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Apostila de Extatística Experimental
Tipologia: Notas de estudo
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Departamento de Matemática Área de Estatística
Prof. Adjunto – DEMAT/ICE/UFRRJ
Seropédica – Rio de Janeiro Agosto – 2011 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS Departamento de Matemática Área de Estatística
Esta apostila constitui o material básico das disciplinas IC 283 – Bioestatística e IC 284 – Estatística Experimental. Em todas as aulas serão feitas complementações suplementares com o objetivo de atualizar, acrescentar novas informações relevantes ainda não implementadas e facilitar o entendimento do material apresentado. Adicionalmente, serão disponibilizadas tabelas para o teste de Tukey e para as distribuições Normal , F ( Fisher ), t ( Student ) e Qui-quadrado.
Prof. Adjunto – DEMAT/ICE/UFRRJ
Seropédica – Rio de Janeiro Agosto – 2011 Sumário
I Distribuição Amostral e Intervalo de Confiança 01 II Testes de Hipóteses 05 III Contraste 18 IV Princípios Básicos da Experimentação 20 V Delineamentos Experimentais e Teste de Comparação de Médias 24
Ao retirarmos uma amostra aleatória de uma população e calcularmos a partir desta amostra qualquer quantidade (medidas descritivas numéricas), encontramos a estatística , ou seja, chamaremos os valores calculados em função dos elementos da amostra de estatísticas. As estatísticas, sendo variáveis aleatórias, terão alguma distribuição de probabilidade, com uma média, uma variância, etc. A distribuição de probabilidade de uma estatística é denominada de Distribuição Amostral. A inferência estatística tem por objetivo fazer generalização sobre uma população com base em dados de uma amostra. As populações são caracterizadas por medidas descritivas numéricas, chamadas de parâmetros. Muitas pesquisas estatísticas tem por objetivo fazer inferência a respeito de um ou mais parâmetros da população. Essa inferência pode ser por meio de um único valor numérico (estimação por ponto), por uma amplitude de valores numéricos (estimação por intervalo) ou pelo simples “sim” ou “não” (teste de hipótese). Como exemplo, considere uma nova marca de inseticida lançada no mercado. A pesquisa estatística pode ter diversos interesses: i) saber qual dose de inseticida mata 90% dos insetos (estimação por ponto); ii) desejar um intervalo da dose com coeficiente 1 – α de confiança para que se tenha a mortalidade de 90% dos insetos (estimação por intervalo); iii) ou ainda o interesse poderia focar se o inseticida novo é melhor do que os já existentes no mercado (testes de hipóteses). A estimação por ponto utiliza a informação da amostra para chegar a um único valor numérico ou ponto, que estima o parâmetro de interesse (parâmetro populacional). Ex: Média, Variância, Coeficiente de Variação, etc. A estimação por intervalo utiliza a informação da amostra para chegar a dois números, entre os quais pretende-se que esteja o parâmetro de interesse. Caso esse intervalo esteja associado a uma probabilidade “1 – α”, tem-se um intervalo de confiança com coeficiente de confiança de 1 – α.
Professor Marcelo Jangarelli – DEMAT – ICE - UFRRJ
3 – DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA
A distribuição amostral de determinada estatística é a distribuição de todos os possíveis valores que ela pode assumir, calculados a partir de todas as possíveis amostras de mesmo tamanho. Para determinado tamanho “ n” da amostra, tomada de uma população com média “ μ” , o valor da média amostral () irá variar de uma amostra para outra. A distribuição amostral da média é descrita para determinar o valor esperado [E()] e o desvio padrão [σ (^) ()] da distribuição das médias. Uma vez que este desvio padrão indica a acurácia da média da amostra como um estimador por ponto, σ() é usualmente chamado de erro padrão da média. Em geral, o valor esperado e o erro padrão da média são definidos como: E() = μ
σ() =
Se o desvio padrão da população (σ) for desconhecido o erro padrão da média pode ser estimado por meio do desvio padrão amostral ( s ). s (^) () = 4 – INTERVALO DE CONFIANÇA (IC)
A estimação por ponto é bastante útil, embora não indique nenhuma acurácia ou precisão associada a ela. Assim, ao invés de inferirmos sobre um único valor
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sua normalidade, a distribuição normal ( Z ) deve ser substituída pela distribuição t de Student. IC (μ) (^) 1 – α : ± …
1 – Suponha que a média de uma população seja μ = 50,00 e o desvio padrão σ = 12,00. a) Determinar a distribuição de amostragem das médias das amostras de tamanho n = 36 em termos de valor esperado e erro padrão; b) Determinar o tamanho da amostra para se obter um erro padrão da média igual a 3,00.
