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Curso Técnico
Apostila Estatística Aplicada
Prof. Nathália Duarte
Panorama Histórico
Todas as ciências tem suas raízes na história do Homem. A Estatística, ramo da matemática aplicada, teve origem semelhante. Desde a antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, faziam estimativas de riqueza individual e social, distribuíam equitativamente terras ao povos, cobravam impostos e realizavam inquéritos quantitativos dos processos que, hoje, chamaríamos de “estatísticas”. Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas. A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas e tabelas e os primeiros números relativos. No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo, ao poucos, feição verdadeiramente científica. Godofredo Achenwall batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística , determinando o seu objetivo e suas relações com a ciência. A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para utilização dos mesmos na tomada de decisões. A etimologia da palavra, do latim status (estado), usada, a principio, para designar a coleta e apresentação de dados quantitativos de interesse do Estado. A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva, enquanto a análise e interpretação desses dados ficam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial. Estatística, é a ciência que estuda as técnicas necessárias para coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar os dados, a fim de extrair informações a respeito de uma população. Utiliza-se teorias probabilísticas para explicar eventos, estudos e experimentos. Segundo Milone (2004, p. 3), a Estatística é o estudo dos modos de obtenção, coleta, organização, processamento e análise de informações relevantes que permitem quantificar, qualificar ou ordenar entes, coleções, fenômenos ou populações de modo tal que se possa concluir, deduzir ou predizer propriedades, eventos ou estados futuros.
Assim, utilizando a estatística de acidentes, podemos deduzir se as ações de segurança do trabalho estão sendo eficazes ou não.
O que são dados estatísticos? Os dados são quaisquer registros ou indícios relacionados a alguma entidade ou evento que servirão de análise e posterior conclusão relacionado ao acontecimento.
A Estatística e a Segurança do Trabalho
Os acidentes de trabalho ocorridos na empresa devem ser comunicados ao Instituto Nacional do Seguro Social (INSS) através da Comunicação de Acidentes de Trabalho (CAT). A emissão da CAT se destina ao controle estatístico e epidemiológico junto aos órgãos Federais e visa, principalmente, à garantia de assistência acidentária ao empregado junto ao INSS ou até mesmo de uma aposentadoria por invalidez. Por sua vez, o Ministério do Trabalho e do Emprego (MTE), através da FUNDACENTRO, recebe, trata e divulga as fichas de acidentes com o objetivo de avaliar e comparar a eficácia da prevenção de acidentes nos setores da economia dos municípios, estados e do país.
Os objetivos da Estatística de acidentes na Segurança do Trabalho são: a. Possibilitar avaliações sobre o desempenho do programa de Segurança do Trabalho da empresa, através de comparações de índices de acidentes ocorridos entre os seus diversos setores ou entre empresas de mesmo ramo de atividades na mesma ou em diferentes regiões do país ou no mundo. b. Propiciar o desenvolvimento de estudos referentes ao custo de acidentes – quanto custa um acidente de trabalho?
Financeiramente falando, vale à pena investir na prevenção de acidentes? c. Fornecer aos órgãos públicos e particulares dados concretos e atualizados da estatística acidentária – nesse caso os interessados teriam parâmetros para avaliar a necessidade ou não de intervenção nos programas de segurança desenvolvido pelas empresas. d. Desenvolver programas que visem à redução de acidentes do trabalho e assim permitir que a empresa pague prêmios menores no tocante ao seguro de acidente do trabalho.
Amostras e população Uma população pode ser um grupo distinto de pessoas ou seres vivos (homens, mulheres, pessoas destras, etc.) ou de objetos inanimados (carros, computadores, etc.). Uma amostra é simplesmente uma seleção de alguns elementos de uma determinada população.
Parâmetro e Estimador Parâmetro: é uma característica numérica estabelecida para toda uma população; Estimador: é uma característica numérica estabelecida para uma amostra.
