estatística, Notas de estudo de Estatística

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Estatística Aplicada à

Educação Matemática

Inder Jeet Taneja

Fernando Guerra

Florianópolis, 2007

Coordenação Pedagógica das Licenciaturas à Distância UFSC/CED/CFM Coordenação: Roseli Zen Cerny

Núcleo de Formação Coordenação: Nilza Godoy Gomes

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Material Responsável: Isabella Benfica Barbosa Design Gráfico e Editorial: Carlos A. Ramirez Righi, Diogo Henrique Ropelato, Mariana da Silva. Adaptação Design Gráfico: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior. Design Instrucional: Janice Pereira Lopes Revisão Ortográfica: Jane Maria Viana Cardoso Preparação de Gráficos: Pricila Cristina da Silva, Rafael Schmidt Alves Editoração Eletrônica: Pricila Cristina da Silva, Rafael Schmidt Alves

Núcleo de Pesquisa e Avaliação Coordenação: Claudia Regina Flores

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Ficha Catalográfica

T164e Taneja, Inder Jet Estatística Aplicada à Educação Matemática / Inder Jet Taneja, Fernando Guerra. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2007.

234 p. ISBN 9788599379158

1. Estastística. 2. Educação. I. Guerra, Fernando. II Título.

CDU 519.

Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/

Sumário

• 1 Noções Básicas da Estatística
  • 1.1 Origem da Estatística
  • 1.2 Conceitos
  • 1.3 População ou Universo
  • 1.4 Amostra
  • 1.5 A Estatística na Metodologia Científica
  • 1.6 Tipos de Pesquisas
  • 1.7 Dados Estatísticos.......................................................................
  • 1.8 Análise Crítica dos Dados.........................................................
  • 1.9 Análise Exploratória de Dados
  • 1.10 Classificação dos Dados
  • 1.11 Tipos de Variáveis
  • 1.12 Mensuração de uma Variável
  • 1.13 Instrumento de Coleta de Dados............................................
  • 1.14 Plano de Amostragem
  • 1.15 Amostra Aleatória Simples
• Distribuição de Freqüência 2 Organização de Dados, Gráficos e
  • 2.1 Variáveis
  • 2.2 Coleta dos Dados
  • 2.3 Gráficos
    • 2.3.1 Tipos de Gráficos................................................................
  • 2.4 Distribuição de Freqüências
  • 2.5 Histograma de Freqüências
• 3 Medidas de Tendência Central
  • 3.1 Introdução
  • 3.2 Média Aritmética
    • 3.2.1 Média Aritmética Simples
    • 3.2.2 Média Aritmética Ponderada
    • em classe (ponderada) ................................................................. 3.2.3 Média Aritmética para Dados Agrupados
  • 3.3 Outras Médias
    • 3 3 .1 Média geométrica
    • 3.3.2 Média Harmônica
    • 3.3.3 Média Quadrática
    • 3.3.4 Desigualdade entre Quatro Médias
  • 3.4 Mediana
    • 3.4.1 Mediana para Dados Isolados
    • 3.4.3 Mediana para Dados Agrupados
  • 3 5 Moda
    • Não Agrupados em Classe 3.5.1 Caso de Dados Isolados e/ou
    • Agrupados em Classes............................................................... 3.5.2 Cálculo da Moda para Dados
• Utilização das Planilhas 4 Medidas de Dispersão e
  • 4.1 Introdução ..................................................................................
  • 4.2 Amplitude
  • 4.3 Desvio Médio............................................................................
    • 4.3.1 Desvio Médio Absoluto – Dados Isolados
    • Agrupados em Classe ............................................................... 4.3.2 Dados Isolados Ponderados e
  • 4.4 Desvio Padrão ...........................................................................
  • 4.5 Variância ....................................................................................
  • 4.6 Coeficiente de Variação ............................................................
  • 4.7 A Estatística no Excel
    • 4.7.1 Conhecendo o Excel
• 5 Cálculo de Probabilidade
  • 5.1 Introdução
  • 5.2 Experimentos Aleatórios
  • 5.3 Espaço amostral e Noção de Probabilidade
  • 5.4 Variáveis Aleatórias
  • 5.5 Esperança Matemática ou Valor Esperado ............................
    • 5.5.1 Variância e Desvio Padrão ...............................................
  • 5.6 Distribuições Discretas............................................................
  • 5.6.2 Distribuição Binomial ............................................................
  • 5.7 Distribuições Contínuas ...........................................................
    • 5.7.1 Distribuição Normal .........................................................
  • Distribuição Binomial ................................................................... 5.8 Distribuição Normal como Aproximação da
• 6 Amostragem
  • 6.1 Introdução
    • 6.1.1 Tipos de amostragem ........................................................
    • levantamento estatístico 6.1.2 Principais fases de um
  • 6.2 Amostragem Causal Simples..................................................
  • 6.3 Distribuições Amostrais ..........................................................
    • Com e Sem Reposição 6.3.1 Distribuição Amostral da Média:
  • 6.4 Distribuição Amostral das Proporções
• 7 Estimação
  • 7.1 Introdução..................................................................................
  • 7.2 Estimativas Pontuais e Intervalares
  • 7.3 Intervalo de confiança..............................................................
  • 7.4 Estimação de Média de uma População
    • 7.4.1 Desvio Padrão Populacional Conhecido
    • 7.4.2 Erro de Estimação e Tamanho da Amostra ...................
  • 7.5 Desvio Padrão Populacional Desconhecido ..........................
    • Fator de Correção Finita ........................................................... 7.5.2 Amostragem de Pequenas Populações:
  • 7.6 Estimativa por Intervalo de Confiança para Proporções
    • Sites na Internet