2 – Uma variável aleatória X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão
a) Qual a P (90 < X < 110)? b) Se é a média de uma amostra de 16 elementos retirados dessa população, calcule P (90 < < 110); c) Que tamanho deveria ter a amostra para que P (90 < < 110) = 95%?
3 – Seja X a duração da vida de uma peça de equipamento tal que σ = 5 horas. Admita que 100 peças foram ensaiadas fornecendo uma duração de vida média de = 500 horas. a) Obter um intervalo de 95% para a média μ; b) Qual o tamanho da amostra para que o intervalo 500 ± 1,63 tenha 95% de confiança?
4 – Em uma amostra aleatória de 25 crianças de uma determinada comunidade, encontrou-se altura média 150 cm e desvio padrão 5 cm. Admitindo que a distribuição das alturas das crianças é normal, determine: a) Um intervalo de 95% de confiança para a altura média da população; b) (^) O comprimento do intervalo obtido na letra “a”.
CONTEÚDO II
TESTES DE HIPÓTESES
1 – INTRODUÇÃO
As duas principais áreas de inferência estatística são: estimação de parâmetros populacionais e testes de hipóteses.
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O objetivo dos testes de hipóteses é desenvolver métodos gerais para testar hipóteses, aplicando tais metodologias a alguns problemas comuns. Em geral, é feita uma determinada afirmação sobre uma população, usualmente sobre um parâmetro desta, e desejamos saber se os resultados de uma amostra contrariam ou não tal afirmação. Desta forma, a finalidade do teste estatístico de hipótese é fornecer ferramentas que nos permitam validar ou rejeitar uma hipótese através dos resultados amostrais.
2 – DEFINIÇÕES
Parâmetro → é uma função de valores populacionais. Em geral, representa um valor desconhecido associado à população; Estimador → O estimador de um parâmetro é qualquer função das observações amostrais (X (^) 1, X2, ..., Xn). Ele representa uma determinada fórmula de cálculo, fornecendo valores diferentes conforme a amostra selecionada; Estimativa → É o valor numérico assumido pelo estimador quando os valores amostrais (X (^) 1, X (^) 2, ..., Xn) são considerados.
3 – TESTES DE HIPÓTESES
É uma regra decisória que nos permite aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base nos elementos de uma amostra. Estas hipóteses são, em geral, sobre parâmetros populacionais ou relacionadas à natureza da distribuição da população.
3.1 – Hipótese Estatística
É uma suposição referente ao valor de um parâmetro populacional que será verificada por um teste paramétrico, ou mesmo uma afirmação quanto à natureza da população que pode ser verificada por meio de um teste de aderência. Exemplos de hipóteses estatísticas:
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É a faixa de valores da estatística do teste que nos leva a rejeição da hipótese H (^) 0, ou seja, a RC para um teste de hipótese é a que nos leva a rejeição de H (^) 0. É válido ressaltar que o teste estatístico é construído na suposição de que H 0 é verdadeiro. Caso o valor observado da estatística do teste ( F, t, , etc.) pertença à região crítica, rejeitamos H (^) 0, caso contrário, não rejeitamos ou aceitamos H (^) 0.
