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Chapter 2
Curvas Paramétricas
Introdução e Motivação: No estudo de curvas cartesianas estamos acostumando a tomar uma variável como independente e a outra como dependente, ou seja 𝑦 = 𝑓 (𝑥) ou 𝑥 = ℎ(𝑦). Porem, alguns movimentos ou caminhos são inconveniente, difícil ou impossível de ser descrito por uma função de uma variável ou formula da forma 𝑦 = 𝑓 (𝑥).
∙ Por exemplo é impossível de descreve na forma 𝑦 = 𝑓 (𝑥), o ciclóide - trajetória de um ponto pertencente a um círculo de raio 𝑅 posto a girar, sem deslizar, ao longo de uma reta situada num plano horizontal.
Deduzimos a equação do ciclóide na proxima seção. ∙ Outro exemplo, suponhamos dois aviões com mesmo velocidade percorre caminhos retas de equações 𝑦 = 2𝑥 + 3 e 𝑦 = 3𝑥 − 2 respectivamente.Será eles vão colidir? Mesmo as retas interceptando no ponto (5, 13), as equações não indicar que os aviões vão colidir.
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos Para resolve destes problemas, introduzimos curvas paramétricas. Em vez de definir 𝑦 em termos de 𝑥 ou 𝑥 em termos de 𝑦 definimos ambos 𝑥 e 𝑦 em termos de uma terceira variável chamado parâmetro.
2.1 Definição e Exemplos
2.1 Definição. Sejam um intervalo 𝐼 ⊂ ℝ e funções contínuas 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) definidas em 𝐼.
- Dizemos que a função 𝜆 : 𝐼 → ℝ^2 𝑡 → (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) é uma curva parametrizada.
- O conjunto 𝐶 = {(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)); 𝑡 ∈ 𝐼} (imagem da função 𝜆) é uma curva.
- As equações (^) ⎧ ⎨ ⎩
são equações paramétricas da curva 𝐶. Dizemos também que essas equações parametrizam a curva 𝐶.
O parâmetro 𝑡 pode ser interpretado como tempo e (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) nos dá a posição de um ponto no instante 𝑡, que se desloca no plano 𝑋𝑂𝑌. A curva 𝐶 é a trajetória descrita pelo ponto. Assim como é possível fazer um percurso de várias maneiras (mais rápida ou mais devagar, num sentido ou no outro, etc) uma dada curva pode ter várias equações paramétricas. Se o domínio do parâmetro é o intervalo fechado [𝑎, 𝑏], então (𝑥(𝑎), 𝑦(𝑎)) é o ponto inicial da curva e (𝑥(𝑏), 𝑦(𝑏)) é o ponto final da curva.
2.2 Observação. O gráfico de qualquer função pode ser pensado como uma curva parametrizada. De fato, dado uma função 𝑦 = 𝑓 (𝑥), o gráfico de 𝑓 consiste dos pontos (𝑥, 𝑓 (𝑥)), onde 𝑥
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos Logo, da observação 2.1.2, podemos parametrizar a reta por ⎧ ⎨ ⎩
(𝑡 − 𝑥 0 ) ;^ 𝑥^0 ≤^ 𝑡^ ≤^ 𝑥^1
Exemplo 2.3. Determine equações paramétricas para o círculo 𝐶 1 de raio 1 e centro na origem.
Solução Temos, 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶 1 ⇔ 𝑥^2 + 𝑦^2 = 1 Para cada ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶 1 , tomemos o ângulo 𝑡 entre 𝑂𝑋 e 𝑂𝑃 tal que 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]. Então ⎧ ⎨ ⎩
𝑥(𝑡) = cos 𝑡 𝑦(𝑡) = sen 𝑡
; 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
são equações paramétricas dessa curva.
Exemplo 2.4. Os dois pares de equações a seguir também parametrizam o círculo 𝐶 1 de raio 1 e centro na origem:
𝑖)
𝑥(𝑡) = cos (2𝑡) 𝑦(𝑡) = sen (2𝑡)
; 𝑡 ∈ [0, 𝜋] 𝑖𝑖)
𝑥(𝑡) = cos (−𝑡) 𝑦(𝑡) = sen (−𝑡)
; 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
Em i) o ponto se desloca mais rápido, percorre o círculo na metade do tempo, no sentido anti-horário. Em ii) o ponto se desloca mais devagar e em sentido horário.
