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Disciplina:
Matemática
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AntonioJoséBentoBottione PauloHenriqueCruzPereira
Varginha–MinasGerais
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Dezembrode2006
Fonte:http://community.learnnc.org/dpi/math/archives/AlgArt.gif
Fonte:http://ww2.wdg.uri.edu:81/testsite/fileadmin/advance_client/mathematics.gif
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CursoPró Técnico)Disciplina:Matemática–ProfessoresAntonioJoséB.BottionePauloHenriqueC.Pereira
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3.10. NÚMEROSPRIMOSENTRESI .............................................................................................................. 26
3.11. MÍNIMOMÚLTIPLOCOMUM ................................................................................................................. 26
3.12. TEOREMA ......................................................................................................................................... 27
4. TÉCNICASDEFATORAÇÃO ................................................................................................................ 28
4.1. EXPRESSÃOALGÉBRICA .................................................................................................................... 28
4.2. VALORNUMÉRICO ............................................................................................................................. 28
4.3. FATORAR–DESENVOLVER................................................................................................................ 29
4.4. CASOSDEFATORAÇÃO...................................................................................................................... 30
5. POTENCIAÇÃO ...................................................................................................................................... 40
5.1. DEFINIÇÃO........................................................................................................................................ 40
5.2. DEFINIÇÕES...................................................................................................................................... 41
5.3. SIMPLIFICAÇÃODEEXPRESSÕES........................................................................................................ 43
5.4. PROPRIEDADESDASPOTÊNCIAS ........................................................................................................ 44
5.5. EQUAÇÕESEXPONENCIAIS ................................................................................................................ 47
5.6. NOTAÇÃOCIENTÍFICA ........................................................................................................................ 49
5.7. RESUMO........................................................................................................................................... 50
6. RADICIAÇÃO.......................................................................................................................................... 52
6.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 52
6.2. GENERALIZAÇÃO............................................................................................................................... 52
6.3. DEFINIÇÃO........................................................................................................................................ 53
6.4. PROPRIEDADESDOSRADICAIS ........................................................................................................... 55
6.5. REDUÇÃODERADICAISAOMESMOÍNDICE .......................................................................................... 58
6.6. RACIONALIZAÇÃODEDENOMINADORES .............................................................................................. 59
6.7. POTÊNCIADEEXPOENTERACIONAL.................................................................................................... 60
6.8. RADICANDONEGATIVO ...................................................................................................................... 61
6.9. PROPRIEDADE .................................................................................................................................. 62
7. EQUAÇÃODO2ºGRAU........................................................................................................................ 63
7.1. DEFINIÇÃO........................................................................................................................................ 63
7.2. RAIZDAEQUAÇÃO............................................................................................................................. 63
7.3. CONJUNTOSOLUÇÃO ........................................................................................................................ 64
7.4. FÓRMULARESOLUTIVA ...................................................................................................................... 64
7.5. OBSERVAÇÕES ................................................................................................................................. 64
7.6. EQUAÇÕESINCOMPLETAS ................................................................................................................. 66
7.7. AFORMAFATORADA.......................................................................................................................... 66
7.8. SOMAEPRODUTODASRAÍZES ........................................................................................................... 67
7.9. EQUAÇÕESBIQUADRADAS ................................................................................................................. 69
8. TEORIADASFUNÇÕES........................................................................................................................ 71
8.1. FUNÇÃODEAEMB........................................................................................................................... 71
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8.2. UMAOUTRANOTAÇÃO ....................................................................................................................... 72
8.3. DOMÍNIODEUMAFUNÇÃOREALDEVARIÁVELREAL ............................................................................. 74
8.4. CONJUNTOIMAGEM........................................................................................................................... 75
8.5. GRÁFICO .......................................................................................................................................... 77
8.6. CRESCIMENTODEUMAFUNÇÃO ......................................................................................................... 79
8.7. CONJUNTOSIMÉTRICO ...................................................................................................................... 81
8.8. PARIDADEDEUMAFUNÇÃO................................................................................................................ 81
9. AFUNÇÃODO1°GRAU ....................................................................................................................... 83
9.1. FUNÇÃODOPRIMEIROGRAU.............................................................................................................. 83
9.2. TEOREMA ......................................................................................................................................... 86
10. AFUNÇÃODO2°GRAU................................................................................................................... 88
10.1. FUNÇÃODOSEGUNDOGRAU ............................................................................................................. 88
10.2. APARÁBOLA ..................................................................................................................................... 88
10.3. CONSIDERAÇÕES .............................................................................................................................. 90
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Alémdeserepresentarumconjuntoporumaletra(namaioriadasvezesmaiúscula),são usadasasseguintesrepresentações: − {e 1 , e 2 , ..., en}, onde e 1 , e 2 , ..., em é a lista dos elementos do referido conjunto dispostosnumaordemqualquer,comousemrepetição. − (^) { ∈ (^) ( )}, onde S(x) é uma propriedade sobre a variável x, que tem por
finalidadeselecionarelementosdeA;porexemplo, { ∈ > }.