Iniciaremos o capítulo 5 dando os conceitos de experimentos aleatórios, es- paço amostral, noção de probabilidade e de evento. Definiremos variáveis aleatórias discretas e contínuas, esperança matemática ou valor esperado, variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta. Abordare- mos as principais distribuições de probabilidade discreta: a distribuição de Bernoulli e a Binomial e também a principal distribuição de probabi- lidade contínua, que é a distribuição normal ou de Gauss Abordaremos a distribuição normal como aproximação da distribuição Binomial.

O capítulo 6 tratará dos tipos de amostragem e da distribuição amos- tral da média com e sem reposição. Estudaremos o Teorema do Limite Central e a distribuição amostral das proporções com e sem reposição.

Finalmente, no capítulo 7, estudaremos a Estimação de Parâmetros: pon- tual e intervalar e intervalo de confiança. Abordaremos a estimação da média de uma população e o desvio padrão populacional, erro de esti- mação e o tamanho da amostra. Apresentaremos a distribuição t de Stu- dent, a amostragem de pequenas populações: Fator de Correção Finita (FCF) e a estimativa por intervalo de confiança para proporções.

Os autores

1 Noções Básicas da Estatística

1 Noções Básicas da Estatística

Neste capítulo, o nosso objetivo será o de apresentar a origem e

alguns conceitos de Estatística, tais como população e amostra,

além de mostrar os tipos de pesquisas, os tipos de variáveis, a

análise exploratória de dados, como mensurar uma variável, a

coleta de dados estatísticos e a amostra aleatória simples.

1.1 Origem da Estatística

Desde a Antigüidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das ri- quezas individual e social, distribuíam eqüitativamente terras ao povo, cobravam impostos e até realizavam inquéritos quantitati- vos por processos que hoje chamaríamos de “estatísticas”.

Na Idade Média, colhiam-se informações com finalidades tribu- tárias e bélicas.

A partir do século XVI surgem as primeiras análises sistemáticas de fatos sociais, tais como batizados, casamentos, funerais, origi- nando as primeiras tábuas e tabelas.

No século XVIII, o estudo de tais fatos vai ganhando feição ver- dadeiramente científica. Godofredo Achenwall denomina a nova ciência de Estatística , determinando seu objetivo e suas relações com as ciências.

No Brasil, a Estatística surgiu na segunda metade do século XIX com um Decreto Imperial, em 14 de janeiro de 1871 quando foi criada a primeira Diretoria Geral de Estatística (DGE).

Em 1930, houve uma reforma que fundiu a DGE com a Direto- ria de Estatística Comercial e, com o advento da República, esta passou a se chamar Departamento Nacional de Estatística, cujos setores de atividades foram se desenvolvendo até 1934.

A palavra estatística surge da expressão em Latim statisticum collegium palestra sobre os assuntos do Estado, de onde surgiu a palavra em língua italiana statista, que significa “homem de estado”, ou político, e a palavra alemã Statistik, designando a análise de dados sobre o Estado. A palavra adquiriu um significado de coleta e classificação de dados, no início do século 19. Fonte: http://pt.wikipedia. org/wiki/Estatistica

Pelo Decreto de 6 de julho de 1934, foi criado o Instituto Nacional de Estatística, órgão que veio centralizar todas as atividades estatísticas do país e responsável pela publicação do Anuário Estatístico do Brasil.