Exemplo Fenômeno coletivo: Eleição para governador do Estado do Maranhão; População: conjunto de todos os eleitores do Estado. Parâmetro: proporção de votos de um certo candidato X. Amostra: grupo de 1.000 eleitores selecionados em todo estado. Estimador: proporção de votos do candidato X, obtida na amostra.
Variáveis
Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização
Descrevem os valores da variável, em determinado instante, discriminados segundo regiões. Exemplo:
Séries específicas ou categóricas
Descrevem os valores da variável, em determinado tempo e local, discriminados segundo especificações ou categorias. Exemplo:
Séries conjugadas (Tabela de Dupla entrada)
Muitas vezes temos a necessidade de apresentar, em uma única tabela, a variação de valores de mais de uma variável, isto é, fazer uma conjugação de duas ou mais séries. Conjugando duas séries em uma única tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em Tabe l a desse tipo ficam criadas duas ordem de classificação: uma horizontal (linha) e uma vertical (coluna).
Exemplo:
A conjugação, no exemplo dado, foi série geográfica-série histórica , que dá origem à série geográfico-histórica ou geográfico- temporal.
Distribuição de Frequência
Denominamos frequência o número de indivíduos que fica relacionado a um determinado valor de variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de distribuição de frequência:
Tabela com distribuição de frequência por ponto: A cada valor da variável associam-se as frequências.
Exemplo: Considere os valores seguintes representando a concentração de um metal no sangue (μg/ml) de 15 indivíduos, de uma cidade X num determinado ano.
Tabela rol a) Identifique a população: Resposta: Indivíduos de uma cidade X.
b) Identifique a amostra: Resposta: 15 Indivíduos de uma cidade X.
c) Identifique a variável: Resposta: concentração de um metal no sangue.
d) Construa uma tabela para estes dados: Resposta : Concentração de um metal no sangue (μg/ml) de 15indivíduos de uma cidade X
Concentração de Metal
Numero de indivíduos
Verificamos que esse processo é inconveniente se os valores da variável (n) é de tamanho razoável, já que exige muito espaço. Sendo possível, a solução mais aceitável, pela própria natureza da variável contínua, é o agrupamento dos valores em vários intervalos.
Deste modo, estaremos agrupando os valores da variável em intervalos que, em Estatística , preferimos chamar os intervalos de classes.
Fórmula: , onde :
Ʃ = somatório, = média = variável em estudo n = tamanho da amostra
Exemplo : Considere o número de amostras de água coletadas no período de 1 ano em 5 corpos d'água.
Determine: a) Qual é a média?
Resposta :
Média Ponderada : É usada para cálculos em que os valores dados têm pesos diferentes. É o método apropriado para distribuição de freqüência por ponto ou por intervalo.
Fórmula: , onde:
= média = variável em estudo = é a freqüência absoluta (repetições associadas a cada valor de x)
Fórmula auxiliar:
= , onde:
= limite inferior; = limite superior.
= variável em estudo
Exemplo: A tabela abaixo apresenta a distribuição do número de análises diárias realizadas por 79 funcionários de um determinado laboratório. Nº de Análises Nº de Funcionários % 5 3 3, 10 23 29, 15 43 54, 20 10 12, Total 79 100
Resposta: Nº de Análises Nº de Funcionários % 5 3 3,8 15 10 23 29,1 230 15 43 54,4 645 20 10 12,7 200 Total Ʃ 79 100 Ʃ 1090
a. calcule a média
Resposta: = Outra possibilidade é a utilização da Média Ponderada para dados agrupados em classes.
Exemplo: A tabela abaixo apresenta o tempo de duração (dias) para se realizar análises granulométricas de solos em 28 laboratórios credenciados em todo o Brasil.
