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Estatística Aplicada e “Probabilidade para En, enheiros | Quarta Edição Douglas C. Montgomery Arizona Stete Universicy Gearge C. Runger Arizona State University “Tradução e Revisão Técnica Prol Ve lado, D. Sc. E seola de Química/UFR) partamento de Engenharia Quênica Bs [LTC ) jt=e U a me xiv Sumári CAPÍTULO 7 Distribuições Amostruis e Estimação Pontual de Parâmetros 140 71 72 = o Introdução 140 Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central 141 Conceitos Gerais de o Pontual 144 73.1 Estimadores Não-tendenciosos [dd Variância de um Estimador Pontual 145 Erro-padrão; Iteportanda uma Estimativa Pontual 145 7:34 Erro Quadiático Médio de um Estimador 146 Métodos de Estimação Pontual 147 Métodu dos Momentos [47 Método da Máxima Verossimilhança 148 mação Bayescana de Parâmetros 151 CAPÍTULO 8 Intervalos Estatísticos para uma 8-3 CAPÍTULO 9 Ea! Unica Amostra 157 9.1.6 Procedimento Geral para Introdução 157 Intervalo de Confiança para a Média de uma Distribuição Normal, Variância Conhecida 158 82.1 Desenvolvimento do Intervalo de Confiança e Suas Propriedades Básicas 155 scolha do Tamanho da Amostra 159 Limites Unilateriais de Confiança 160 Método Geral para Deduzir um Intervalo de Confiança 160 82.5 Intervalo de Confiança para p, Amostra Grande 160 Intervalo de Confiança para a Média de uma Distribuição Normal, Variância Desconhecida 162 83,1 Distribuição 163 83.2 Intervalo de Confiança é para 163 Intervalo de Confiança para à Variância e para 0 Desviu-padrão de uma População Normal 166 Intervalo de Confiança para a Proporção de uma População, Amostra Grande 168 Roteiro para a Construção de Intervalos de. Confiança 170 o Intervalos de Tolerância e de Previsão 170 87.1 Imervalo de Previsão para uma Observação Futura 170 87.2 Intervalo de Talerância para uma Distribui Normal 171 Testes de Hipóteses para uma Unica Amostra 177 Testes de Hipóteses 177 Estatísticas 177 tes de Hipóteses Estatís 178 e Bilaterais 181 P nos Testes de Hipóteses 182 Conexão entre Testes de Hipé Conhiunça 183 es para a Média de uma Distribuição Normal, ncia Conhecida 185 Testes de Hipóteses para a Média 185 Erro Tipo Il e Escolha do Tamanho da Amostra 187 Grandes 189 92% Teste para Amostra 23 ma Distribuição Normal 190 9.3] “Testes de Hipóleses para a Média 190 932 Valor para um Teste: 191 9.3.3 Erro lipo Hc Escolha do Tamanho da Amostra 192 9-4 Testes para a Variância e para a Desvio-padrão de uma Distribuição Normal 194 2-4, de Hipóteses p: Variância 194 9.4.2 alha do Tamanha da Amos: 9.5 tes para a Propoição de uma População 196 9.51 Testes para uma Proporção, Amosta Grande 197 9.5.2 Eiro Tipo Me Fscolha do Tamanho da Amostra 198 9-6 — Tabela com um Resumo dos Procedimentos de Inferência para uma Única Amostra 199 9-7 Testando a Adequação de um Ajuste 199 9-8 [estes par: la de Contingência 202 CAPÍTULO 10 Inferência Estatística para Duas Amostras 208 10-1 102 29 10-21 Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Conhecidas 209 10-22 Erro lipo Le Escolha de Tamanho da Amostra 210 10-23 Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias, Variâncias Conhecidas 21 10-3 Inferência na Diferença de Médias de Duas Distribuições Normais, Variâncias Desconhecidas 213 10-31 Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Desconhecidas 213 10-3.2 Esvo Tipo He Escolha do Tamanho da Amostra 216 10-3.3 Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias, Variâncias Desconhecidas 217 104 Teste t Eimparelhado 220 10-5 Inferência para as Variâncias de Duas Distribuições Normais 224 10-51 Distribuição E 224 5.2 Testes de Hipóteses pura a Razão de Duas Variâncias 225 10-5.3 Erro Tipo ll e Amostra 226 10:54. Intervalo de Confiança para à Razão de Duas Variâncias 226 ia para as Proporções de Duas Populações 227 10-61 Testes para a Diferença nas Proporções de uma População, Amostras Grandes 227 10-62 Esso Tipo Ie Escolha de Tamanho da Amostra 228 1963 Intervalo de Confiança para a Diferença de Proporções ds Populações 225 107 Tabela com um Resama e Roteiros dos Procedimentos cie Inferência para Duas Amostras 230 scolha do Tamanho da 10-6 CAPÍTULO 11 Regressão Linear Simples e Correlação 235 1-1 Modelos Empíricos 235 1-2 Regressão Linear Simples 2 [153 Propriedades dos Estimadores de Mínimos Quadrados 243 na Usa dos Testes 2 14.2 Abordagem de Análise de Variância para Testar ienificância da Regressão 244 1-5 Intervalos de Confiança 246 M-5.1 Intervalos de Confiança para à Inclinação e Interseção 246 11-6 Previsão de Novas Observações 248 1-7 Cálculo da Adequação do Modelo de Regres Ni Análise Residual 249 11:72 Coeficiente de Determinação (Rº) 251 W-B Correlação 252 1-9 Transformações 256 11-91 Regressão Logistica 258 e CAPÍTULO a Regressão Lineur Miiltipla 12-1 Madelo de Regressão Lincar Múhipla 265 1211 Introdução 265 12-12. Estimação de Mínimos Quadrados dos Parâmetros 267 12-13 Abordagem Matricial para à Regressão Linear Múltipla 264 WA Propriedades dos Estimadores de Mínimos Quadrados 271 Testes de Hipóteses para à Regressão Linear Múltipla 278 Teste para a Signifi ância da Regressão 278 Individuais de juntos de Coeficientes 279 Intervalos de Confiança para a Regressão Linear Múltipla 283 123.1 Intervalos de Contiança para os Coeficientes Tadividuais de Regre: Imervalos de Confia Resposta Média 283 são de Navas Observações 284 ção da Adequação do Modelo 286 Análise Residual 286 Observações Influentes 287 12-6 Aspectos da Modelagem por Regr 12-61 Modelos Polinomiais de Reg 12-52 12-63 Seleção de Variáveis e Construção de Modelos 2927 120.4 Multicolincaridade 297 CAPÍTULO 13 Planejamento e Análise de Experimentos com um Único Fator: A Análise de Vari 13-1 Planejando Experimente [32 Experimento Completar Único Fator 307 13-2.1 Exemplo: Resistência à Tensão 307 2 An Compara s em Seguida à ANOVA o do Mod Amostra Determinando o Tamanho de 13-3 Madelo com Efeit s Aleatórios 379 13-31 Fatores Fixos contra Aleatórios 219 ANOVA e Componentes de Variância 319 Linear Simples 243 Confiança para a Resposta Média 247 265 “ CAPÍTULO I6 Controle Esta Sumério xy 134 Planejamento com Blocos Completos Aleatorizados 321 13.4. Planejamento e Análise Estatística 321 13-42 Comparações Múltiplas 324 13-4.3 Análise Residual e Verificação do Modelo 325 CAPÍTULO 14 Planejamento de Experimentos com Vários Fatures 330 141 Introdução 330 4-2 Experimentos Fatoriais 332 143 Experimentos Fatoriais com Dois Fatores 334 142.1 Análise Estatística do Modelo de Ffeitas Fixos 335 14-32 Verificação da Adequação do Modelo 2 3 Uma Observação por Célula 338 14-4 Experimentos Fatoriais em Geral 340 14-5 Planejamentos Fatoriais 2º 342 14.5.1 Planejamento 22 343 14-52 Planejamento 2 para Fatores 6 14-53 Réplica Única da Planejamento 2! 