s = (^) ∫ ∫D a (^) r. r 2 sen d d ar = r D^2 S 0 0 r
2 4
π π
θ θ φ π D = a r
Q
4 πr 2
(não precisa integrar volumes ou superfícies conhecidos)
2.4 - Carga em qualquer ponto do espaço e qualquer sistema de coordenadas :
' ' ( ) (^) ' 2 ' ' 3 0 0
Q Q
r
r r E r r r r r^ r r r
e tem-se também: ' ' ( ) (^) ' 2 ' ' 3
Q Q
r
r r D r r r r r^ r r r
2.5 - Princípio da superposição
O campo elétrico não e um fenômeno com saturação, ele é adicionado infinitamente em um ponto. Como conseqüência o campo elétrico e a densidade de fluxo de várias cargas é dado pela soma dos campos de cada uma das cargas que compõe o sistema. Usando-se o vetor posição:
m ' ( ) (^) ' 3 (^1 )
Q
n m m = πε m
E (^) r ∑ r r r r
m^ ' ( ) (^) ' 3 1
Q
n m
m = π m
D (^) r ∑ r r r r
2.6 - Campos de uma distribuição volumétrica contínua de cargas.
r-r 1 ’ E ( r )
Q (^1)
r 1 ’ r
r r r r
1 1
' '
Q (^2)
r-r 2 ’
r 2 ’
Origem do sistema de coordenadas
E ( r )
Q
r ’ r
r-r ’
Origem do sistema de coordenadas
r r r r
' '