Tempo (dias) Nº de análises % 4 |- 6 20 71, 6 |- 8 3 10, 8 |- 10 5 17, Total 28 100
Resposta:
Tempo (dias) Nº de análises % 4 |- 6 20 71,4 100 6 |- 8 3 10,7 21 8 |- 10 5 17,9 45 Total 28 100 166
a. calcule a média b. =
Mediana: É uma medida de posição; encontra-se exatamente no centro de um conjunto de dados. Notação: "md"
Para calcular, pode-se seguir a ordem abaixo: 1º) Ordenar o conjunto de dados em ordem crescente; 2º) Encontrar a posição da mediana: se "n" for par → P.md = n/ se "n" for impar → P.md = (n + 1) / 2
Exemplo: Considere o Carbono Orgânico Total (COT) em g/kg de 6 amostras de solos: 89 89 90 92 100 120. Calcule a mediana (md)
Resposta: n=6, logo P.md = n/2 = 6/2 = 3 Pega-se a 3ª e 4ª posições: md= (90+92)/2 = 91 g/kg
Moda: é o valor que ocorre com maior freqüência entre os dados. Moda e mediana para dados agrupados por classes (ou intervalo) .. Para o cálculo da Moda pode-se utilizar o Método de Czuber que é considerado o método mais preciso.
, onde:
= limite inferior da classe modal C = tamanho do intervalo de classe = freqüência absoluta da classe modal = freqüência absoluta anterior à classe modal = freqüência absoluta posterior à classe modal.
Frequência Acumulada (F)
É o intervalo das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe:
Exemplo: As análises de pH de 100 amostras de efluentes industriais de uma determinada empresa obteve os seguintes resultados.
PH Nº de amostras 2 |- 4 25 4 |- 6 35
Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana, ,por: Fórmula:
Notação: K = número de ordem do quartil
Assim: Fórmula:
Exemplo:
Estaturas (cm) 150 |- 154 4 4 154 |- 158 9 13 158 |- 162 11 24 162 |- 166 3 32 166 |- 170 5 37 170 |- 174 3 Ʃ = 40
Primeiro Quartil
=154 + 2, = 156,7 cm
Terceiro Quartil =162 + 3 = 165 cm
Medidas de Dispersão ou de Variabilidade
Amplitude Total
É a diferença entre o maior e o menor valor observado: AT = x(máx.) – x (mín.)
Exemplo:
Para os valores: 40 45 48 52 54 62 70 temos,:
AT = x(máx.) – x (mín.) AT = 70 - 40 AT = 30
Quando dizemos que a amplitude total dos valores é 30 , estamos afirmando alguma coisa do grau de sua concentração. É evidente que, quando maior a amplitude total, maior a dispersão ou variabilidade dos valores da variável.
Amplitude total para dados agrupados por classes (ou intervalo)
Neste caso, a amplitude total é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe, isto é:
Exemplo: Foram analisadas 30 amostras do rio Paranapanema, em diferentes pontos de coleta, para avaliar a concentração de um tipo de poluente. Os resultados foram agrupados em uma tabela de distribuição de frequências por classes, como a apresentada a seguir.
Concentração Número de amostras 10 |- 20 15 20 |- 30 10
a. Determine a amplitude:
Resposta:
At = 60 – 10 = 50
Variância
Como vimos, a amplitude total é instável, por se deixar influenciar pelos valores extremos, que são, na sua maioria, devidos ao acaso.
A variância e o desvio padrão são medidas que fogem a essa falha, pois levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados.
A variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, porém determinado a média aritmética dos quadrados dos desvios. Assim, representando a variância por S², temos:
Variância Absoluta
Notação: S²
Fórmula: , onde:
, onde:
= variável
= média
n = tamanho da amostra.
Exemplo: Os dados abaixo representam as concentrações de alumínio (mg/kg) de amostras de 4 solos.
400 350 450 300
a. Calcule a variância.
Resposta: :
Desvio-Padrão
Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista prático, é um inconveniente.
Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e interpretação práticas, denominada desvio padrão , definida com a raiz quadrada da variância e representada por S:
Notação: S
Fórmula: (raiz quadrada da variância)
Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior, calcule o desvio- padrão da amostra.
Resposta:
Portanto, a concentração média de alumínio é de 375 mg/kg com uma variação de 64,55.
É a relação percentual que o desvio-padrão tem sobre a média.