Para unificar os serviços de estatística oficial, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) foi criado pelo Decreto Lei de 16 de janeiro de 1938. O IBGE é uma entidade de natureza federativa, su- bordinada diretamente à Presidência da República, e tem por objetivo promover, fazer executar ou orientar tecnicamente o regime naciona- lizado, o levantamento sistemático de todas as estatísticas brasileiras e a coordenação metódica das atividades geográficas do país.

Como disciplina científica, só no século passado foi que a Estatís- tica se estruturou, mas já era conhecida desde a antiguidade. Há mais de quatro mil anos, os chineses utilizavam quadros de es- tatística agrícola. Na Bíblia, há referências de censo dos Hebreus; no Egito, devido às inundações do Nilo, efetuavam anualmente trabalhos cadastrais para a repartição de terras férteis; na Grécia, realizaram-se censos demográficos muitos séculos antes de Cris- to; em Roma, os censos eram levados a efeito principalmente com o objetivo de fazer aplicar o regime de imposto.

Na época moderna, as informações estatísticas mais importantes figuram nos registros de estado civil, mantidos inicialmente pela Igreja e depois pelo Poder Civil. É o estudo dos jogos de azar, de- senvolvido ao ponto de formar um ramo distinto das matemáticas

• o cálculo das probabilidades - que vem dar à Ciência Estatística sua justificação teórica e seus métodos de pesquisa.

A palavra estatística formou-se da mesma raiz da palavra Estado (organização política), talvez porque, originalmente, as estatísti- cas eram colhidas para as finalidades relacionadas com o Estado, com objetivos militares ou mesmo tributários, e para a computa- ção de nascimentos e de casamentos.

A palavra estatística, quando usada no plural, refere-se a dados numéricos, mesmo aqueles obtidos por simples contagem (dados estatísticos).

Quando usada no singular, estatística significa o conjunto de mé-

Uma população pode ser finita ou infinita (em princípio, não se pode, na realidade, enumerar todas as observações, como por exemplo, os astros existentes no Universo).

1.4 Amostra É um conjunto de observações (aleatórias, sem preferência) e representativas tomadas de uma População. Uma amostra deve ser probabilística, isto é, cada elemento da população deve ter a mesma oportunidade ser escolhido. É, portanto, um subconjunto finito de uma população. Eis alguns exemplos:

a) População: Os trinta sabores de sorvete da Confeitaria “Bem Gelado”.

Amostra: Cinco sabores testados para saber se a Confeitaria “Bem Gelado” vende sorvetes de boa qualidade.

b) População: Todos os eleitores do Estado de Santa Catarina.

Amostra: Três mil eleitores entrevistados em uma pes- quisa do IBOPE.

1.5 A Estatística na Metodologia Científica A Estatística pode estar presente nas diversas etapas de uma pesquisa desde o seu planejamento até a interpretação de seus resultados, po- dendo, com isso, influenciar na condução do processo da pesquisa.

A coleta de dados é uma fase da pesquisa que precisa ser cuidado- samente planejada, para que os dados a serem levantados forne- çam informações relevantes para os objetivos da pesquisa.

Em uma pesquisa científica, precisamos coletar dados que nos forne- çam informações capazes de responder aos nossos questionamentos.

As principais etapas de planejamento da pesquisa estatística são:

a definição do problema a ser pesquisado; os objetivos da pesquisa (geral e específico) devem ser ela- borados de forma bem clara;

Metodologia científica refere-se à forma como funciona o conhecimento científico. Tem sua origem no pensamento de Descartes, que foi posteriormente desenvolvido empiricamente pelo físico inglês Isaac Newton. Descartes propôs chegar à verdade através da dúvida sistemática e da decomposição do problema em pequenas partes, características que definiram a base da pesquisa científica. Fonte: http://pt.wikipedia. org/wiki/Metodologia_ cientifica.

a execução da pesquisa; o levantamento de dados necessários; a análise dos dados; os resultados alcançados; a conclusão.

Apesar de a aplicação de técnicas estatísticas ser feita basicamente na etapa de análise dos dados, a metodologia estatística deve ser aplicada nas diversas etapas da pesquisa, havendo uma iteração com a metodologia da área em estudo.

1.6 Tipos de Pesquisas

Depois dos objetivos traçados, precisamos decidir sobre o delinea- mento da pesquisa. Para isto temos dois tipos de pesquisas que são:

Pesquisa de Levantamento Neste tipo de pesquisa, levantamos diversas características dos elementos da população, utilizando questionários ou entrevistas. A observação é feita naturalmente sem a inter- ferência do pesquisador.