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos Exemplo 2.5. Dado o círculo 𝐶 de raio 𝑟 > 0 e centro no ponto (ℎ, 𝑘) determine equações paramétricas para 𝐶.
Solução Temos, 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶 ⇔ (𝑥−ℎ)^2 +(𝑦 −𝑘)^2 = 𝑟^2 ⇔
𝑟 ,^
pertence ao círculo 𝐶 1 , dado anteriormente. Tomemos então ⎧ ⎨ ⎩
𝑦 −^ 𝑟^ 𝑘 = cos^ 𝑡 𝑟 = sen^ 𝑡
; 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
Para cada ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶 temos ⎧ ⎨ ⎩
𝑥(𝑡) = 𝑟 cos 𝑡 + ℎ 𝑦(𝑡) = 𝑟 sen 𝑡 + 𝑘
; 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
que são equações paramétricas de 𝐶.
Exemplo 2.6. Seja a elipse 𝐸 com centro no ponto (ℎ, 𝑘), eixos paralelos aos eixos coordenadas e semi-eixos 𝑎 e 𝑏. Determinar equações paramétricas para 𝐸.
Solução Temos 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 ⇔ (𝑥^ −^ ℎ)
2 𝑎^2 +
(𝑦 − 𝑘)^2
𝑏^2 = 1^ ⇔
𝑎 ,^
pertence ao círculo 𝐶 1. Tomemos então ⎧ ⎨ ⎩
𝑦 −^ 𝑎^ 𝑘= cos^ 𝑡 𝑏 = sen^ 𝑡
; 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
Para cada ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 temos ⎧ ⎨ ⎩
𝑥(𝑡) = 𝑎 cos 𝑡 + ℎ 𝑦(𝑡) = 𝑏 sen 𝑡 + 𝑘
; 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
que são equações paramétricas de 𝐸.
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos Exemplo 2.8. Determinar as equações paramétricas do astróide - trajetória descrita por um ponto 𝑃 sobre uma circunferência de raio 𝑅/ 4 rolando sem deslizar ao longo de outro círculo de raio 𝑅.
Solução
𝑡 é o ângulo varrido pelo raio 𝑂𝐴 quando o círculo rola para uma nova posição. O giro da circunferência implica que o comprimento do arco 𝐴𝐴′= o comprimento do arco 𝑃 𝐴′, ou seja, 𝑅𝑡 = 𝑅𝜃 4 ⇒ 𝜃 = 4𝑡, onde 𝜃 é o ângulo 𝑃 𝑆𝐴b ′. Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) e considere o triângulo 𝑃 𝑆𝑅, com ângulo 𝑃 𝑆𝑅b = 𝛼. Então
𝛼 = 𝜃 − 𝑡 − 180 ∘^ = 3𝑡 − 180 ∘.
As coordenadas do ponto 𝑃 satisfazem as relações:
𝑥 = ∣𝑂𝑄∣ − ∣𝑅𝑆∣ =^34 𝑅 cos 𝑡 − 𝑅 4 cos 𝛼
𝑦 = ∣𝑆𝑄∣ + ∣𝑃 𝑅∣ =^34 𝑅 sen 𝑡 + 𝑅 4 sen 𝛼
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos Como 𝛼 = 3𝑡 − 180 ∘, temos que
(2)
cos (3𝑡 − 180 ∘) = − cos (3𝑡) = 3 cos 𝑡 − 4 cos 3 𝑡 sen (3𝑡 − 180 ∘) = − sen (3𝑡) = 4 sen 3 𝑡 − 3 sen 𝑡
Substituindo (2) em (1) temos (^) ⎧ ⎨ ⎩
𝑥 = 𝑅 cos 3 𝑡 𝑦 = 𝑅 sen 3 𝑡 que são as equações paramétricas do astróide.
