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TCC sobre o Problema da Programação Linear pelo método Simplex
Tipologia: Teses (TCC)
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José Lucyan Mendonça de Almeida
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Apresentação do Trabalho de Conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática
Maceió-AL, Março de 2010
José Lucyan Mendonça de Almeida IM-UFAL
a
José Lucyan Mendonça de Almeida IM-UFAL
Von Neumann em 1928 sobre a aplicação do teorema do
mínimo-máximo aos jogos de estratégias.
Hitchcook em 1941 desenvolveu o problema do transporte,
e depois por Koopmans em 1947.
Stigler em 1945 formulou o problema de dieta.
José Lucyan Mendonça de Almeida IM-UFAL
Origina-se de um jogo proposto em 1857 por Willian Rowan
Hamilton denominado Around the World feito sobre um
dodecaedro.
José Lucyan Mendonça de Almeida IM-UFAL
Maximizar ou Minimizar f (x) = c 1 x 1
satisfazendo às restrições:
a 11 x 1
a 21 x 1
a m 1 x 1
José Lucyan Mendonça de Almeida IM-UFAL
Maximizar ou Minimizar f (x) = c 1 x 1
satisfazendo às restrições:
a 11 x 1
a 21 x 1
a m 1 x 1
x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 ≥ 0 ,... , x n
José Lucyan Mendonça de Almeida IM-UFAL
Maximizar ou Minimizar f (x) =
n ∑
j= 1
c j x j
satisfazendo as restrições:
n ∑
j= 1
a ij x j ≤ b i , (i = 1 , 2 ,... , m)
e,
x j ≥ 0 , (j = 1 , 2 ,... , n).
José Lucyan Mendonça de Almeida IM-UFAL
Ou ainda na notação matricial.
Sejam:
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
a m 1 a m 2 · · · amn
, x =
x 1
x 2
xn
, b =
b 1
b 2
bn
e, c =
c 1 c 2 · · · c n
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Propriedade
Qualquer problema de maximização pode ser convertido num
problema de minimização, uma vez que maximizar f (x) é
equivalente a minimizar −f (x).
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Exemplo
Vamos considerar para cada i = 1 , 2 ,... , m e para cada
j = 1 , 2 ,... , n as seguintes variáveis:
x j a quantidade do alimento j na dieta.
c j o custo unitário do alimento j.
bi a quantidade mínima da vitamina i que deve ser obtida
dos n alimentos.
a ij a quantidade da vitamina i que deve ser obtida do
alimentos j.
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Exemplo
1 f (x) = c 1 x 1
Reais da quantidade do alimento consumido.
2 As restrições indicam que o total da vitamina i obtida dos n
alimentos deve ser maior ou igual que a quantidade
mínima bi desta vitamina.
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2
Maximizar f (x) = c 1 x 1
sujeita as restrições:
a 1 , 1 x 1
a 2 , 1 x 1
a r , 1 x 1
e as condições de não-negatividade x 1 ≥ 0 e x 2
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2
Figura: O semi-plano selecionado é o que contém o ponto P.
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2
Figura: Duas de suas retas de nível da função f (x).
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