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apostila - apostila
Tipologia: Notas de estudo
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www.geogebra.org
Autor: Markus Hohenwarter Última modificação : 19 de Abril de 2007 Tradução para Português: Hermínio Borges Neto, Luciana de Lima, Alana Paula Araújo Freitas, Alana Souza de Oliveira
Você pode utilizar a página da web para procurar os arquivos da Ajuda do GeoGebra se você se conectar à Internet: GeoGebra Help Search.
GeoGebra é um software matemático que reúne geometria, álgebra e cálculo. Ele foi desenvolvido por Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg para educação matemática nas escolas.
Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite realizar construções tanto com pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas como com funções que podem se modificar posteriormente de forma dinâmica.
Por outro lado, equações e coordenadas podem estar interligadas diretamente através do GeoGebra. Assim, o software tem a capacidade de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vetores e pontos; permite achar derivadas e integrais de funções e oferece comandos, como raízes e extremos. Essas duas visões são características do GeoGebra: uma expressão em álgebra corresponde a um objeto concreto na geometria e vice-versa.
Para ter uma impressão geral das possibilidades do GeoGebra revisaremos alguns exemplos.
Agora, escolha o modo Mover e arraste os vértices para modificar dinamicamente o triângulo. Se você não necessitar da janela algébrica e/ou do eixo de coordenadas, você pode ocultá-los usando a opção Exibir do menu.
Nos concentramos no signficado de k e d na equação linear y = kx + d atribuindo valores diferentes a k e d. Para isto, nós podemos incorporar as seguintes linhas ao campo de entrada de texto no fundo da tela (teclando Enter ao finalizar cada linha).
k = 1 d = 2 y = k x + d
Agora nós podemos mudar k e d na janela algébrica (clique no botão direito: Editar) ou no campo de entrada de texto.
k = 2 k = - d = 0 d = -
Você pode modificar k e d facilmente utiilzando o comando de seta (ver 4.1.2) ou os
seletores (clique com o botão direito em k ou d, Exibe objeto ; ver 3.2.10). De uma maneira similar nós podemos investigar as equações de seções cônicas tais como: x^2 /a^2 + y^2 /b^2 = 1, b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 ou (x - m)^2 + (y - n)^2 = r 2.
Vamos agora construir o baricentro de três pontos incorporando as seguintes linhas ao campo de entrada (teclando Enter ao finalizar cada linha). Naturalmente, você
Duas equações lineares em x e em y podem ser interpretadas como duas linhas retas. A solução algébrica é o ponto da interseção destas duas retas.
g : 3x + 4y = 12 h : y = 2x - 8 S = Interseção[g, h]
Pode-se modificar tanto a equação (clique no botão direito, Editar) como mover ou
rotacionar a reta com o mouse ( Mover; Girar; ver 3.2.1)
O GeoGebra oferece um comando para a tangente de uma f(x) em x=a.
a = 3 f(x) = 2 sin(x) t = Tangente[a, f]
Ao animá-la (ver 4.1.2) a tangente se desloca pelo gráfico de f. Uma outra maneira de fazer isto seria...
a = 3 f(x) = 2 sin(x) T = (a, f(a)) t : X = T + s (1, f'(a))
Com isso, nós encontramos o ponto T no gráfico de f. A tangente t está expressa na forma paramétrica. Inclusive, também podemos traçar a tangente de uma função geometricamente.
Agora, escolha o modo Mover e arraste o ponto ao longo da função com o mouse. A tangente também se modifica dinamicamente.
Com o GeoGebra podemos investigar raízes, extremos locais e pontos de inflexão de funções polinomias.
f(x) = x^3 - 3 x^2 + 1 N = Raiz[f]
E = Extremo[f] W = PontodeInflexão[f]
No modo Mover você pode arrastar a função f com o mouse. Nessa situação, as primeiras duas derivadas de f são também interessantes.
Derivada[f] Derivada[f, 2]
Para introduzir integrais, o GeoGebra oferece a possibilidade de visualizar com retângulos, as somas inferiores e superiores de uma função como retângulos.
f(x) = x^2/4 + 2 a = 0 b = 2 n = 5 L = SomaInferior[f, a, b, n] U = SomaSuperior (f, a, b, n]
Modificando a, b ou n (animação, ver 4.1.2; S eletor , ver 3.2.10) você pode evidenciar a influência desses parâmetros. Para o incremento de n você deve selecionar 1 (clicando com o botão direito sobre n, propriedades). A integral definitiva pode ser mostrada como segue:
Integral[f, a, b]
A antiderivada F é criada utilizando:
F = Integral[f]
não). Ver também o modo Zoom de aproximação. Zoom de afastamento (ver 3.2.1).
Janela do zoom: clique com o botão direito do mouse e arraste-o para aumentar uma área especificada.