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.2: Construção de gráficos Solução (^) ⎧ ⎨ ⎩
𝑥 = 𝑅 cos 3 𝑡 ⇒ cos 𝑡 =
𝑦 = 𝑅 sen 3 𝑡 ⇒ sen 𝑡 =
Como
cos 2 𝑡 + sen 2 𝑡 = 1 ⇒
⇒ 𝑥^2 /^3 + 𝑦^2 /^3 = 𝑅^2 /^3
que a equação cartesiana. ■
Exemplo 2.11. Eliminar o parâmetro 𝑡 na seguinte equação paramétrica e esboçar seu gráfico (^) ⎧ ⎨ ⎩
𝑥 = √𝑡^1 + 1
Solução 𝑦 = (^) 𝑡 + 1𝑡 ⇒ 𝑡 = (^1) −𝑦 𝑦 Substituindo em 𝑥 = √𝑡^1 + 1 , temos
𝑥 = p 1 − 𝑦 ou 𝑦 = 1 − 𝑥^2. Ou seja o gráfico é parte do gráfico da parabola 𝑦 = 1 − 𝑥^2 , com 𝑥 > 0 e 𝑦 < 1.
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.2: Construção de gráficos Exemplo 2.12. Eliminar o parâmetro 𝑡 na seguinte equação paramétrica e esboçar seu gráfico (^) ⎧ ⎨ ⎩
𝑥 = 3 cos (2𝑡) 𝑦 = 1 + 2 cos 2 (2𝑡)
Solução 𝑥 = 3 cos (2𝑡) ⇒ cos (2𝑡) = 𝑥 3 Substituindo em 𝑦 = 1+2 cos 2 (2𝑡), temos
𝑦 = 1 +
2
Ou seja o gráfico é parte do gráfico da parabola 𝑦 = 1 + 𝑥
2 9 percorrida duas vezes, com − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3 e 1 ≤ 𝑦 ≤ 2.
∙ MÉTODO III: Usando Noções de Calculo A a) Pontos de interseção com os eixos, caso existem,ou fácil de calcular b) Pontos de auto-interseção - pontos por onde a curva passa duas vezes (ou seja em dois instantes diferentes), caso existem, c) Os tangentes horizontais
𝑑𝑡 = 0^ e^
caso existem,
d) Os tangentes verticais
𝑑𝑡 = 0^ e^
caso existem, e) Estudo de crescimento e decrescimento de 𝑥 e 𝑦
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.2: Construção de gráficos
- Crescimento e decrescimento
sinal de 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − − − − −^ + + + + + + ++^ + + + + ++ − − − − −−^ 𝑡 crescimento de 𝑥 descrescente descrescente crescente crescente
sinal de 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − − − − −^ − − − − −−^ + + + + ++ + + + + +^ 𝑡 crescimento de 𝑦 descrescente crescente^ crescente descrescente
𝑡 = 0 𝑡^ =^ ±√^3
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.3: Exercícios
2.3 Exercícios
[1] Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando 𝑡 nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(1.1)
𝑥 = 𝑡^2
𝑦 = 𝑡^3
𝑥 = 𝑡^5 − 4 𝑡^3
𝑦 = 𝑡^2
𝑥 = 𝑒^2 𝑡
𝑦 = 𝑡^3 + 2𝑡
𝑥 = 2 cotg 𝜃 𝑦 = 2 sen 2 𝜃
𝑥 = 𝑡(𝑡^2 − 2)
𝑦 = 2(𝑡^2 − 1)
𝑥 = 1 +^3 𝑡 𝑡 3
2 1 + 𝑡^3
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.4: Reta Tangentes Da mesma forma
, desde que 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ∕= 0
Exemplo 2.14. Ache as retas tangentes ao curva paramétrica dada por ⎧ ⎨ ⎩
𝑥 = 𝑡^3 − 2 𝑡
𝑦 = 2𝑡^2 − 2
no ponto (0, 2).
Solução 𝑚 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
Quando 𝑥 = 0, 𝑦 = 2 ⇒ 𝑡 = ±√ 2
Para 𝑡 = −
Então a reta tangente no ponto (𝑡 = −√2) é
𝑦 = 2 −
Para 𝑡 = √ 2 , 𝑚 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥
∣𝑡=√ 2 =^
Então a reta tangente no ponto (𝑡 = √2) é 𝑦 = 2 + √ 2 𝑥
■
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.4: Reta Tangentes ∙ Cálculo de 𝑑
𝑑𝑥^2 :
Para calcular a segunda derivada usamos a regra da cadeia duas vezes:
𝑑^2 𝑦
𝑑𝑥^2 =^
Exemplo 2.15. Calcule a segunda derivada da seguintes equações paramétricas ⎧⎨ ⎩
𝑥 = 𝑡^3 − 2 𝑡
𝑦 = 2𝑡^2 − 2
no ponto (0, 2)
e diga se ela tem concavidade voltada para baixo ou para cima neste ponto.