Adotaremostambémoseguintepostulado: SetodoelementodeAéelementodeBetodoelementodeBéelementodeA,entãoos conjuntosAeBsãoiguais. Exemplo1
{ } =^ { }e{ } =^ { }
Exemplo2
Sendo ℕ ={ } o conjunto dos números naturais, quantos são os
elementosdoreferidoconjunto:{ ∈ ℕ + ≤}?
Tem seentãoque ≤ e ∈{ }.
Logo,oselementosdoreferidoconjuntosão0,1,2,3,4,5e6,e,portanto,estepossui7 elementos. Resposta:7. Exemplo3 Quaissãooselementosdoconjunto ℕ dosnúmerosnaturaisquesatisfazemàcondição + ≤ ? + ≤ ⇒ ≤ − Reparequenãohánúmeronaturalquesatisfaztalcondição. Resposta:Nenhum.
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Para que possamos operar com conjuntos, sem correr o risco de ficar operando com o “nada”,comonoúltimoexemplo,vamosestabelecerque: Existeumconjuntosemelementos,quechamamosdeconjuntovazioequeindicaremos, sempreferênciapor{}oupor∅(Postulado). Sendoassim,podemosvoltaraoitem2eobtermaiorprecisão,seficarestabelecidoque: DadosumconjuntoAeumasentençaS(x),naqualavariávelxocorrepelomenosuma vezsemserintroduzidapor“existex”,nempor“paratodox”,existesempreumconjuntoBtalque
= (^) { ∈ (^) ( )}(Postulado). Assim,
{ ^ ∈^ ℕ^ ^ +^ ^ ≤^ }^ ={ ^ }e
{ ^ ∈^ ℕ^ ^ +^ ≤^ } =^ { }= ∅
!" Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se , e somente se, todo elementodeBéelementodeA. Notação: ⊂ (leia seBestácontidoemA).
Obs:ArepresentaçãográficausadaaquifoipropostapelomatemáticoVenn. Poroutrolado,tem seque ⊄ se,esomentese,existirpelomenosumelementode BquenãoéelementodeA.
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SendoAeBconjuntos,tem seque: ⊂ e ⊂ se,esomentese,A=B. SendoAumconjuntofinitocomnelementos,prova sequeonúmerodesubconjuntosde Aé2n. OconjuntodetodosossubconjuntosdeAéchamado“oconjuntodaspartesdeA”eserá indicadopor%&' Exemplo5
Dadooconjunto = { },obteroconjuntodaspartesdeA.