350 14-54 Adição de Pontos Centrais à ura Planejamento 2º 352 14-6 Blocagem e Superposição no Planejamento 2º 356 14-7 Replicação Fracionária do Planejamento 2º 359 14211 Uma Meis-fração do Planejamento 2! 360 147.2 Frações Menores: O Fatorial Fracionário 2” 263 148 Métodos c Planejamentos de Superfície de Resposta 270 CAPÍTULO 15 Estatística Níão- pairamétrica 381 ção 38] 15-2 Teste dos Sinais 382 15-21 Descrição do Teste 332 Teste dos Sinais para Amostras Emparelhadas 283 Fira Tipo 1 pura o Teste dos Sinais 284 1 Comparação com o Testes 385 15-3 Teste de Wilcoxon do Posta Sinalizado 386 1531 te 386 “a Amostras Grandes 7 des Emparelhadas 3877 ção com o Testes 188 e Wilcaxon da Soma dos Postos 388 Descrição do Teste 385 Aproximação para Amestras Grandes 389 Comparação com o Teste? 389 15.5 Métodos Não-purumétricos na Análise de Variância 290 15-5.1 Teste de Kruskul-Walhis 39 “Transformação de Posto 39] de Segiiências 397 15-4 Qualidade 395 Melheria e Estatística da Qualidade 395 Controle Estatístico da Qualidade 396 Conirole Estatístico de Processo 306 Introdução aos Gráficos de Controle 396 16-41 Princípios Básicos 16-42 Projeso ide mm Grálico de 16-43 Subgrupos Racionais 40 16-44 Análise de Padrbes nos Gráficos de Controle 490 165 Ciráficos de Controle para Xe gous 4 g ntrole O Papel da Es tatística em Engenharia RESUMO DO CAPÍTULO 1-1 O MÉTODO DE ENGENHARIA E O PEN ESTATÍSTICO 1-2 COLETANDO DADOS EM ENGENHARIA 12.1 Princípios Básicos 1:22 listudo Retruspectivo AMENTO 1:23 Estudo de Observação 12.4 Experimentos Planejados 1-2.5 Observando Processos uo Longo do Tempo 1.3 MODELOS MECANICISTAS E EMPÍRICOS 1-4 PROBABILIDADE E MODTLOS DF PROBABILIDADE OBJETIVOS DE APRENDIZAGI M Depois de um suidadoso estudo deste capítulo, você deve ser capaz de 1. Identificar o papel que a estatística pode desempenhar no processo de resolução de problemas de engenharia à 3. Explicar a diferença entre estudos enumerativos e analíticos 4. Discutir os métodos diferentes que engenheiros usam para coletar dados 5. Identificar as vantagens que os experimentos planejados têm em comparag: 2. Discutir como a variabilidade afeta os dados coletados e usados para tomar decisões de engenharia 24 Quiros métodos de coleta de dados de engenharia 6. Explicar as diferenças ente modelos mecanicistas e modelos empíricos + Discutir como probabilidade e modelos de probabilidade são usados em engenharia e em ciência, 1-1 O MÉTODO DE ENGENHARIA E O PENSAMENTO ESTATÍSTICO Um engenheiro é alguém que resolve problemas de interesse da sociedade, pela aplicação eficiente de princípios científicos. Os engenheiros o realizam seja pelo refinamento de um produto ou processo já existente, seja pela elaboração do projeta de um novo produto ou processo que atenda às necessidades dos consumi- dores. O métado de engenharia ou científico é a abordagem para formular é resolver esses problemas. As etapas no método de engenharia são dadas a seguir: 1. Desenvolver unia descrição clara e concisa do problema. 2. Identificar, pelo menos tentar identificar, os fatores impor- tantes que afetam esse problema ou que possam desempe nhar um papel em sua solução. 3. Propor um modelo para n problema, usando conhecimen- to científico ou de engenharia do fenômeno sendo estuda do. Estabelecer qualguer limitação ou suposição do mo- delo. Conduzir experimentos apropriados e coletar dados para testar ou validar o modelo-tentativa ou conclusões feitas nas etapas 2 e 3. Refinar o modelo, com base nos dados observados. . Manipular o modelo de moda a ajudar o desenvolvimento da solução 7. Conduzir um experimento apropriado para confirmar que a solução proposta para o problema é efetiva e eficiente. 8. Tirar conclusões ou fazer recomendações baseadas na so- lação do problema, ol um ES As etapas no método de engenharia são mostradas na Fig. 1-1 Note que o método de engenharia caracteriza uma forte relação recíproca entre o problema, os fatores que podem influenciar sua solução, um modelo do fenômeno e à experiência para verificar a adequação do modelo e da solução proposta para 0 problema. As etapas 2-4 na Fig. 1-1 são envolvidas em um quadrado, indi- cando que vários ciclos ou iterações dessas etapas podem ser requeridos para obter à solução final. Consegiientemente, enge- oheiros têm de saber coma planejar, eficientemente, os experi- mentos, coletar dados, anlisá-los « interpretá-los e entender como os dados abservados estão relacionados com o modelo que eles propuseram para o problema sob estudo. O campo de estatistica lida com à coleta, apresentaç: lise € uso dos dados para tomar decisões, resolver problemas e planejar produtos e processos. Devido a muitos aspectos da prá- tica de engenharia envolveremo trabalho com dados, obviamente algum conhecimento de estatística é importante para qualquer engenheiro. Especificamente, técnicas estatísticas podem ser uma uda poderosa no planejamento de novas produros e sistemas melhorando os projetos existentes e plancjando, desenvolvendo « melhorando os processos de produção. Métodos estatísticos são usados para nos ajndar a entender, variabilidade, Por variabilidade, queremos dizer que suce: observações de um sistema ou fenômeno não produzem exata- mente 0 mesmo resultado. Todos nós encontramos veriabilida- «de em nosso dia-a-dia c o pensamento estatístico pode nos dir uma maneira útil para incor essa variabilidade em nossos processos de tomada de