Apostila MATLAB, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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Noções Básicas de Programação

em MATLAB

Alex Jenaro Becker

Daiane Medianeira Ilha da Silva

Francisco Helmuth Soares Dias

Lucélia Kowalski Pinheiro

Santa Maria, Outubro de 2010

APRESENTAÇÃO

Este trabalho trata-se da Apostila do Minicurso “ Noções Básicas de Programação em MATLAB” , elaborado e ministrado pelos bolsistas do PET Matemática da UFSM: Daiane Medianeira Ilha da Silva e Francisco Helmuth Soares Dias, e pelos colaboradores Alex Jenaro Becker e Lucélia Kowalski Pinheiro.

A Apostila traz noções básicas do software matemático MATLAB :  Ambiente de trabalho, comandos básicos, funções básicas, manipulação de matrizes;  comandos para cálculo de limites, derivadas e integrais, cálculo de zeros de funções;  comandos para plotagem de gráficos bidimensionais e tridimensionais,  Noções básicas de programação em MATLAB.

Nossa intenção com a proposta do Minicurso, não é cobrir todos os tópicos do MATLAB, até por que isso seria praticamente impossível, pois nossos conhecimentos são restritos se comparados à amplitude e às abrangentes possibilidades de utilização do mesmo. Além do mais a carga horária seria insuficiente.

Pretende-se, com o Minicurso e a Apostila incentivar e motivar o estudo da ferramenta MATLAB, a partir das noções básicas que apresentaremos.

Boa aprendizagem!

O MATLAB (do inglês Matrix Laboratory ) é um software de computação numérica de análise e visualização de dados. Embora seu nome signifique Laboratório de Matrizes, seus propósitos atualmente são bem mais amplos. Ele nasceu como um programa para operações matemáticas sobre matrizes, mas ao longo dos anos transformou-se em um sistema computacional bastante útil e flexível. Seu ambiente de trabalho é fácil de ser utilizado, pois os problemas e soluções são escritos em linguagem matemática e não na linguagem de programação tradicional, como muitos outros softwares utilizam. Assim o MATLAB é uma ferramenta e uma linguagem de programação de alto nível, e tem como principais funções: construção de gráficos e compilação de funções, manipulação de funções específicas de cálculo e variáveis simbólicas.

Além disso, o MATLAB possui uma grande quantidade de bibliotecas auxiliares (“Toolboxes”) que otimizam o tempo gasto para realizar tarefas, uma vez que, o usuário poderá utilizar muitas funções já definidas, poupando o tempo de criá-las. Por outro lado, infelizmente, os programas feitos são difíceis de serem executados num ambiente fora do MATLAB.

1. INTRODUÇÃO

O primeiro passo para iniciarmos nosso estudo do MATLAB é nos familiarizarmos com a interface do programa.

a) Command Window: Local onde as operações podem ser diretamente feitas.

b) Workspace: espaço destinado às variáveis que estão salvas na memória, onde é possível visualizar o nome, valor e classe da mesma.

c) Command History: Lista de comandos realizados, organizados por data de execução, permitindo o comando ser realizado novamente com duplo clique.

Podemos também utilizar M-files, na barra de Menus acessando a guia File>New>M-file, caso se deseje criar procedimentos de forma que estes fiquem salvos em arquivo. O MATLAB gera a seguinte janela:

1.1 O ambiente MATLAB

As operações são realizadas da esquerda para a direita calculando-as conforme a ordem:

Divisão / ou \ 56/8=8\ 56 Potenciação ^ 5^2=

Comando Descrição abs(x) Valor absoluto ou módulo de um número complexo acos(x) Arco cosseno acosh(x) Arco cosseno hiperbólico angle(x) Ângulo de um número complexo asin(x) Arco seno asinh(x) Arco seno hiperbólico atan(x) Arco tangent atan2(x,y) Arco tangente em quatro quadrantes atanh(x) Arco tangente hiperbólica ceil(x) Arredondar para inteiro na direção de mais infinito conj(x) Conjugado complex cos(x) Cosseno cosh(x) Cosseno hiperbólico

2.1.1 Comandos para utilização de Funções:

1º Potenciação; 2º Multiplicação e divisão; 3º Adição e subtração.

Comando help é a maneira mais simples de se conseguir ajuda caso você saiba exatamente o tópico a respeito do qual você necessita de informações. Por exemplo:

exp(x) Exponencial fix(x) Arredonda para inteiro na direção de zero floor(x) Arredondar para inteiro na direção de menos infinito imag(x) Parte imaginária de um número complexo log(x) Logaritmo natural log10(x) Logaritmo na base 10 real(x) Parte real de um número complexo rem(x,y) Resto da divisão de x por y round(x) Arredondar para o próximo número inteiro sign(x) Função sinal: retorna o sinal de um argumento.

sin(x)^ EX: sign(1.2)=1 e sign(Seno -1.2)=-1, sign(0)= sinh(x) Seno hiperbólico sqrt(x) Raiz quadrada tan(x) Tangente tanh(x) Tangente hiperbólica

2.2 Comandos de ajuda

2.2.1 O comando help

O MATLAB trabalha essencialmente com um tipo de objeto: uma matriz numérica retangular podendo conter elementos complexos. Observa-se que um escalar é uma matriz de dimensão 1x1 e que um vetor é uma matriz que possui somente uma linha ou uma coluna.

O método mais fácil de introduzir pequenas matrizes no MATLAB é utilizando uma lista explícita. Os elementos de cada linha da matriz são separados por espaços em branco ou vírgulas e as colunas separadas por ponto e vírgula, colocando-se colchetes em volta do grupo de elementos que formam a matriz com o objetivo de limitá-la.