Ao clicar com o botão direito na área de trabalho, aparecerá um menu onde você pode escolher a relação entre eixo x e eixo y.
O protocolo interativo de construção (menu Exibir ) é uma tabela que mostra todas as etapas da construção. Aqui você pode fazer uma construção passo a passo. Inclusive é possível introduzir passos de uma construção e modificar sua seqüência. Você pode encontrar mais detalhes no menu de ajuda do protocolo de construção.
Um objeto pode ser redefinido usando o menu contextual (ver 3.2.1). Isso é muito útil para introduzir mudanças na sua construção. Também pode ser aberta a caixa de dálogo com a qual se Redefine clicando duplamente sobre o objeto desejado.
Para localizar um ponto livre A sobre uma reta h, se usa Redefinir para o ponto A e se insere Ponto(h). Para remover o ponto dessa reta e “liberá-lo” novamente, redefine-o a certo ponto de coordenadas livres como na figura (ver 3.2).
Outro exemplo é a conversão de uma reta h que passa pelos pontos A e B em um segmento que os tem como extremos: escolha Redefinir e escreva Segmento[A,B]
A ferramenta que permite a redefinição de objetos é muito versátil para uma modificação retrospectiva do que foi construído. Convém levar em consideração que deste modo também é possível mudar a ordem das etapas de construção dentro do protocolo de construção. (ver 3.1.6).
Os seguintes modos podem ser ativados na barra de ferramentas ou o menu Geométrico. Clique na flecha pequena à direita do ícone para passar aos outros modos desse menu.
Para marcar um objeto clique nele com o mouse. Em todos os modos de construção você pode facilmente criar novos pontos clicando na área de trabalho.
Mover
Para arrastar e soltar objetos livres com o mouse.
Selecione um objeto clicando no modo Mover ; assim você pode:
Para selecionar vários objetos deve-se manter pressionada a tecla Ctrl.
Girar em torno de um ponto
Selecionar em primeiro lugar, o ponto central da primeira rotação. Depois você pode girar objetos livres ao redor desse ponto, simplesmente arrastando-os com o mouse.
Relação
Para marcar um par de objetos e manter informações sobre suas relações (ver 4.3.1).
Mover área de trabalho
Para mover e soltar a área de trabalho e mover a origem do sistema de coordenadas. Você também pode mover a área de trabalho pressionando a tecla Ctrl e arrastando-a com o mouse.
Zoom de aproximação Pode-se clicar sobre qualquer lugar da área de trabalho para produzir um zoom de aproximação (ver 3.1.4).
Zoom de afastamento Pode-se clicar sobre qualquer lugar da área de trabalho para produzir um zoom de afastamento (ver 3.1.4)
Exibir / esconder objeto
Ao clicar sobre um objeto você pode mostrá-lo ou escondê-lo, respectivamente. Todos os objetos que devem estar escondidos são destacados. Suas mudanças se efetivarão logo que você escolher um outro modo na barra de ferramentas.
Exibir / Esconder rótulo
Clique no rótulo do objeto para Exibir/Esconder, respectivamente.
Estilo cópia visual
Marca o ponto de início e o de aplicação do vetor.
Vetor a partir de um ponto
Ao marcar um ponto A e um vetor v se cria o ponto B = A + v e o vetor de A até B.
Segmento entre dois pontos
Ao marcar dois pontos A e B se estabelece um segmento entre A e B. Na janela algébrica poderá ser visto o comprimento do segmento.
Segmento com comprimento dado a partir de um ponto
Ao clicar sobre um ponto A que você quer que seja a origem do segmento. Especifique o comprimento desejado na janela apresentada.
Esse modo criará um segmento com tamanho entre A e B. O extremo B pode ser
rotacionado no modo Mover ao redor do ponto inicial.
Semi-reta através de dois pontos
Ao marcar dois pontos A e B se cria uma semi-reta que parte de A e cruza B. Na janela algébrica se expõe a equação correspondente à reta.
Polígono
Para Exibir a área do polígono na janela algébrica, basta marcar ao menos três pontos e voltar a clicar novamente sobre o primeiro deles.
Reta através de dois pontos
Ao marcar dois pontos A e B se fixa a reta entre A e B. O vetor que fixa a direção da reta é (B-A).
Retas paralelas
Ao selecionar uma reta g e um ponto A fica definida a reta que passa por A e é paralela a g. A direção desta reta é a de g.
Retas perpendiculares
Ao selecionar uma reta g e um ponto A, fica definida a reta que passa por A e é perpendicular a g. A direção desta reta é equivalente a do vetor perpendicular (ver 4.3.5) a g.
Mediatriz
A mediatriz de um segmento fica estabelecida por um segmento s ou por dois pontos A e B. A direção desta reta é equivalente à do vetor perpendicular (ver 4.3.5) ao segmento s ou a AB.