decisão. Por exemplo, considere 0 + sempenho de consumo de gasolina de seu caro. cê sempre | a r NET Hg fatores Pt Dessmoha ma deecanção clara t nn Manípuis Coníme e o bo a 4 | timmocsto [1 | imocslo solução | “recomendações | ! É Sonetue: e 7 t ] | i 1 1 | Regize Dto I E 1 2 “3 r Figura 1-1 O método de engenharia consegu o mesma desempenho de consumo em cada tanque de A Fig, 1-2 apresenta um diagrama de pontos desses dados. combustível? Naturalmente não — na verdade, algumas vezeso O diagrama de pontos € um gráfico muito útil para exibir um desempenho varia consideravelmente, Essa variabilidade obser- vuda no consumo de gasolina depende de muitos fatores, tais cemo o tipo de estrada mais usada recentemente (cidade ou auto- estrada), as mudanças na condição do veículo ao longo do tem- po (que poderiam incluir fatores, como desgaste do pucu, com- pressão do motor ou desgaste da váivula), a marca'e/ou número de octanagem da gasolina usada, ou mesmo, possivelmente, as condições climáticas experimentadas recentemente. Esses fato- res representam tentes potenciais de bilidade no sistema. A Estatística nos fornece uma estrutura para descrever essa va- riabilidado c para aprender sobre quais fontes potenciais de v bilidade são mais importantes ou quais têm 0 maior impacto no desempenho de consumo de gasolina contramos também variabilidade em problemas de enge- Por exemplo, suponha que um engenheiro esteja proje- tando um conector de náilon para ser usudo em uma aplicação automotiva. O engenheiro estabelece como especificação do pro jeto uma espessura de parede de 3/32 polegada, mas está, de al- gum modo, inseguro acerca do eteito dessa decisão na torça de remoção do conector. Se a força de remoção for muito baixa, 0 conector pode falhar se cle for instalado no motor. Oito unida- des do protótipo são produzidas é suas forças de remoção são medidas, resultando nos seguintes dados (cm libras-pé): 12,6: IZM IA; 13,6, 13,5; 12,6; 13,1, Como antecipamos, nem todos os protótipos têm a mesma força de remoção, Pelo fato de as Ieedidas da força de remoção exibirem variabilidade, consi- deramos à força de remoção como sendo uma variável aleató- ria. Uma mancira conveniente de pensar sobre uma variável ulc; tória, digamos X, que representa uma medida, é usar o modelo X=u+o a) em que p. é uma constante e & é uma perturbação aleatória. A anstante permanece a mesma em cada medida, porém peque- idanças no ambiente, no equipamento de teste, diferenças nas próprias peças individuais, ele. podem mudar o valor de & Se não houvesse perturbações, e seria sempre igual a zero e X seria igual à constante p.. No entanto, isso nunca acontece no mundo real, de modo que as medidas reais de X exibem variabi- lidade. I'regienemente necessitamos descrever, quantificar « finalmente reduzir à variabilidade. aria- na 2 13 14 1 Força de retração Vigur 2-2 Diagrama de pontos dos dados da força de remação, quando a espessura da parede for 5/37. polegada. pequeno conjunto de dados, isto é, cerca de 20 observações. Esse sráfico nos permitirá ver facilmente duas características dos da- dos: a localização, ou 0 meio, c a dispersão ou variabilidade Quanda o número de observações é pequeno, geralmente é difi- «il idemtilicar qualquer padrão específico na variabilidade, em bora o diagrama de pontos seja uma maneira conveniente de ver qualquer característica incomum nos dados A necessidade dc um pensamento estatístico apa:ece frequen- temente na solução de problemas de engenharia, Considere o engenheiro projetando o conector, A partir de testes em protóti- po, ele sabe que uma estimativa razoável da força incdia de re moção seria 13,0 Ibf. Entretanto, ele pensa que esse valor pude ser muito baixo para à aplicação pretendida; assim, ele decide considerar um projeto alternativo com una espessura maior de parede, 1/8 polegatia. Oito protótipos desse projéto sio constru- fdos e as medidas observadas da força de remoção são: 12,9; 13,7; 12,8; 13,9: 14,2, 13,2, 13,3 13,1, A média é 13.4. Resultados para ambas as amostras são plotados como diagramas de pontos na Fig, 1-3 Dsse gráfico fornece a impressão de que 0 aumento da espessura da parede levou a um aumento da força de remo- são. No entanto, há algumas questões óbvias a perguntar. Por exemplo, come sabemos que uma outra amostra de protátip: não dará resultados diferemes? A amostra de oito protótipos adequada para fornecer resultados confiáveis? Se usamos os resultados obtidos dos testes até agora para concluir que aumen- tando a espessura da parede aumenta a resistência, quais os ri cos que estão associados com essa decisão? Por exemplo, será possível que o aumento aparente da força de remoção observa da nos protótipos mais espessos seja apenas devido à variabili- dade aparente no sistema e que o aumento da espessura da parte fe seu custo) realmente não afete à força «ic remoção? Hregilentemente, leis físicas (tais como « lei de Ohm e a lei de gás ideal) são aplicadas para «judar no projeto de produtos e processos. Estamvs familiarizados com esse raciocínio a partir de leis gerais para casos específicos. Poréro, também é impor- tante raciocinar à partir de um conjunte específico de medidas para casos mais gerais de modo a responder às questões prévias. Esse raciocínio é de uma amestra (tal como os oito conectores) para uma população (tal como os conectores que serão vendi- dos aas consumidores). O raciocínio é referido como inferência É polegasa, 3 ia 15 É polegada Força de cemeção Figura 1.3 Di pontos da força de remegã para duas espessu- ras e parede 4 Capítulo] experimento planejado; ou seja, uma mudança deliberada toi feita na espessura da parede do conector, como objetivo de descobrir se ama lorça de remação maior poderia ser ou não obtida. Fixpe- rimentos planejados com princípios bás tais como aleatorização, são necessários para estabelecer as relações de causa e efeito. Muito do trabalho que conhecemos nas ciências de engenha- ria e de físico-química é desenvolvido por meio de testes ou ex perimentos. Fregiientemente, engenheiros rrabalham em áreas de problemas em que