MATLAB
OPERAÇÕES
COM MATRIZES
Paulo Santos Nº 1026
Manuel Rua Nº 1024
António Almeida Nº 1023
Helder Regada Nº 960
Instituto Politécnico de Viseu
Escola Superior De Tecnologia e Gestão de Lamego
Engenharia Informática e Telecomunicações
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Matrizes em MATLAB: Criação, Obtenção e Manipulação de Elementos, Notas de estudo de Informática
Saiba como criar, obter e manipular elementos de matrizes em matlab. Aprenda a criar matrizes, especificar índices para obter elementos individuais ou submatrizes, e utilizar funções como eye, rand e randn para gerar matrizes elementares. Além disso, saiba como utilizar o operador ':' para gerar sequências de números e obter submatrizes usando a notação ':'.
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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OPERAÇÕES
COM MATRIZES
Paulo Santos Nº 1026 Manuel Rua Nº 1024 António Almeida Nº 1023 Helder Regada Nº 960 Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior De Tecnologia e Gestão de Lamego Engenharia Informática e Telecomunicações
Criação de Matrizes
Uma matriz é uma estrutura de dados bidimensional que permite guardar números de uma forma ordenada e indexável. Uma matriz pode ser expressa como um escalar (matriz 1 x 1), como um vector (matriz 1 x n ou n x 1) ou como uma matriz propriamente dita (matriz m x n). Os valores de uma Matriz são colocados entre parentesis rectos, sendo que, os elementos de uma coluna são separados por um espaço ou por uma vírgula, e as linhas são separadas por ponto e vírgula. É também necessário ter em mente, ao nomear as matrizes, que o Matlab faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas. Para criar, por exemplo, a seguinte matriz A com duas linhas e três colunas: A = 1 2 3 4 5 6
Dada uma matriz, os seus elementos podem ser obtidos especificando os índices das suas linhas (i) e colunas (j), sendo que A(i, j) representa o elemento a ij da matriz A. Em notação Matlab, para obter o elemento A(1,3) , da matriz anterior, pode-se escrever:
A(1,3) ( De notar que se escreve sempre na forma matriz(linha,coluna )) ans = 3 Para alterar o valor do elemento A(1,3) para 7 : A(1,3)= 7 A = 1 2 7 4 5 6
Índices
Os índices das matrizes são listas de números que podem ser armazenadas em vectores declarados previamente. Se pretendermos por exemplo, extrair a segunda linha da matriz podemos fazer :
v= A(2,[1 2 3]) v= 4 5 6 ou declarando primeiro um vector para os índices das colunas: k= [1 2 3] v= A(2,k) v= 4 5 6
Índices
A criação de vectores elemento a elemento é bastante morosa e para matrizes de grandes dimensões quase irrealizável. O Matlab permite gerar sequências de números de forma rápida se fizermos uso do operador “ : ”. Por exemplo, para gerar o vector v =[1,2,3,...,100] podemos fazer :
v= 1: A notação geral para o operador “ : ” é a seguinte : número_inicial : incremento : número_final Por exemplo, usando 2 como incremento : c=1:2: c = 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Operador “ : ”
O operador “ : ” permite a geração de sequências de números inteiros como no exemplo anterior ou mesmo de números reais. Eis alguns exemplos:
d=1:pi/20:pi (pi é igual a 3.1416) d = Columns 1 through 7 1.0000 1.1571 1.3142 1.4712 1.6283 1.7854 1. Columns 8 through 14 2.0996 2.2566 2.4137 2.5708 2.7279 2.8850 3. e=5:-1:- e = 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -
Operador “ : ”
No caso anterior são indexadas todas as linhas da matriz. Para simplificar a notação, quando não se conhece exactamente o número de linhas de uma matriz, pode-se utilizar a notação :
B=a(:,1:2:3) B = 1 3 5 7 9 11 Se quiséssemos obter a primeira linha da matriz A podíamos escrever : A (1,:) ans = 1 2 3 4
Operador “ : ”
As funções seguintes permitem a criação de algumas matrizes elementares:
- zeros Cria uma matriz preenchida com zeros
- ones Cria uma matriz preenchida com uns
- eye Cria a matriz identidade
- rand Cria uma matriz de números aleatórios com distribuição uniforme
- randn Cria uma matriz de números aleatórios com entradas normalmente distribuídas (média 0 e desvio padrão 1)
Matrizes Elementares
n=rand(3) n = 0.9501 0.8913 0. 0.2311 0.7621 0. 0.6068 0.4565 0. A= randn(1,3)i (“i” representa a unidade imaginária) A = 0 + 0.1746i 0 - 0.1867i 0 + 0.7258i É ainda possivel combinar as diferentes funções, por exemplo: B = [ones(3) zeros(3,2); zeros(2,3) 4eye(2)] B = 1 1 1 0 0 Cria uma matriz B usando submatrizes 1 1 1 0 0 elementares: ones, zeros, e a matriz 1 1 1 0 0 identidade de tamanhos específicos. 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4
Matrizes Elementares
Concatenar matrizes consiste em formar matrizes a partir de outras mais pequenas. A notação é idêntica à utilizada para formar matrizes com números. Os seguintes exemplos ilustram a concatenação de matrizes.
a= [1,2; 3,4] a= 1 2 3 4 A= [a a; a a] (Matriz 4x4, formada a partir da matriz a anterior) A= 1 2 1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4
Concatenação de Matrizes
É possível remover de uma dada matriz qualquer conjunto de linhas e colunas. Para tal, basta atribuir o valor de uma matriz vazia definida por “[ ]” às linhas e colunas que se pretende remover. No exemplo que se segue, elimina-se a 2ª coluna da matriz A.
a= [1 2; 3 4]; A remoção de um elemento isolado de uma >>A= [a a; a a] matriz não é possível uma vez que esta deixaria A= 1 2 1 2 de respeitar as propriedades de uma matriz 3 4 3 4 >>A (1,2)=[ ] 1 2 1 2 ??? Indexed empty matrix assignment is not 3 4 3 4 allowed. (operação não é permitida pelo Matlab) A (:,2)= [ ] ( A 2º coluna da matriz A foi removida ) A= 1 1 2 3 3 4 1 1 2 3 3 4
Remoção de Linhas e colunas
Quando as matrizes são de grande dimensão torna-se bastante incómodo para o utilizador a apresentação do resultado no ecrã do computador de todos os cálculos efectuados. Para evitar a apresentação dos resultados basta colocar no final da linha de comando um ponto e vírgula tal como o seguinte exemplo demonstra:
g=[1:500;501:1000];
Supressão de Resultados
Soma de Matrizes:
C= A+B ( A soma de matrizes só é válida se A e B são do mesmo C = tamanho.) 14 16 18 20 -3 -1 1 3 26 28 30 32 18 20 22 24 Subtracção de Matrizes: D= A-B ( A subtracção de matrizes só é válida se A e B são do D = mesmo tamanho.
-12 -12 -12 - 13 13 13 13 -8 -8 -8 - -24 -24 -24 -
Cálculos entre Matrizes
Multiplicação de Matrizes :
E= AB ( A subtracção de matrizes só é válida se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. E = 132 142 152 162 304 330 356 382 476 518 560 602 -40 -46 -52 - Produto interno entre dois vectores linha x e y : x= 1:4 ( x = 1 2 3 4) y= 3:6 ( y = 3 4 5 6) g = xy’ (vector x * transposta do vector y) g= 50