3.3 – Tipos de Erros
Para qualquer decisão que tomarmos, a partir de uma amostra da população, estaremos sujeitos a erros, pois trabalhamos com amostras e não com a população como um todo.
3.3.1 – Erro tipo I ou erro α
O erro tipo I é caracterizado pelo fato de rejeitarmos H 0 sendo H 0 verdadeiro. Sua probabilidade é representada por “α”, sendo denominada nível de significância do teste. Logo, α = P (erro tipo I) = P (rejeitar H0/ H 0 é verdadeiro).
3.3.2 – Erro tipo II ou erro β
O erro tipo II é caracterizado pelo fato de não rejeitarmos H 0 sendo H 0 falso. A probabilidade de cometermos este tipo de erro é indicada por β. Logo, β = P (erro tipo II) = P (não rejeitar H (^) 0/ H 0 é falso).
A tabela a seguir apresenta as probabilidades de cometermos os erros do tipo I e do tipo II. Decisão \ Realidade H 0 é verdadeiro H 0 é falso Rejeitar H 0 α 1 – β Não rejeitar H 0 1 – α β
3.4 – Tipos de Testes
3.4.1 – Teste Unilateral à Direita
A partir de uma valor C (ponto crítico), rejeita-se H 0 se ≥ C.
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H0: μ = K H1: μ > K
3.4.2 – Teste Unilateral à Esquerda
A partir de uma valor C (ponto crítico), rejeita-se H 0 se ≤ C. H0: μ = K H1: μ < K
3.4.3 – Teste Bilateral
Rejeita-se H 0 se ≤ C 1 ou ≥ C2. H0: μ = K H (^) 1: μ ≠ K
3.5 – Etapas para construção de um Teste de Hipótese
4 – DISTRIBUIÇÃO F E O TESTE DA DIFERENÇA ENTRE DUAS VARIÂNCIAS DE POPULAÇÕES NORMAIS ( Teste F )
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias normalmente distribuídas. Considere duas amostras, casuais e independentes, de tamanho n (^) x e ny, respectivamente. Sejam as hipóteses: H (^) 0: = H (^) 1: > ou < ou
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μ ≠ K
Valor crítico da distribuição t : t (^) tab. = f [α; (n – 1)g.l.]
Tomada de decisão (conclusão):
OBS : A tabela da distribuição t de Student a ser utilizada em nossas aulas é bilateral. Assim, se o teste efetuado for bilateral, entra exatamente com o α na tabela. Caso contrário, o teste realizado seja unilateral, deve-se entrar com 2 α na tabela.
6 – DISTRIBUIÇÃO “t” DE STUDENT E O TESTE PARA COMPARAR MÉDIAS DE DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES DE POPULAÇÕES NORMAIS COM VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS ( Teste t )
Muitos problemas aparecem quando se deseja testar hipóteses sobre médias de populações. Por exemplo, um pesquisador pode ter interesse em investigar um novo tipo de adubo, comparando a produtividade de determinada cultura em dois períodos simultâneos, um referente à utilização do adubo antigo e outro referente à utilização do adubo novo. Quando as variâncias das populações são substituídas pelas variâncias das amostras, isto é, σ 2 por s 2 , o teste recomendado é o Teste t. A execução do teste fica na dependência se as variâncias das populações são ou não iguais entre si, tendo assim dois casos a serem considerados. Seja X a medida de certo atributo dos elementos de uma população A, e Y a medida do mesmo atributo dos elementos de uma população B. Sejam X e Y normalmente distribuídas com variâncias desconhecidas. Considere as hipóteses: H (^) 0: μA = μB H (^) 1: μA > μB ou μA < μB ou μ (^) A ≠ μB
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Inicialmente deve-se efetuar um Teste Preliminar com o objetivo de comparar as variâncias das duas populações, ou seja, temos que aplicar o Teste F. H (^) 0’: = H (^) 1’: >
Ao testar estas hipóteses teremos dois casos a considerar:
6.1 – Caso 1 ou Caso A
Quando H (^) 0’ não for rejeitada. Admitimos que as variâncias sejam iguais, cujos valores assumidos por e são estimativas de um mesmo valor σ^2. Devemos combinar essas variâncias ( e ), estimando-se uma variância comum (). = =
= A seguir, testa-se H 0 utilizando-se a distribuição t de Student ( Teste t ), definida por:
ttab. = f (α ; n (^) A + nB – 2 g.l.)