nenhuma teoria científica qu de engenharia é direta ou completamente aplicável im, experimentos e obser- vação dos dados resultantes constituem a única maneixa de re solver o problema, Mesmo quando há uma boa teoria científica básica em que possamos confiar pasa explicar às fenômenos de interesse, quase sempre É necessário conduzir testes ou experi- mentos para confirmar que a teoria, na verdade, funciona na si tuação ou ambiente no qual está sendo aplicada. O peusamen- to estatístico é us métodos estatísticos desempenham um papel no planejamento, na condução e na análise de dados provenien- tes de experimentos de engenharia. Experimentos planejados desempenham um papel muito importante no projeto e no desen- volvimento de engenharia = na melhoria dos processos de fabri cação Por excinplo, considere o problema envolvendo a escolha espessura da parede pava 0 conector de náilon. Essa é uma ilustra- ção simples de um experimento planejado. O engenheiro esco- lheu duas espessuras de parede para o conector e fez uma série de testes de medo « obter as medidas da força de remoção em cada espessura de parede, Nesse simples experimento compa- rativo, 0 engenheiro está interessado em determinar se existe qualquer diferença entre os projetos 3/32 e 1/8 de polegada. Uma abordagem que poderia ser usada na análise dos dados a partir desse experimento é comparar à força média de remoção para o projeto com 3/32 polegada com à força média de remoção para o projeto com L/8 de polegada usando testes estatísticas de hi- púteses. que são discutidos em detalhes nos Capítulos 9 c [0 Geralmente, uma hipótese é uma afirmação acerca de algum aspecta do sistema no qual estarmos interessados. Por exemplo, o engenheiro pode querer saber se a força niéxlia de remoção de um projeto de 3/32 polegada excede à carga máxima típica en- contrada nessa aplicação, digamos [2,75 IDP. Assim, estaramos interessados em testar à hipótese de que a resistência média es- cede 12,75 Ibf. Isso é chamado de um problenia de teste de hipóteses para uma única amostra, O Capítulo 9 apresenta técnicas para esse tipo de problema, Alternalivamente, o enge- nheiro pode estar interessado em testar à hipótese de que aumen- Tabela 1-1 O Experimento Plancjado (Planejamento Fatonial) para à Coluna de Deslil nina Teraferatira Taxa de “do, Redervedor do Condensado Refluxo I I " I 1 =] + 1 + + i -] + EL + «1 Hi 1 o! H 43 + a tando espessura da parece de 3/32 para 1/8 de pole em um aumento da força rnéclia de remoçã e um exemplo de problema de teste de hipóteses para duas amostras. Pro. blomas de tes:e de hipóteses para duas amostras serão discuti- dos no Capítulo 1 Experimentos planejados são uma abordagem muito podero- sa para estudar sistemas complexos, tal como uma coluna de destilação, Esse processo tem três fatores: as duas temperaturas ea taxa de refluxo. Queremos investigar o eleito desses três fa- tores na concentração de saída da acetona. Um bom planejamento de experimentos para esse problema tem de assegurar que pode 110s separar os efeitos de todos us três fatores sobre a concentra- ão de acetona. Os valores especifi dos três fatores usados nO experimento são chamados de níveis das fatores. Tipicamen- te, Nsamos um núnicro pequeno de níveis para cada fator, tais como dois ou três, Para o problema da coluna de destilação, su- ponha que usemos um nível “alto” e um nível “baixo” (denota- dos por + Lv —|, respeclivamente) para cada um dos fatores Dessa forma, usaríamos dois níveis para cada um dos três fato- res. Uma estratégia muito razoável de planejar um experimento usa cada combinação possível dos níveis dos fatores para for- amar tum experimento básico com oito cenários diferentes para o processo. Esse sipo de experimento é chamado de um experisnen- te futórial, À Tabela 1-1 apresenta esse plancjamento de expe rimentos A Fig. 1-5 ilustra que esse planejamento forma um cubo em termos desses níveis ultos c baixos. Com cada cesário das con- dições do processo, deixamos a coluna atingir o equilíbrio, tira- mos uma amostra da corrente «lo produto e determinamos à con- centração de acetona. Podemos então extrair inferências especí- ficas acerca do efeito desses fatores. Tal abordagem nos permite ada resulta ado estudar proativamente uma população on um processo Uma vantagem importante de experimentos fatoriais é que eles permitem detectar uma interação entre os fatores. Considere somente as duas temperatoras como fatores no experimento de destilação. Suponha quc a concentração de resposta seja pobre quando a E “atura do refervedor for baixa, independentemen te da temperatura do condensaito, Ou seja, a temperstura do con- densado não tem efeito quando a temperatura do refervecor é beixa. Untretanto, quando « temperamea do refervedor for di uma atta temperatura do condensado gerará uma boa resposta, enquanto uma baixa temperatura do condensado gerará uma re: posta pobre. Isto é. a temperatura do condensado altera a resposta quando a temperatura do refervedor é aira. O efeito da tempera- tura do condensado depende do cenário da temperatura do relervedor, o que indicaria que esses dois fatores interapiriam nesse caso. Se as quano combinações de temperaturas atra e baixa da refervedor e do condensado não fossem (estadas, tal intera ção não seria detectada Pudeinos facilmente estender a estratégia (atorial para mais fatores. Suponha que à engenheiro queixa considerar um quarto ct, tstmpuetelura do eetesvedor ejamento fatorial para à coluna de destilação da osime Taxa ds refuvo Piura? destilação & Um experimento fatorial com quatro fatores para a e juna de fator, par exemplo, tipo de coluna de destilação, Existem dois tipos: o padrão e um novo projeto. À Vig. 1-6 ilustra como todos os quatro fatores, temperatura do refervedor, Lemperatura do condensado, taxa de selluxo e tipo de coluna, pederiam ser in- vestigados em um planejamento fatorial. Desde que todos 05 quatro fatores tenham ainda dois níveis, o planejamento de ex- perimentos pode ser representado geometricamente como um cubo (na verdade, um hipereubo). Observe que, como em qual- quer