ARVORES BINÁRIAS B e B++, Resumos de Sistemas de Informação

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Árvores B

IFRN/RN

Árvores B

• Criadas por Bayes e McCreight em 1972

• Em algumas aplicações a quantidade de

dados é muito grande para que as chaves

possam ser armazenadas somente em

memória

• É necessário o uso de memória

secundária, o que ocasiona um gasto de

tempo significativo para acesso a um só

nó dos dados

Árvores B

• Definição:

– Seja t a ordem da árvore B. Uma árvore B

de ordem t é uma árvore ordenada que é

vazia, ou que satisfaz as seguintes

condições:

1. A raiz é uma folha ou tem no mínimo dois filhos;

2. Cada nó diferente do raiz e das folhas possui no

mínimo t filhos;

3. Cada nó tem no máximo 2t filhos;

4. Todas as folhas estão no mesmo nível

Árvores B

• Como conseqüência da definição:

– Cada nó (página) possui entre t-1 e 2t-

chaves, exceto o raiz que possui entre 1 e

2t-1 chaves

Árvores B

• Busca

– Compara a chave x com a(s) chave(s) do no

raiz. Se a chave nao estiver no raiz, a busca

deve prosseguir em um certo filho dessa

página.

– Escolhe-se qual filho explorar de forma

parecida com a pesquisa realizada na

árvore binária de pesquisa

Árvores B

• Busca a chave R

M

D H Q T X

B C F G J K L N P R S V W Y Z

R > M

Q < R < T

R = R

Árvores B

T=

Inserir B

G M P X

A C D E J K N O R S T U V Y Z

G M P X

A B C D E J K N O R S T U V Y Z

Árvores B

Inserir Q G M P X

A B C D E J K N O Q R S T U V Y Z

G M P T X

A B C D E J K N O Q R S U V Y Z

Árvore B

• Remover

– Passos:

• Usar o procedimento de busca
• Segue com um dos três casos abaixo:

Árvore B

• Remover

1) Se a chave x está no nó x e x é folha, elimine

x do nó

Remover E

A B C D E J K L N O

G M

A B C D J K L N O

G M

Árvore B

• Remover

2) Se a chave x está no nó s e s é interno, faça:

b) Se o filho z posterior a x no nó s tem pelo menos

t chaves (uma a mais que o mínimo), remova x e

coloque a chave k sucessor de x

Remover M

A B C D J K N O P

G M

A B C D J K O P

G N

z k x

Árvore B

• Remover

2) Se a chave x está no nó s e s é interno, faça:

c) Se os filhos y e z a x no nó s tem pelo menos t-

chaves cada um, remova x e faça uma fusão nos

nós y e z

Remover M

A B C D J K O P

G M

A B C D J K N O

G

z x y

Árvore B

• Remover

3) Se a chave x está no nó s e s é externo com

t-1 chaves, faça:

b) Se o nó s tem t-1 chaves e o irmão y ou z tem

também t-1 chaves, remova x e faça uma fusão

com y ou z

Remover K

A B J K O P

G M

z x y (^) s

A B J M O P

G

Árvore B

• Exemplo remoção, t=

– Remover F

J K L N O Q R S U V Y Z

P

C G M T X

A B D E F