Tipo de Matriz Comando Matriz Identidade eye(n) Matriz Nula zeros(m,n) Matriz com todos os elementos iguais a 1

ones(m,n)

Matriz Aleatória rand(m,n)

Operação Comando

Transposta de uma matriz A A’t

3. MANIPULAÇÃO DE MATRIZES

3.1 Matrizes elementares

3.2 Operações com matrizes

Uma boa aplicação do MATLAB é suas funções matriciais. Dentre as mais usadas podemos citar:

COMANDO DESCRIÇÃO

eig Autovalores e Autovetores; chol Fatorização de Cholesky; svd Decomposição em fator singular; inv Inversa; lu Fatorização triangular LU; qr Fatorização ortogonal QR; hess Forma de Hessenberg; schur Decomposição de Schur; expm Matriz Exponencial; sqrtm Matriz de raiz quadrada; poly Polinômio característico; det Determinante; size Tamanho; norm Norma 1, Norma 2, Norma F, Norma Infinita; cond Número de condição na norma 2; rank Número de linhas linearmente independentes; triu(A) Gera uma matriz com os elementos acima da diagonal principal de A e zera os elementos que estão abaixo; tril(A) Gera uma matriz com os elementos abaixo da diagonal principal de A e zera os elementos que estão acima; diag(A) Fornece os elementos da diagonal;

Multiplicação por um escalar k KA*

Multiplicação de duas matrizes A e B A.B*

Quadrado e uma Matriz A A.^

Soma de duas matrizes A e B A+B

Em alguns casos precisamos utilizar uma variável simbólica, chamemos , para definir como sendo qualquer variável do domínio, isto é, uma variável contínua. Para isso temos o comando syms. Vejamos:

6. CÁLCULO

6.1 Construindo funções com variáveis simbólicas

Ou para mais de uma variável:

6.2 Limites

Para calcularmos ( ) utilizamos o comando ( ( ) ).

6.2.1 Limite lateral à esquerda

Para calcular o limite lateral à esquerda utiliza-se o comando ( ( ) ).

6.2.2 Limite lateral à direita

Para calcular o limite lateral à direita utiliza-se o comando ( ( ) ).

6.3 Derivadas

Para calcularmos derivadas utiliza-se o comando ( ( ) ), onde indica a ordem da derivação.

6.4 Integração

Para calcular integrais indefinidas (^) ∫ ( ) utiliza-se o comando ( ( ) ).

6.4.1 Integrais Indefinidas

stairs Gráfico em degrau hist Histograma. rose Histograma em ângulo compass Gráfico em forma de bússola. feather Gráfico em forma de pena. fplot Gráfico da função comet Gráfico com trajetória de cometa.

O comando plot é o comando mais comum para plotagem de dados bidimensionais.

Exemplo:

Plotar a função x^2 +

Podemos utilizar alguns comandos para melhorar a aparência de nosso gráfico: title (inclui um título ao gráfico), xlabel (permite que o eixo das abscissas do gráfico seja identificado), ylabel (permite que o eixo das abscissas do gráfico seja identificado).

7.1 O comando plot

x= - 10:0.5:10; y=x.^2+1; plot(x,y);

title(‘Grafico da função x^2=1’) xlabel(‘x’) ylabel(‘x’)

Como resultado o MATLAB nos retorna a uma janela denominada Figure No. 1 com o seguinte gráfico:

É possível desenhar mais que uma função no mesmo gráfico. Existem dois modos: um através do comando plot, e outro através do comando hold Por exemplo, podemos gerar no mesmo gráfico as funções sen(x), cos(x) e sen(2x).

x= 0:PI/100:6pi; y1=sin(x); y2=cos(x); y3=sin(2x); plot(x,y1,x,y2,x,y3); title(‘Grafico das funções sem(x),cos(x),sem(2x)’) xlabel(‘x’) ylabel(‘x’)

A cor e o estilo da linha e o tipo de marcador para pontos de dados na linha podem ser selecionado pelo uso de uma cadeia de caracteres de atributos após os vetores x e y na função plot. Na tabela a seguir vemos os principais valores para os atributos cores, marcadores e estilos de linha.

Cor Marcadores Estilo de Linha

y amarelo. Ponto - Sólido

m rosa(magenta) o Círculo : Pontilhado

c azul (ciano) x X -. Ponto-traço

r vermelho + Mais -- Tracejado

g verde ***** Asterisco

b azul s Quadrado

w branco v Triângulo para baixo

k preto ^ Triângulo para cima

P Pentágono

Com o comando grid podemos adicionar linhas de grade no desenho do gráfico: grid on (para incluir) e grid off ( para remover).

Legendas podem ser criadas por meio da função legend , utilizando a seguinte estrutura: legend('texto1', 'texto2’,...,posição)

Onde na ‘posição’ podem ser atríbuidos os seguintes valores de posicionamento da legenda:

Valor Significado

0 Escolha automática da melhor posição (mínimo conflito com os dados) 1 Canto superior direito 2 Canto superior esquerdo 3 Canto inferior esquerdo 4 Canto superior direito

- 1 À direita do desenho

Além do título, é possível adicionar qualquer outro texto em algum lugar específico do gráfico plotado através do comando text , com a seguinte síntese:

Onde x, y são as coordenadas nas quais desejamos que o texto apareça. Com a mesma finalidade pode ser utilizado o comando gtex t, com a diferença de com este a posição do texto é escolhida através do mouse. Tem a síntese:

O Comando axis

É possível controlar as proporções e a aparência dos eixos horizontal e vertical dos gráficos gerados pelo MATLAB através do comando axis. Alguns modos principais de configuração desse comando seguem na tabela a seguir:

text (x,y, 'texto desejado')

gtext( 'texto desejado')