Bissetriz
A bissetriz de um ângulo pode ser definido de duas maneiras.
Os vetores direção de todas as bissetrizes têm tamanho 1.
Tangentes
As tangentes de um cônica podem ser determinadas de duas maneiras:
Ao marcar o ponto A e a função f obtém-se a reta tangente a f em x = x(A).
Reta polar ou diametral
Esse modo cria uma reta polar ou diametral de uma seção cônica:
Círculo definido pelo centro e um de seus pontos
Setor circumcircular dados três pontos
Ao marcar três pontos se produz um setor circumcircular passando por esses pontos.
Distância
Esse modo estabelece a distância de...
Seletores
Clicando sobre qualquer lugar na área de trabalho você cria um seletor para um número ou para um ângulo. Aparecerá uma janela onde você especificará o intervalo [min, max] do respectivo número ou ângulo e a largura do seletor(em pixel).
No GeoGebra um seletor nada mais é do que uma representação gráfica de um número ou ângulos livres. Você pode criar facilmente um seletor correspondente a um número ou ângulo existentes, simplesmente clicando no objeto (clique com o
botão direito do mouse e escolha Exibir objeto).
A posição de um seletor pode ser absoluta na tela ou relativa ao sistema de coordenadas. (ver propriedades do correspondente número ou Ângulo 3.1.1).
Ângulo
Este modo cria
Todos estes ângulos estão limitados entre 0 o^ e 180o^. Se você quiser permitir ângulos refletidos, selecionar e ativar a opção correspondente na caixa de diálogo das propriedades (ver 3.1.1).
Ângulo com amplitude fixa
Após marcar dois pontos A e B aparecerá uma janela pedindo o tamanho do ângulo. Este modo produz um ponto C e um ângulo α, onde α = ≤ (ABC).
Lugar Geométrico
Primeiramente, marque um ponto Q cujo lugar geométrico dependerá. Depois, com um clique crie o ponto P o qual Q dependerá. Note que o ponto P tem que ser um ponto em um objeto (reta, segmento, círculo, ...).
As seguintes transformações geométricas operam sobre pontos, retas, seções cônicas, polígonos e imagens.
Reflexão com relação a um ponto
Primeiramente, marque o objeto a ser refletido. Depois, marque o ponto através do qual ocorrerá a reflexão.
Reflexão com relação a uma reta
Primeiramente, marque o objeto a ser refletido. Depois, marque a reta através da qual ocorrerá a reflexão.
Girar em torno de um ponto
Primeiramente, marque o objeto a ser rotacionado. Depois, com um clique se marca o ponto que funcionará como centro da rotação. Então, aparecerá uma janela onde você especificará a amplitude, em graus, do ângulo de rotação.
Translação por um vetor
Primeiramente, marque o objeto a ser transladado. Depois, com um clique se marca o vetor de translação.
Homotetia de um ponto por um fator
Primeiramente, marque o objeto a ser transportado. Depois, marque o ponto que funcionará como centro da homotetia. Então, aparecerá uma janela onde você especificará o fator da homotetia.
Inserir imagem
Este modo permite acrescentar uma imagem em uma construção.
Depois, aparecerá uma caixa de diálogo onde você selecionará a imagem a ser inserida.
Posição
A posição de uma imagem pode ser absoluta em tela ou relativa ao sistema de coordenadas (ver propriedades de imagens, 3.1.1). Por último é pedido para especificar os três pontos vértices que oferece a flexibilidade de escalar, girar e até distorcer as imagens.
Vamos criar três pontos A, B e C para explorar o efeito dos pontos vértices. Seja A o primeiro vértice e B o segundo vértice de sua imagem. Ao arrastar A e B no modo
Mover você pode explorar sua influência mais facilmente. Agora, seja A o primeiro e C o quarto vértice. Finalmente, você poderá ajustar todos os três pontos e ver como, ao arrastá-los, distorce a imagem.
Você ainda pode observar como influenciar a posição e a altura da sua imagem. Se você quiser unir sua imagem a um ponto e ajustar sua largura a 3 e sua altura a 4, você poderia fazer o seguinte:
Ao arrastar o ponto A no modo Mover sua imagem conserva a medida desejada. Ver comando Vértice (see 4.3.13).
Imagem de fundo
Você pode ajustar uma imagem para estar no fundo (ver propriedades de imagens, 3.1.1). Uma imagem de fundo encontra-se atrás dos eixos coordenados e não pode ser selecionada com o mouse.
Para modificar a condição de “tela de fundo” de uma imagem deve-se mudar suas Propriedades em menu Editar.
Transparência
Uma imagem pode se tornar transparente para que imagens ou eixos posam ser vistos atrás dela. Você pode ajustar a transparência de uma imagem especificando um valor de enchimento entre 0 % e 100 % (ver propriedades de imagens, 3.1.1).