Solução
𝑑^2 𝑦 𝑑𝑥^2 =
3 𝑡^2 − 2
3 𝑡^2 − 2
(3𝑡^2 − 2)^2
3 𝑡^2 − 2
= −^12 𝑡
(3𝑡^2 − 2)^3
Quando 𝑥 = 0, 𝑦 = 2 ⇒ 𝑡 = ±√2, Logo 𝑑^2 𝑦 𝑑𝑥^2
∣𝑡=±√ 2 =^ −^12 <^0
Portanto a concavidade é voltada para baixo on ponto (0,2).
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.6: Áreas
2.6 Área de curvas paramétricas
Determinamos a área sobre uma curva dado por equações paramétricas: ⎧ ⎨ ⎩
𝑡 ∈ [𝛼, 𝛽] (∗)
tais que 𝑡 1 ∕= 𝑡 2 ⇒ (𝑥(𝑡 1 ), 𝑦(𝑡 1 )) ∕= (𝑥(𝑡 2 ), 𝑦(𝑡 2 ))
(não queremos repetir trechos da curva).
Recordamos que a área sob uma curva 𝑦 = 𝐹 (𝑥) de 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 é
𝐴 =
Z 𝑏
𝑎^ 𝐹^ (𝑥)^ 𝑑𝑥,^ (∗∗)^ onde^ 𝐹^ (𝑥)^ ≥^ 0.
Usando a equação paramétrica (∗) como uma mudança na integral definida (∗∗),
∙ Vamos supor que quando 𝑥 = 𝑎, 𝑡 = 𝛼 (ou seja 𝑓 (𝛼) = 𝑎) e quando 𝑥 = 𝑏, 𝑡 = 𝛽 (ou seja 𝑓 (𝛽) = 𝑏.) ∙ 𝑑𝑥 = 𝑓 ′(𝑡) 𝑑𝑡 ∙ 𝑦 = 𝐹 (𝑥) = 𝐹 (𝑓 (𝑡)) = 𝑔(𝑡)
Substituindo em (∗∗), temos que área é
𝐴 =
Z 𝛽
𝛼^ 𝑔(𝑡)𝑓^
Exemplo 2.16. Determine a área por baixo da ciclóide
𝑥 = 6(𝑡 − sen 𝑡) 𝑦 = 6(1 − cos 𝑡)
Solução
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.6: Áreas Observe que não há trechos repetidos. Logo
𝐴 =
Z 2 𝜋
0
Z 2 𝜋
0 6(1 − cos 𝑡) ⋅ 6(1 − cos 𝑡) 𝑑𝑡 = 36
Z 2 𝜋
0 (1 − 2 cos 𝑡 + cos 2 𝑡) 𝑑𝑡 = 36
Z 2 𝜋
0
1 − 2 cos 𝑡 + 1 + cos 2 2 𝑡
Z 2 𝜋
0 (3 − 4 cos 𝑡 + cos 2𝑡) 𝑑𝑡
= 18
3 𝑡 − 4 sen 𝑡 +^12 sen 2𝑡
0 = 108 𝜋.
Exemplo 2.17. Calcular a área da região do plano limitada pelo laço da curva 𝐶 de
equações paramétricas
3 3 +^ 𝑡 𝑦 = 𝑡^2 − 1
Solução
∙ Estudo de crescimento e decrescimento de⎧ 𝑥 e 𝑦 : ⎨ ⎩
𝑑𝑡 =^ −𝑡
⎧^ 𝑑𝑡^ = 2𝑡
𝑑𝑡 = 0^ ⇒^ 𝑡^ = 0^ ⇒
𝑑𝑡 = 0^ ⇒^ 𝑡^ =^ −^1 ⇒
ou 𝑡 = 1 ⇒
𝑥 =^23