ComoonúmerodeelementosdeAé3,conclui sequeonúmerodeseussubconjuntosé 23 =8.OssubconjuntosdeAsão: {} {1}{2}{3} {1,2}{1,3}{2,3} A Resposta: OconjuntodaspartesdeAé (A)={{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},A} ( DadososconjuntosAeB,com ⊂ ,chama sedecomplementardeBemrelaçãoaA aoconjunto:
) EmqualquerdiscussãonateoriadosconjuntosdevemosfixarsempreumconjuntoU,que contémtodososconjuntosquepossamserenvolvidos.OconjuntoUseráchamadodeconjunto universo.
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SendouoconjuntouniversoeAumconjuntoqualquer,chama secomplementardeAao conjunto:
Exemplo6
Considerando como universo o conjunto ={ }, e dados os conjuntos
= { }e = { },tem seque:
OcomplementardeBemrelaçãoaAé = { }.
OcomplementardeAemrelaçãoaAé = { }.
OcomplementardeBé = { }.
OcomplementardeAé = { }.
* +" DadososconjuntosAeBnumUniversoU,chama sedeunião(oureunião)deAcomB aoconjuntodoselementosquepertencemapelomenosumdosconjuntosAouB.
Exemplo7
a) { } ∪{ } = { }
b) { } ∪ { } = { }
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Dados os conjuntos A e B num universo U, chama se de diferença entre A e B, nesta ordem,aoconjuntodoselementosdeAquenãosãoelementosdeB.
Observe que aqui, ao contrário do que ocorreu na definição de complementar de B em relaçãoaA,nãoéexigidoqueBsejasubconjuntodeA. Exemplo9
a) { } − { } = { }
b) { } − { } = { }
c) { } − { } = { }
d) { } − { } = { }
Propriedades:
( −^ )⊂^
{ } −^ =^ { }
Exemplo10
Dados os conjuntos ={ } e ={ }, obter os conjuntos ∩ ,
∪ , − e − .
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Exemplo11
SejamAeBconjuntosnumuniversoUtaisque:ocomplementardeAé = { }
ObterosconjuntosAeB.
∩ = { !}⇒ cedsãoosúnicoselementosqueAeBtêmemcomum.
∉ ⇒ ∈ e ∉ ( ∩ )
Logo, ∈ ( − ).
Analogamente,conclui seque ∈ ( − ).
∈ ⇒ ∈ e
Logo, ∈ ( − ).
Analogamenteparaf,g. ReparequeheinãopertencemaAnemaB,poisnãopertencema ∪ .
Resposta: = { !}e = {! }
Exemplo12 Numa prova de Matemática caíram apenas dois problemas. Terminada a sua correção, constatou seque: 300alunosacertaramsomenteumdosproblemas 260acertaramosegundo 100acertaramosdois 210erraramoprimeiro Quantosalunosfizeramestaprova?
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× = (^) { ( ) (^) ( (^) ) ( (^) ) ( ) (^) ( (^) ) ( )} × = (^) { ( ) (^) ( (^) ) ( ) (^) ( ) (^) ( (^) ) ( )} = (^) { ( ) (^) ( (^) ) ( ) (^) ( )} Reparequeoprodutocartesianoéumaoperaçãonão comutativa,istoé,AXB podenão serigualaBXA.
2. Conjuntosnuméricos
/0 0
O conjunto dos números naturais { % } será representado por ℕ , e o
conjunto dos números inteiros { − − }, por ℤ . Repare que todo natural é inteiro,
istoé, ℕ éumsubconjuntode ℤ . /0 Chamamosdenúmeroracionalatodonúmeroquepodeserexpressonaforma ,onde
aebsãointeirosquaisquer,com ≠ .
Assim, os números 5
e^ 0,333333...^
=^ −
são dois exemplos de números
racionais. Oconjuntodosnúmerosracionaiséexpressopor ℚ . Comotodointeiroéracional,podemosafirmarque ℤ ⊂ ℚ .