Fórmula: , onde:
%
s de avaliação de frequência e gravidade
O cálculo das taxas deve ser realizado por períodos mensais e
anuais, podendo-se usar outros períodos quando houver conveniência.Os
acidentes de trajeto devem ser tratados à parte, não sendo incluído no
cálculo usual das taxas de frequência e de gravidade.
Taxas de frequência
Taxa de frequência de acidentes
É o número de Acidentes por milhão de horas-homem de exposição ao
risco, em determinado período.
Deve ser expressa com aproximação de centésimos e calculada pela
seguinte expressão:
Em que: FA→ taxa de frequência de acidentes N → número de acidentes H→ horas-homem de exposição ao risco
Taxa de frequência de acidentados com lesão com afastamento
É o número de acidentados com lesão com afastamento por milhão de horas-homem de exposição ao risco, em determinado período.
Deve ser expressa com aproximação de centésimos e calculada pela seguinte expressão:
Em que: FL→ taxa de frequência de acidentados com lesão com afastamento N → número de acidentados com lesão com afastamento H→ horas-homem de exposição ao risco
Taxa de frequência de acidentados com lesão sem afastamento
É o número de acidentados com lesão sem afastamento por milhão de horas-homem de exposição ao risco, em determinado período. Deve-se fazer o levantamento do número de acidentados vítimas de lesão, sem afastamento, calculando a respectiva taxa de frequência. Apresenta a vantagem de alertar a empresa para acidentes que concorram para o aumento do número de acidentes com afastamento. O cálculo deve ser feito da mesma forma que para os acidentados vítimas de lesão com afastamento. Auxilia os serviços de prevenção, possibilitando a comparação existente entre acidentes com afastamento e sem afastamento.
FL(sem / afastamento) = FL→ taxa de frequência de acidentados com lesão sem afastamento N → número de acidentados com lesão sem afastamento
H → horas-homem de exposição ao risco
Taxa de Gravidade
F 0 E CÉ o tempo computado por milhão de horas-homem de exposição ao
risco, em determinado período.
Deve ser expressa em números inteiros e calculada pela seguinte expressão:
Em que: G → taxa de gravidade T → tempo computado H → horas-homem de exposição ao risco Calcule o que se pede:
Números médios para efeito de estatística de acidentes para cada trabalhador:
Quadro 01 – Números médios de dias trabalhados
Descrição Números médios Horas trabalhadas por dia 8 h / dia Dias trabalhados por mês (^25) dias / mês
Horas trabalhadas por mês (^200) h / mês (8×25)
Dias trabalhados por ano 300 dias / ano (25×12) Horas trabalhadas por ano (^) 2.000 h / ano
PROBABILIDADE
Objetivo de aprendizagem
Compreender o processo de análise de dados por meio de estudos estatísticos capazes de generalizar e obter conclusões sobre uma determinada população.
Probabilidade
Existe no nosso cotidiano uma série de situações de incerteza, das quais, embora não saibamos efetivamente o que vai ocorrer, pode-se listar os resultados possíveis e suas respectivas probabilidades. Costumamos chamar estas situações de incerteza de fenômenos aleatórios.
Experimento aleatório: É qualquer fenômeno aleatório que possa ser executado pelo homem.
Espaço amostral (U): É o conjunto de todos os possíveis resulta- dos de um experimento aleatório.
Evento (E): Resultados de nosso interesse.
Exemplo: Lançamento de uma dado com S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
- P(1) = = 0,17 = 17 % (probabilidade de sair o número 1)
- P(61) = = 0,17 = 17 % (probabilidade de sair o número 6)
Em um dia, a probabilidade de:
-não ocorrer acidente é:
P = = 0,
P = = 0,
Nº de acidentes Frequências 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 1, Esta tabela é denominada distribuição de probabilidade.
REFERENCIAS
e-Tec Brasil – Escola Técnica Aberta do Brasil. UFRN – Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola Técnica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Crespo, Antonio Arnot – Estatística Fácil – 17ed – São Paulo; Saraiva, 2002