Tomada de decisão (conclusão):
6.2 – Caso 2 ou Caso B
Quando H (^) 0’ for rejeitada. Admitimos que as variâncias sejam diferentes, não devendo assim estimar uma variância comum. Neste caso, utilizaremos para o nosso teste, os valores assumidos por e. Neste caso, a estatística t de Student ( Teste t ) fica definida: ,
que segue distribuição “t” com n **^ graus de liberdade, em que _n_^ é dado por:
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H (^) 1: > 0 ou < 0 ou ≠ 0 Para testar H (^) 0, utiliza-se a estatística “t” de Student , definida por:
Sob H 0 = 0: , que tem distribuição “t” de Student , cujo grau de liberdade representa o número de pares observados menos um, ou seja, (n – 1) graus de liberdade (g.l.). t (^) tab. = f [α; (n – 1)g.l.]
Tomada de decisão (conclusão):
Na biologia/genética, assim como em muitas outras ciências, os resultados numéricos observados em um experimento são frequentemente comparados com aqueles esperados com base em alguma hipótese. Por meio dessas comparações obtêm-se os desvios. Devemos verificar se os desvios são significativos ou não, de acordo com uma probabilidade de ocorrência do evento. Se os desvios não são significativos, conclui-se que eles são devidos ao acaso, aceitando a hipótese H 0 formulada. Por outro lado, se os desvios são significativos, a hipótese H 0 é rejeitada, concluindo que os desvios não são devidos ao acaso. O teste estatístico que pode ser utilizado para verificar a significância dos desvios, muito utilizado na biologia/genética, é o Teste Qui-quadrado ( ). Nele, os desvios são transformados em um único valor de , o qual representa uma medida padronizada da magnitude dos desvios. O valor de é estimado pela seguinte expressão: , em que:
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A hipótese H 0 é formulada no sentido de que a frequência observada se ajusta à frequência esperada. Nesta hipótese testa-se se os desvios são devido ao acaso. Para aceitarmos ou não a hipótese H (^) 0, isto é, para verificar se os desvios são devido ao acaso, deve-se comparar o valor calculado do com o valor tabelado. Esse valor tabelado é obtido em tabelas próprias para o teste , de acordo com um nível de significância/ probabilidade e um número de graus de liberdade ( g.l. ). Em uma análise de , os g.l. correspondem ao número de classes/categorias em que os dados foram separados ( n ) menos 1, ou seja, “n – 1” , representando o número de classes independentes. De posse dos valores calculado e tabelado do é tomada a decisão (conclusão):
OBS: O Teste somente deve ser aplicado aos dados observados do experimento e nunca às percentagens ou proporções oriundas dos mesmos.
1 – Com o objetivo de controlar a Umidade Relativa (UR - %) em uma casa de vegetação ao longo do dia, procedeu-se medições em dois períodos (manhã e tarde), em um intervalo de duas horas. No período da manhã, de dez medições, foi obtida a média de 72,8% e desvio padrão de 0,074%. No período da tarde, os seguintes valores de UR (%) foram fornecidos: 71,7%; 72,0%; 72,9%; 73,1%; 71,6%; 71,5% e 71,2%. Ao nível de 5% de significância, podemos concluir que tenha ocorrido variabilidade da UR entre os dois períodos investigados?