ℚ
ℕ
ℤ
Exemplo1 Obterumarepresentaçãodecimalparaosnúmeros:
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a)
b) &
Resolução:
Umavezentendidooexemploacima,éfácilconcluirquetodonúmeroracionalpodeser expressoporumadízimaexata(existeumúltimoalgarismoàdireita)ouporumadízimaperiódica infinita (não existe um último algarismo à direita, mas, sim, uma repetição indefinida de uma seqüênciadealgarismos). Exemplo2 Representarasseguintesdízimasporfraçõesdeinteiros(fraçõesgeratrizes): a) 1,23456 b) 5,644444...4... c) 5,645454545...45... Resolução:
a) ^ ^
= −^ = −
b) Seja f = 5,644444...4... (I); então, multiplicando por 10, segue que 10f = 56,44444...4... (II). Calculandoadiferença(II)–(I): & '
e,portanto, '^ ' & &
c) Seja f = 5,6454545454545...45... (I); então, multiplicando por 100, segue que 100f=564,54545454...(II).Calculandoadiferença(II)–(I): && ' &
! " #$ %&'( )) *+
$ − Sendomennaturaisquaisquer,tem sequem+n,m⋅nemnsãotodosnaturais.(Lembre se deque0^0 =1.) − Sendohekinteirosquaisquer,tem sequeh+k,h k,h⋅ksãotodosinteiros.
− Sendoresracionaisquaisquer,r+s,r–s,r⋅se ( )
sãotodosracionais.(Em ( )
,devemoster ) ≠ .) − Sendorumnúmeroracionalexumnúmeroirracional,tem sequer+xéirracional. − Sendor, ( ≠ ,umracionalexumnúmeroirracional,tem sequer⋅xéirracional.
− Sendoxumirracionalqualquernãonulo,tem seque
éirracional.
− Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais e infinitos números irracionais. − Entredoisnúmerosirracionaisexisteminfinitosoutrosnúmerosirracionaiseinfinitosnúmeros racionais. Exemplo3
Quantossãooselementosdoconjunto{ ∈ ℕ * < < }?
Resolução:
Entre14,1...e17,3...existem3númerosnaturais,asaber15,16e17. Resposta:3 Exemplo4 (G.V.)Quaisquerquesejamoracionalxeoirracionaly,pode sedizerque: a) x⋅⋅⋅⋅yéirracional b) y⋅⋅⋅⋅yéirracional c) x+yéracional d) − #+ éirracional e) x+2yéirracional Resolução: Vejamoscadaumadasalternativas: a) (FALSA)Sexforigualazero,x⋅y=0,queéracional. b) (FALSA)Seconsiderarmos,porexemplo, # = ,seguequey⋅y=3queéracional. c) (FALSA)Paraqualquerxracionaleparaqualqueryirracional,x+yéirracional.
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d) (FALSA)Se # = , − # + = ,queéracional. e) (VERDADEIRA)Paraqualquerirracionaly,tem seque2yéirracional.Logo,x+2yéirracional. Resposta:e Exemplo5
Mostrequeonúmero + + − éirracional. Resolução:
Seja = + + − . Observequexéumnúmerorealpositivo. Segueque:
= + + − + (^) ( + (^) ) ( − (^) )
= + (^) ( + (^) )( − (^) )
= + & − ' = '
Ecomox>0,tem seque = ,queéirracional. # 1 SendoAumdosconjuntos ℤ , ℚ ou ℝ ,usaremosaindaasseguintesnotações:
∗ paraindicar{ ∈ * ≠ }
+ paraindicar{^ ^ ∈^ * ^ ≥^ }(osnãonegativos)
∗ + paraindicar{ ∈ * > }(ospositivos)
− paraindicar{^ ^ ∈^ * ^ ≤^ }(osnãopositivos)
∗
− paraindicar{^ ^ ∈^ * ^ <^ }(osnegativos)
Assim,porexemplo, ℝ (^) +éoconjuntodetodososnúmerosreaisnãonegativos,istoé,o
conjunto{ ∈ ℝ * ≥}.