plancjamento fatorial, todas us combinações possíveis dos quatro fatores são testados. O experimento requer 16 testes. Geralmente, se há k fatores e cada um tem deis níveis, um planejamento fatorial de experimentos irá requerer 2º experimen- tos. Por exemplo, com k = 4, o planejamento 2º ra ig. 1-6 irá requerer 16 testes. Claramente, à medida que 0 número de fato- res aumenta, o número reguerido de testes no experimento fatorial aumenta rapidamente; po: exemplo, oito fatores, cada um com dois níveis, iria requerer 256 experimentos. Isso rapidamente se torna inviável, do ponto de vista de tempo É ouros recurs Felizmente, quando existem quatro, cinco om mais fatores, não é geralmente necessário (estar todas us combinações possíveis dos níveis dos fatores. Um experimenta fatorial Fracionária é uma variação do arranjo básico fatorial em que somente um subcon- junto das combinações dos fatores é realmente testado. A Fig. 7 mostra um planejamento fatorial fracionário para a versão de quatro fatores do experimento de destilação. As combinações de teste cireuladas são as únicas que necessitam ser experimentos e planejamento de experimentos requer somente 8 experimen- tos em vez dos 16 originais; consegiieniemente, seria chamado de uma meia-fração. Esse é um excelente planejamento de éx- perimentos para estudar todos os quatro fatores. Ele fornecerá boa informação sobre os efeitos individuais dos quatro fatores e alguma informação acerca de coma esses fatores interagem Experimentos fatoriais e fatoriais fracionários são usados extensivamente por engenheiros e cientistas em pesquisa e de- senvolvimento industri: nos quais novas tecnulo as, NOVOS Temperature dio aobesvodor ja para a coluna de destila- O Papel da Est ística em Engenharia 5 produtos & novos processos são planejados e desenvolvidos e produtos é processos existentes são melhorados. Uma vez que tanto do trabalho de engenharia envolve testes e experimenta- ção, é essencial gue todos os engenheiros entendam os princípios básicos de planejar experimentos eficientes e efetivos. Disenti- remos esses princípios no Capítulo 13. O Capítulo 14 se concentra nos fatoriais e fatoriais tracianários que intreduzimos aqui 1:2.5 Observando Proce: Ereglentemente, dados são coletados ao longo do tempo. Nesse caso, é geralmente muito útil plotar os dados versus tempo em um gráfica de série temporal. Fenômenos gue possam afetar o sistema ou processo se tomam fregiientemente mais visíveis em um gráfico orientado no tempo e o conceito de estabilidade pode ser mais bem julgado. A Fig. 1-8 é um diagrama de pontos das leituras da concen tração de acetona, tomadas de hora em hora da coluna de desti lação descrita na Seção 1-2.2. A grande variação mostrada no diagrama de pontos indica muita variabilidade na cor porém a gráfico Rão ajuda a explicar a ri gráfico de série temporal é mostrado na Fig. 1-9. Uma mudanç nu nível inédio do processo é visível no gráfico e uma estimari va do tempo da mudança pode ser obtida. W, Edwards Deming, um estatística industrial muito influen- te, reforçou que é importante conhecer a natureza da variabili- dade em processos e sistemas ao longo do tempo. Ele conduziu um experimento em que tentou soltar bolas de gude tão pr mas quanto possível de um alvo em uma mesa. Ele usou um fu- nil montado em um suporte anelado e soltou as bolas através desse funil. Veja a Fig. 1:10. O funil foi alinhado, o melhor possível, com o centro do alvo. Ele usou então duas estratégias diferentes para operar o processo: (1) Ele nunca moveu o funil. Ele apenas soltou uma bola após outra e registrou a distância em relação ao alvo; (2) ele soltou a primeira bola e registrou sua Jocalização relativa o alvo. Ele então moveu o funil de uma igual € oposta distância, na tentativa de compensar o erro. Ele continuou a fa zer esse tipo de ajuste depois de soitar cada bola. Depois que ambas as estratégias foram completadas, ele no tou que a variabilidade da distância para 6 alvo no caso da estre tégia 2 foi aproximadamente 2 vezes maior do que para a estra- tégia 1.0 ajuste do funil aumentou os desvios em relação ao alvo. A explicação é que o erra (o desvio da posição da bola de gude em relação aa alva) para uma hola de gude não fomece informa- ção a respeito da erro que oconerá para a próxima bola. Logo, os ajostes do fanil não diminmiram os erros fumos. Em vez dis. so, eles tendem a mover é funil para mais longe do alvo. Esse experimento interessante sinaliza que ajustes em um processo, baseados em perturbações aleatórias, podem na ver- dude cumentar a variação do processo. Isso trole excessivo (overcontrol) ou interferênei s ao Longo do Tempo é chamado de con- Ajustes devem ser aplicados somente para compessar uma mudança não-alea- tória no processo — então eles poder ajudar. Uma simulação 50 ding ama cle pontos ilustra variação, tas não idenbitica o problema 16 . O Musiança , Imédia do pr . “é detectada ad MA IM R, igova ELZA mmeança da média do processa é detectada na ob desvios em relação an alvo servação de ra. Deming chamou requer uma suposig: so de um estudo analítica. Claramente, i de um processo estável e Deming entar £ou que gráficos de controle foram necessários para justilic suposição, Veja [ãg. 1-14 como uma ilustração. Gráficos de controle são uma aplicação importante de está tística para monitorar, controlar e melhorar um processo. O ramo da estatística que faz uso de gráficos de controle é chamado de controle estatístico de processo ou CEP, Discutiremos CEP e gráficos de comrote no Capírulo 16 ar essa 100 Es e ração de ae: Corsan O ubsenvação (hora 13 Um gráfico (carta) d de um processa químico mtrole para os dados de concentra Tempo ita ana 4 Estudo enumerativo versa estudo anclítica Figura? Jo O Papel da Estatística em Engenharia 7 No AM Cada) FAR f Sem qjuste Com ajuste i ão número 57 e um ajuste (uma diminuição de duas unidades) reduz os 1-3 MODELOS MECANICISTAS E EMPIRICOS Modelos desempenham um importante papel ra análise de pra- ticamente todos os problemas de engenharia. Muito da educa- ção formal de engenheiros envolve 