2 – Um fertilizante foi aplicado a uma variedade de tomate. As produções, em kg, de dez pés de tomate foram: 1,6; 1,7; 1,8; 1,4; 1,5; 1,9; 2,3; 2,1; 1,9 e 1,7 Kg. Verificar se o fertilizante proporciona uma produção superior a 1,5 kg por pé de tomate. Adotar α = 5%.
3 – Em indivíduos sadios o consumo renal de oxigênio (O (^) 2) distribui-se normalmente com média de 12 cm 3 /minuto. Deseja investigar, com base em cinco indivíduos portadores de certa doença, se esta tem influência no consumo renal médio de O (^) 2. Os consumos medidos para os cinco pacientes foram: 14,4; 12,9; 15,0; 13,7 e 13,5 cm 3 /minuto. Qual a conclusão ao nível de 1% de significância?
4 – Os dados a seguir referem-se a um experimento de competição de duas progênies de Eucalyptus saligna. Cada progênie foi cultivada em solos com características semelhantes e a avaliação das plantas foi feita pela média dos diâmetros à altura do peito (DAP) de cada
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O estudo de contraste na estatística experimental é de grande relevância, principalmente quando o experimento em análise é composto por dois ou mais tratamentos. O uso de contraste possibilita ao pesquisador estabelecer comparações entre tratamentos ou grupos de tratamentos que sejam de interesse. Os contrastes assim estabelecidos podem ser testados por meio de um teste de comparação de médias, o qual complementa o resultado da análise de variância. Os conhecimentos adquiridos neste tópico serão posteriormente utilizados para realização do teste de comparação de médias e procedimentos de análise de variância.
2 – DEFINIÇÃO DE CONTRASTE
Considere a seguinte função linear de médias populacionais de tratamentos: Y = a1m 1 + a2m 2 + ... + a (^) nmn A função Y será um contraste entre médias se satisfazer a seguinte condição:
Na prática, geralmente não se conhece os valores das médias populacionais “ mi ” , mas sim suas estimativas. Desta forma, na estatística experimental não trabalhamos com o contraste Y, mas sim com o seu estimador Ŷ. Este também representa uma função linear de médias obtidas por meio de experimentos ou amostras. Assim, tem-se que o estimador para o contraste de médias é dado por: Ŷ = a (^) 1+ a2+ ... + a (^) n
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Em algumas situações desejamos testar um grupo de contrastes relacionados com o experimento em estudo. Alguns tipos de testes indicados para este objetivo necessitam que os contrastes, que compõem o grupo a ser testado, sejam ortogonais entre si. A ortogonalidade entre os contrastes indica independência linear na comparação estabelecida por um contraste com a comparação estabelecida pelos outros contrastes. Sejam os estimadores dos contrastes de Y 1 e Y2, dados respectivamente por: Ŷ 1 = a1+ a2+ ... + a (^) n Ŷ 2 = b1+ b (^) 2+ ... + b (^) n A condição para que estes dois contrastes sejam ortogonais entre si para determinado experimento, de acordo com o número de repetições dos tratamentos, é dada por: = 0
1 – Em um experimento de consórcio na cultura do abacaxi, com cinco repetições, as médias de produções foram as seguintes (toneladas de frutos/ha): Tratamentos Abacaxi (0,90 x 0,30 m) – Monocultura 53, Abacaxi (0,80 x 0,30 m) – Monocultura 56, Abacaxi (0,80 x 0,30 m) + Amendoim 62, Abacaxi (0,80 x 0,3 0m) + Feijão 60,
Pede-se: a) Obter a estimativa do contraste, interpretando; Y = m 1 + m 2 – m 3 – m (^4) b) Estabelecer um contraste para comparar a produção média de abacaxi quando em consórcio. 2 – Por meio dos dados e dos contrastes fornecidos abaixo, obter suas estimativas e verificar se são ortogonais. ; ; ; r 1 = r 2 = 6 ; r 3 = 4 ; r 4 = 5 Y 1 = m 1 + m 2 – m 3 – m 4 Y 2 = m 1 – m (^2) CONTEÚDO IV
PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO
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