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Árvores Conceito de árvore Definição recursiva de árvore Definições associadas a árvore Representações de árvores Ordenação dos nós de uma árvore
CONCEITO DE ÁRVORE
Tantos as pilhas como as filas são estruturas lineares, isto é, de uma única dimensão.
Na sua implementação, as listas ligadas possibilitam maior flexibilidade que os vetores, mas mesmo assim não permitem a representação hierárquica de dados.
Árvores ( trees ) são estruturas hierárquicas , formadas por vértices e arestas. Ao contrário das árvores naturais, são representadas de cima para baixo: a raiz está no topo e as folhas na base.
CONCEITO DE ÁRVORE
Cada nó tem um e apenas um pai (exceto a raiz)
Cada nó tem zero ou mais filhos
Um nó não pode ter um ancestral como filho Caso contrário, surgiria um ciclo...
Árvore é uma estrutura recursiva: cada filho é também uma árvore.
CONCEITO DE ÁRVORE
Cada elemento: Tem um único pai (exceto a raiz) Pode ter vários filhos Não pode ser pai de nenhum ancestral
A raiz é o único nó que
não possui ancestrais.
Ex: A
As folhas são os nós
sem filhos.
Ex: E, F, G, I, J, K
Árvore nula: sem nós
Exemplos:
CONCEITO DE ÁRVORE CONCEITO DE ÁRVORE
O número de filhos por nó e as informações armazenadas diferenciam os tipos de árvores.
A árvore ao lado representa
a expressão (3+6)*(4-1)+5:
as folhas possuem valores e
os nós intermediários,
operadores matemáticos.
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DEFINIÇÃO RECURSIVA DE ÁRVORE
Um único nó, por si mesmo, é também uma árvore sem filhos, onde ele é a raiz. Seja n um nó e T 1 , T 2 , ... , Tk , árvores de raízes n 1 , n 2 , ..., nk , respectivamente. Pode-se construir uma nova árvore tornando n pai de n 1 , n 2 , ..., nk.
n 1
T 1
n 2
T 2
n 3
T 3
nk
Tk
n
Comprovação de que a figura abaixo é uma
árvore:
I, J, K são árvores sem filhos
H é raiz de uma nova árvore F e G são árvores sem filhos
C é raiz de uma nova árvore
E é uma árvore sem filhos
B é raiz de uma nova árvore Como B, C e D são árvores, A é raiz de uma nova árvore
DEFINIÇÃO RECURSIVA DE ÁRVORE
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DEFINIÇÕES
Filho esquerdo de um nó é o seu único filho ou o
primeiro filho mais à esquerda.
B é o filho esquerdo de A
F é o filho esquerdo de C
H é o filho esquerdo de D
DEFINIÇÕES
Irmão direito de um nó é o irmão
imediatamente à direita desse nó.
Nó sem irmão direito é chamado de caçula.
C é o irmão direito de B
K é o irmão direito de J
H, G, K são caçulas
E é primogênito e caçula
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REPRESENTAÇÕES DE ÁRVORES
a) Forma convencional
b) Diagrama de conjuntos
REPRESENTAÇÕES DE ÁRVORES
Identificação recursiva de uma forma parentética:
Sendo c um caractere genérico, (c) é uma forma parentética correta. Se α 1 , α 2 , α 3 , ..., αn são formas parentéticas corretas, com n > 0, então (c α 1 α 2 α 3 ... αn) também será.
(A (B (E)) (C (F) (G)) (D (H (I) (J) (K))) )
c) Forma parentética Coloca-se entre parêntesis a raiz,seguida das formas parentéticas de suas sub-árvores, ordenadas da esquerda para a direita
d) Forma tabulada Diretoria Departamento de Fabricação Seção de Prensas Seção de Tornos Seção de Ferramentaria Seção de Fornos Seção de Banhos Químicos Departamento de Engenharia de Produção Seção de Desenvolvimento de Projetos Seção de Desenhos Seção de Controle de Qualidade Departamento de Manutenção Seção de Eletricistas Seção de Mecânica Seção de Hidráulica Seção de Instalações Prediais
Cada nó aparece numa linha, e seus filhos são listados com uma tabulação a mais que a desse nó. Ex: organograma de uma empresa, índice de livros, etc.
REPRESENTAÇÕES DE ÁRVORES
e) Forma numerada (ou itemizada)
1 – Estruturas de dados 1.1 – Listas lineares 1.1.1 – Estrutura contígua 1.1.2 – Estrutura encadeada 1.1.3 – Pilhas e filas 1.2 – Árvores 1.2.1 – Definições 1.2.2 – Estruturas de dados 1.2.3 – Árvores binárias 1.3 – Grafos 1.3.1 – Grafos orientados 1.3.2 – Grafos não orientados
Semelhante à anterior: a numeração de um nó tem como prefixo o número de seu pai, e como sufixo um número que o diferencie dos irmãos.
REPRESENTAÇÕES DE ÁRVORES
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ORDENAÇÃO DOS NÓS DE UMA ÁRVORE
a) Ordenação dos filhos de um nó
Os filhos de um nó são ordenados da esquerda para a direita Por exemplo, as duas árvores abaixo têm o mesmo pai e os mesmos filhos, mas são diferentes:
ORDENAÇÃO DOS NÓS DE UMA ÁRVORE
b) Extensão da ordenação da esquerda para a
direita
Se X e Y são irmãos e X está à direita de Y, então todos os descendentes de X estão à direita de todos os descendentes de Y.
Exemplo: C e D são irmãos e C está à esquerda de D F e G estão à esquerda de D, H, I, J e K J não está nem à direita nem à esquerda de H, D, e A
ORDENAÇÃO DOS NÓS DE UMA ÁRVORE
c) Ordenação de todos os nós de uma árvore
Existem formas de se ordenar e de se percorrer sistematicamente todos os nós de uma árvore: Ordenação ou percurso por nível Ordenação ou percurso em pré-ordem Ordenação ou percurso em pós-ordem Ordenação ou percurso em ordem central (ou in-ordem)
Busca em largura
Busca em profundidade
PERCURSO POR NÍVEL (OU LARGURA)
Passos:
Primeiramente, visita-se a raiz
Depois visitam-se todos os filhos da raiz, da esquerda para a direita
Depois os descendentes dos filhos da esquerda para a direita, e assim por diante...
Também é chamada busca ou percurso em largura
A B C D E F G H I J K
COMO IMPLEMENTAR O PERCURSO POR NÍVEL (OU
LARGURA)?
Implementação com
uso de fila:
Depois que um nó é
PERCURSO EM ORDEM-CENTRAL
Artifício manual: anotar um nó folha ao passar por ele pela 1ª vez e um nó não-terminal ao passar por ele pela 2a vez.
E B A F C G I H J K D
void OrdCentral (node n) { if (n é folha) Escrever (n); else { OrdCentral (Filho esquerdo de n); Escrever (n); for (cada filho c de n, exceto o esquerdo, da esquerda para a direita) OrdCentral (c); } }