0 aprendizado de modelos relevames para técnicas e campos específicos de aplicação dos mesmos na formulação e solução de problemas. Como um sim- ples exemplo, suponha que estejamos medindo a corrente em um fio fino de cobre, Nosso modelo pura esse fenômeno pode ser a lei de Ohm Corrente = voltagemiresistência I=ER [UR Chamamos e: vipo de modelo de nm modelo mecanieis porque ele é construído a tir de nosso conhecimento do me- canismo física hásica, que relaciona essas variáveis. No entan- to, se fizermos esse processo de medição mais de uma vez, tal- vez em tempos diferentes, ou mesmo em dias diferentes, a cor- rente observada poderá diferir levemente por causa de pequenas mudanças ou variações em fatores que não estejam compleramen- te controlados, tais como mudanças na temperatura ambiente Nutuações no desempenho do medidor, pequenas impurezas presentes em diferentes localizações da fio e impulsos na volta gem. Logo, um modelo mais realista da corrente observada po- de ser I=ER+e a sendo e um termo adicionado ao modelo para considerar o fato de que os valores observados da corrente não seguem perfeita mente o modelo mecanicista, Pdermos pensar » como sendo um termo que inclui os efeitos de todas as fontes não modeladas de variabilidade que afetam esse sistema, Aleumas vezes, os engenheiros trabalham com problemas para os quais não há modelo mecanicista simples ou bem entendido, gue esplique o fenômeno, Por exemplo, suponha que estejamos interessados no peso molecular médio (4, de um polímero Agora, sabemos que 44, está relacionado à viscosidade (49 de rasterial e também depende da quantidade de catalisador (C) e 8 Capítulo da temperatura (T) no reator de polimerização quando o material fabricado. À relação entre M, e essas variáveis é M RV. C.1) (1-4) em que a forma du função fé desconhecida. Talvez, um modelo de trabalho pudesse ser desenvolvido a partir de uma expansão em série de Taylor, considerando apenas 0 termo de primeira ordem, produzindo assim um modelo da forma M=BrBV+BOrEBr sendo fi" us parâmetros desconhecidos. Agara, assim coma na lei de Ohm, esse modelo não descreverá exatamente 0 fenôme- no, de modo que «devemos cousiderar outras fontes de variabili- dade que possa afetar 0 peso molecular, Desse modo, a memos um outro termo ao modelo, resultando em: MB BV+BOLBT+ e us) (1-6) Esse é o modelo que usaremos para relacionar o peso molecular às outras três variáveis. Esse tipo de modelo é chamado de um modelo esuvírico. ou seja, ele usa à nossa engenharia e 0 conhe- cimento científico do tenômei porém não é diretamente de- senvolvido a partir de nosso conhecimento teórico ou de primei- ros princípios do mecanismo básico. Com 9 ubjetivo de ilustrar essas idéias comum exemplo es- a tabela contém veis, que foram coletados em um estudo de observação em uma indústria de semicondutores. Nessa planta, o semicondutor final é um fio colado a uma estrutura. As variã- veis reportadas são a resistência à tração (uma medida «a força requerida para romper a cola), o comprimento do fio e a altura pecífico, considere os dados na Tabela [-2, E; dados das Lrês var abela 1-2 Dados sobre Resistência de Tração do Fio Colado Número da Resistência à Comprimento “Altura do Observação — So Fio x Molde a; Los z 2 & no 3 H no 1 iu ss 5 8 295 6 4 ao 7 2 as E 2 s2 E) 9 100 tg E 300 n 17,08 a ais E 31,00 E “00 iz 4195 12 14 11,66 2 15 21.68 4 16 9 4 17 69.00 20 1R mo 1 19 to 20 15 2 Is 22 16 Resistência à ração 1z e Comprimento do fo 1 290 “vit 1-15 Gráfico tridimensional dos dados da resistência à tração do fio colado. do molde. Gostaríamos de encontrar vm modelo relacionando a tesistência à tração ao comprimento do fio e à altura do molde. Infelizmente, não há mecanismo físico que possamos facilmen- te aplicar aqui. Por conseguinte, não parece provável que uahor- dagem de medelo mecanicista possa ser usada com sucesso A Fig. 1-15 apresenta um gráfico tridimensional de todas as 25 vbservações da resistência à tação, comprimento do [io € altura do molde, Examinando esse gráfico, vemos que a resis- tência à tração aumenta quando o comprimento do fio e à altura do molde aumentam. Além disso, parece razoável pensar que um modelo tal como Resistência à tração = Py + f3i(comprimento do fia) + Bstaltara do molde) + & seria apropriado como um modelo empírico para essa relação. Eim geral, esse tipo de modelo empírico é chamado de modelo de regressão, Nos Capítulos 10 e 11, mostraremos como cons- truir esses mudelos e testar se eles são adequados como funções de aproximação. Usaremos um método para estimar os parâme- tros nos modelos de regressão, chamado de mínimos quadra- dos, que se originou do trabalho de Karl Gauss. Essencialmen- te, esse método escolhe us parâmetros no modelo empírico ([3's) para minimizar a soma dos quadrados das distâncias entre cada ponto dado e 9 plano representado pela equação do modelo. É aparente então que a aplicação dessa técnica aos dados da Tabe- la 1-2 resulta em Resistência à tração = 2,26 + 2,14 (comprimento do fio) FO,0I2S (altura do molde) (17) em que 0 “chapéu” ou circunflexo sobre a resistência à tração indica que essa é uma quantidade estimada ou prevista isura t-16 Gráf do mudelo empírico. de valores previstos da resistência à tração, a partir RESUMO DO CAPÍTULO 2-1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 21.1 Experimentos Aleatórios 'os Amostrais 2-1.4 Técnicas de Contagem INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIDADE 22.1 Introdução 2-2.2 Axiomas da Probabilidade 2-3 REGRAS DE ADIÇÃO 2-4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 25 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL 5.1 Regra 25.2 Regra à Probabilidade Total 6 INDEPENDÊNCIA 7 TEOREMA DE BAYES 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 2 5 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Depois de um cuidadoso estudo deste capítulo, você deve ser capaz de; 1. Hintender e descrever espaços forma de árvore 2 discretos 3. Usar permutação e combinaçã 4. Calcular as probabilidades de eventos conjuntos, 6. Determinar à independência de