2. Pesquisa Experimental Este tipo de pesquisa é usado para resolver problemas bem específicos, geralmente formulados sob a forma de hipóte- ses de causa e efeito. Por exemplo, a metodologia que certo aluno utiliza para estudar uma disciplina do seu curso e sua reprovação nesta mesma disciplina é influenciada por isto.

Um passo importante no delineamento da pesquisa consiste na decisão de quem se vai pesquisar. E para isto, temos a população alvo, que são os elementos para os quais deseja- mos que as conclusões da pesquisa sejam válidas. Definidos os objetivos e a população a ser estudada, precisamos pen- sar em como deverá ser a coleta de dados.

1.7 Dados Estatísticos

Após cuidadoso planejamento e devida determinação das carac- terísticas do fenômeno que se quer pesquisar, damos início à co- leta dos dados numéricos necessários à sua descrição.

1.9 Análise Exploratória de Dados

Com os dados adequadamente resumidos e apresentados em ta- belas e gráficos, podemos observar certos aspectos relevantes e começar a delinear hipóteses a respeito da estrutura do fenômeno objeto de estudo. Isto se chama Análise Exploratória de Dados (técni- cas para extrair informações de conjuntos de dados).

Os dados são a matérias prima da Estatística. Cada observação individual ou item é denominado como unidade elementar ou simplesmente unidade. Cada unidade elementar pode estar com- posta por um ou mais itens medidos, propriedades, atributos etc, denominados como variáveis.

Variável é uma característica, propriedade ou atributo de uma unidade da população, cujo valor pode variar entre as unidades dessa população.

São exemplos de unidades elementares:

As pessoas, quando descrevemos todos ou parte de seus atributos, por exemplo: nome, idade, CPF, endereço etc. As empresas, quando descrevemos todos ou parte de seus atributos, por exemplo: razão social, CNPJ, número de fun- cionários, capital social etc.

As cidades, por exemplo: número de habitantes, número de alunos matriculados no Ensino Fundamental, número de partidos políticos, área etc.

1.10 Classificação dos Dados

Os dados são classificados quanto à sua origem, e temos:

Dados de Levantamento – São obtidos através da simples observação de como um fenômeno acontece, provenientes de uma situação onde não existe nenhum controle sobre os fatores que influenciam os dados. É o que chamamos tam- bém de dados secundários, por exemplo: o levantamento dos dados pessoais de professores e funcionários da Escola Estadual XX, da cidade YY, no Estado de Santa Catarina.

Dados de Experimento – Têm a finalidade de observar as relações de causa e efeito que existem entre fenômenos pro- venientes de uma situação onde existe realmente controle sobre os fatores que influenciam os dados. É o que chama- mos também de dados primários, por exemplo: o interes- se de um aluno em participar em programas de capacita- ção; o nível de satisfação do aluno em relação a seu curso.

1.11 Tipos de Variáveis Algumas variáveis, por exemplo, sexo, escolaridade etc. apresentam como possíveis realizações uma qualidade (ou atributo) dos elemen- tos pesquisados, ao passo que outras como peso e idade apresentam como possíveis realizações números resultantes de uma contagem ou mensuração. As variáveis do primeiro tipo são chamadas quali- tativas e as do segundo tipo são chamadas quantitativas.

Um pesquisador deve aprender a identificar quatro tipos de variáveis:

Variáveis Quantitativas se referem a quantidade, isto é, são medidas numa escala numérica. Estas variáveis podem ser de dois tipos: Variáveis Discretas, que se referem às variáveis que po- dem assumir valores inteiros, podendo pertencer a uma contagem 0, 1, 2, 3 ... Por exemplo: o número de alunos ma- triculados na turma A da disciplina de Estatística, o núme- ro de peças com defeito num lote de produção, etc.

Variáveis Contínuas são variáveis não discretas, isto é, são variáveis que podem assumir qualquer valor do con- junto dos números reais. Por exemplo: o valor das notas do aluno XX no semestre YY da UFSC, o valor das vendas diárias de uma empresa, o consumo mensal de energia elétrica da Escola Estadual Dona Chiquinha, etc.

Variáveis Qualitativas não são numéricas, pois somente podem ser classificadas: Variáveis Nominais são variáveis onde não existe nenhum ordenamento ou hierarquia. Por exemplo: o estado onde nas- ceram os alunos matriculados na UFSC; a cidade onde nas- ceram os servidores técnicos administrativos da UFSC, etc.

i)

ii)

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