cvemios e usar a independên . Usar o teorema de Bas . Entender variáveis aleutórias a Ea 2. Interpretar probabilidades e usar probabilidades de resultados para calcular probabilidades de amostrais e eventos para experimentos aleatórios com gráficos. tabelas, listas ou diagramas em eventos em espaços amostrais s para contar o número de resultados tanto cm um evento como no espaço amostral tais como uniões é interseções das probabilidades de eventos individuais 5. Interpretar e calcular probabilidades condicionais de eventos a para calcular probabilidades es para calcular probabilidades condicionais 2-1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2-[.1 Experimentos Aleatórios Se medirinos a corrente em ur fio fino de cobre, estaremos con- duzindo um experimento. Emretanto, em repetições diárias da medida, os resultados poderão diferir levemente, por causa de pequenas variações em variáveis que não estejam controladas em nosse experimento, incluindo variações nas temperaturas ambi- entes, leves variações nos medidores e pequenas impurezas na composição química do fio, se diferentes localizações forem selecionadas e se a fonte da corrente oscilar. Consequentemen- te, esse experimento (assim como muitos que cunduzimos) é dito ter um componente aleatório. Em alguns casos, as variações aleatórias que experimentamos são suficientemente pequenas, relativas aos nossos objetivos experimentais, que podem ser ig- noradas, No entanto, não importa quão cuidadosamente nosso experimento lenha sido planejado e conduzido, 1 variação está quase sempre presente e sua magnitude pode ser suficientemen- te grande de tal sorte que as conclusões importantes de nosso experimento podem não ser óbvias. Nesses casos, os métodos apresentados neste livro para modelar e analisas resultados ex perimentais sio bem valiosos. Nosso abjetivo é comprezuder, quantificar e modelar o Lipo de variações que encontramos com frequência. Quando incorpo ramos a variação em nosso pensamento e análises, podemos fa- ger julgamentos baseados em nossos resultados que sejam vali- dados pela variação Modelos e análises que incluem variação não são diferentes das morielos usados em outras áreas de engenharia e ciências. A Figura 2-1 apresenta 05 componentes importantes, Um modelo tou abstração) matemático do sistema físico é desenvolvido. Ble não necessita ser uma abstração perfeita. Por exemplo, as leis de Newton não são descrições perfeitas de nosso universo físico, Além disso, eles são modelos úteis que podem ser estudados e analisados para quantificar v desempenho de uma larga faixa de commafass he, Mecidas fuáliso Fipmra 2-1 Interação contínua entre o modelo e «sistema físico. variéveis eutreladas Ai Sistainia Saioa Edtrada —»| Narâvais com ndo tun saídas. Vigura 2-7 Variáveis com ruído afetam 2 transformação de ertra produtos de engenharia. Dada uma abstração matemática que seja validada com meclidas de nosso sistema, podemos usar o mode Jo para entender, descrever e quantificar aproximadamente as- pectos importantes do sistema física e prever a resposta do siste- ma à alimentação de dados (inpuzs). Através de todo este texto, discutiremos modelos que permiti- rão variações nas saídas (outpwis) de um sistema, muito embora as variáveis que controlamos não estejam variando proposital- mente durante nosso estudo. A Figura 2-2 apresenta graficamente o modelo que incorpora uma alimentação incontrolada (mídia) que combina com uma alimentação controlada para produzir a aída de nusso sistema, Por causa da alimentação incontrolada, os mesmos cenários para a alimentação controlada não resultam suídas idênticas cada vez que o sistema é medido. Experimento Aleatório Um caperimento que pode fornecer diferentes resultados, mui- to embora seja repetido toda vez da mesma mantira, é cha- mado de um experimento aleatório. Pará 6 exemplo da medição de corrente em um fio de cobre, nosso modelo para o sistema de implesmente, ser a Jei de Ohm. Por causa das alimentações não-controláveis, são espera- das variações nas medidas das correntes. A lei de Ol pode ser uma aproximação adequada. Entretanto, se as variações lorem grandes, relativas ao uso intencionado do equipamento sob es- tudo, podemos necessitar estender nosso modelo para incluir a variação. Veja Figura? Como um outro exemplo, no projeto de um sistema de comu- nicação, tais como uma rede de computadores ou uma rede de telefonia, a capacidade de informação disponível para serviços individuais usando a rede é uma consideração importante de pro- jeto. Para a telefonia, linhas externas suficientes necessitam ser compradas de uma companhia telefônica, de modo a encontrar os requerimentos de um negócio. Supondo que cada linha possa suportar somente uma conversação simples, quantas linhas de- 3 "ente Fianra 2-3 Um exame detalhado do sistema idemifica dessas do modelo Probabilidade Chamada e a 4 À Durasõoca 4 | | chamacia [cara eo Tempo Es] tc 15 20 nação ua a nar mada Ee E % : Tempa o 5 10 15 20 Figura 2-4 Variação causa interrupções no sistema. vem ser compradas? Se poncas linhas forem compradas, chama- das podem ser atrasadas ou perdidas. A compra de excessivas linhas aumenta o custo. Cada vez mais, o desenvolvimento de projeto é de produto é requerido para encontrar as necessidades dos consumidores à sm custo competitivo. No projeto do sistema de telefonia, um modelo é necessário pura o número de chamadas e para à duração delas. Não é sufici- ente saber que, em média, chamadas ocorrem a cada cine nutos e que elas duram cinco minutos, Se chamadas che; Isanente a cada intervalo de cinco minutos e durassem exa- tamente cinco minutos, então uma linha telefônica seria sufici- ente, No entanto, à mais leve variação no número de chamadas ou na duração resultaria em algumas chamadas sendo bloquea- das por outras. Veja Figura 2-4, Um sistema projetado sem con- siderar variação será pesarosamente inadequado para uso práti- co. Nosso modelo para o niimero e a duração das chamadas ne- cessita incluir a variação como um componente integral. Uma análise de modelos incluindo a variação é importante para o pro- jeto do sistema de telefonia. 2-1.2 Espaços Amostrais Para modelar e analisar um experimento aleatório, temos de en- tender o conjunto de resultados possíveis de um experimento Nesta introdução à probabilidade, fazemos uso de neitos básicos de conjuntos é operações com conjuntos, Consilera-s que o leitor esteja familiarizado com esses tópicos Espaço Amostral O conjunto de todas os resultados possíveis de um experimen- to aleatório é chamado de espaço amostral do experimento. O espaço amostral é denotado por 5, Um espaço amostral é usualmente deúnido baseado nos objeti- vos da análise. EXEMPLO 2-1 Peça Plástica Molduda Considere um experimento em que você selecions uma peça plá moldada, tel como um conector, e mede sua espessura. Os valores pos- síveis da espessura dependem da resolnção do instrumento de med e também dos limites superior e infenor da espessa. Entretanto, pode ser conveniente definir o espaço amostral coma simplesmente à real positiva a so Re rn) porque ur valor negarivo para « espessura não pode Mensagom 2 em temps, di Mensagem 3——— Fá eme ftrsocih cre tempo fresas Í N EXEMPLO 2 Um fabricunte de automóveis provê veículos equipados selecionados, Cada veículo é ordenado: mais “om ope Com ou automá Com ou sem ar condicionado em transmissão Com uma das três escolhas ce um sistema estéreo Com uma das quatro cores exteriores Se 0 espaço amostral consistir no con unto de todos os tipos possí- veis de veiculos, qual será o número de resultados no espaço amostral? O espaço amostral contéim 48 vesultados. O diagrama em forma de dr- ore, para os diferentes tipos de veículos, é mostrado na Figura 2-4 MPLO 2.5 nfigurações do Autumúvel Considere uma extensão da ilustrag pla pré um es tanto, à do fabricante de veículos do exem- vio, em que uma outra opção de veículo é à cor interior. Há qua- olhas de cor interior: vermelha, preta, azul ou r amom. No en- Com um exterior vermelho, pode ser escolhido. Com um exterior branco, qualquer cor interior pode ser escolhida. Com um exterior azul, somente um pode ser escolhido Com um exterior mauvom, somente um intericr qm escol omente um interiar preta om vermelho terior preto, vermelho ou sizal tum pade ser As condicionado or Figtra 2-6 Diagrama e: / Probabilidade 13 Na Figura 2 -6, existem 12 tipas de veir “om cada cor exterior, porém o mimero de escolhas de cores interiores depende da cor exteri- ot. Como mostrado nã Figura 2-7, 0 diagrama em forma de árvore pode ser estendido para mostrar que há 120 tipos diferentes de veículos no espaço amostral. — 2-1.3 Fventos Fregilentemente estamos interessados, a partir de um experimento aleatório, em uma coleção de resultados relacionados. Resnlta- dos relacionados podem ser descritos por subconjuntos do espa go amostral e operações de conjunto podem ser aplicadas. Twento Um evento é um subconjunto do espaço amostral de nm ex- perimenio aleatório. Cor escerior Vermelha Branca deu Mamom Sor intesor pes / Nora AN / N lêxe-m Jaxa=As Jex5=4 Jixi=i 20 + 284364] 120 tipos do 7 Diagrinia em forma de úrvore para diferentes tipos de v cores interiures, cículos com 14 Capítulo? 'odemos tunbém estar interessados em descrever novos even tos à partir de combinações de eventos existentes, Pelo fato de eventos serem subconjuntos, podenios usar operações básicas de conjuntos, tais como uniões, interseções e complementos, para formar outros eventos de interesse. Algumas das operações bási- as de conjuntos são resumidas a seguir, em termos de eventos * A união de dois eventos é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos em cada um dos dois even- tos, Denotamos a união por E, U E, * A interseção de dois eventos é o evento que consiste em tados os resultados que estão contidos nos dois eventos. simultaneamente, Denotamos a interseção por E, 1 E, * O complemento de um evento em um espaço amostral é 9 conjunto dos resultados no espaço umostral que não es- tão no evento. Denotamos n complemento do evento E por "A notação &º é tambéim usada em outra literatura para denotar o complemento EXEMPLO 2.6 Considere o espaço amostral 5 = (ss, sn, 115, rm) no Exemplo 2-2. Su- paço a p ponha que 9 subconjunto de resultados para os quais, no mínimo, uu pega é contorme seja denotado como E. Então, = (8, ns) O evento em que ambas as peças cão não conformes, denolado como Es, contém somente é único resultado. E, — (nm). Outros exemplos de ssentos v £ = 10,0 conjunto nulo, c di, e espaço amostral. Se = (mens, mi), EUR NE (mn) tiny EXEMPLO 2.7 Medidas da espessura de um conector plástico devem ser modeladas com o espaço amostral S = Kº, 0 conjunto de números reais positivas. Seja E = (Wl0=x<1p e = pdllex< 5) Também, Plástico de Policarbometo Amostras do plástico de policarbonato são analisadas com velaçã resistência a arranhões e a choque, Os resultados de 30 amostras estão resumidos a seguir: à istência a choque alta baixa resistência u arranhões alta 40 4 baixa ! 5 Seja À 0 evente em que ame amostra tem alta resistência a choque e seja 8 0 evento em que a amostra tem alta resistência a arranhões. De- termine à número de amostras em 4 18,4 C AU B. Oevento AN B consiste em 40 amostras para as quais as resistências a arranhões e a choque são altas. O evento A” consiste nas O amostras em que asesistênciaa choque é baixa, O evento AU B consiste nas45 amostiasem arranhões ou ambas sãe altas. a choque, a resistência à que a sesistênc Diagramas são frequentemente usados para setratar relações enire conjuntos, sendo esses diagramas também usados para des- crever relações ente eventos. Podemos usar os diagramas de Vemn para representar um espaço amosual e eventos cm um es- paço amostral. Por exemplo, na Figura 2-8(a), o espaço amos- tral do experimento aleatório é representado como pontos no re- tângulo S. Os eventos À e B são os subconjuntas dos pontos nas regiões indicadas. As Figuras. 2-8(b) a 2-8(d) ilustram eventos conjuntos adicionais. A Figura 2-9 ilustra dois eventos com ne. nhum resultado em comum Eventos Mutuamente Exeludentes Dois eventos, denotados por E, c E, tal que ENE =Q, > Emão, EU NDSv
