Baixe Classificação de Cônicas no Plano e Quadráticas no Espaço: Teorema do Discriminante e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
- y 2 7 5 = 1 x 2 èçæ ø÷ö 7 2 2 – y 2 èçæ ø÷ö 7 5 2 = 1 , que é uma hipérbole Exemplo 2: x 2 + y 2 – 6x – 2y + 8 = 0 (x – 3) 2 + (y – 1) 2 = 2 x 1 2 + y 1 2 = 2 onde x 1 = x – 3 e y 1 = y – 1 circunferência de raio 2 e centro(3, 1). Exemplo 3: Dada a equação na base canônica a em R 2 : 2x 2 + 2y 2 + 4xy + 4 2 x + 12 2 y – 8 = 0 nosso objetivo, mais uma vez, será determinar que figura esta cônica representa no plano. Para isto, precisamos inicialmente eliminar os termos mistos, do tipo xy, através da diagonalização da forma quadrática. 1º. Passo : Escrevendo a equação anterior na forma matricial, temos: [x y] ëêé ûúù 2 2 2 2 ëêé ûúù x y + [4 2 12 2 ] ëêé ûúù x y – 8 = 0 2º. Passo : Vamos calcular os autovalores e os autovetores ortonormais da matriz ëêé ûúù 2 2 2 2. P(l) = ëêé ûúù 2 – l 2 2 2 – l = (2 – l) 2 – 4 = – 4 l + l 2 Então os autovalores são 0 e 4. Para l1 = 0, ëêé ûúù 2 2 2 2 ëêé ûúù x y = ëêé ûúù 0 0 , e v 1 = èçæ ø÷ö – 1 2 ,
Para l2 = 4, ëêé ûúù 2 2 2 2 ëêé ûúù x y = ëêé ûúù 4x 4y , donde v 2 = èçæ ø÷ö 1 2 , 1 2 Sabemos que nesta nova base de autovetores b = {v 1 , v 2 }, a forma quadrática Q(v) = [x y] ëêé ûúù 2 2 2 2 ëêé ûúù x y onde [v]a = ëêé ûúù x y se reduz a Q(v) = [x 1 y 1 ] ëêé ûúù 0 0 0 4 ëêé ûúù x 1 y 1 se [v]b = ëêé ûúù x y 3º. Passo : Agora precisamos determinar a relação que existe entre ëêé ûúù x y e ëêé ûúù x y1 e substituir o resultado na parte linear da equação dada. L(v) = [4 2 12 2 ] ëêé ûúù x y Mas, ëêé ûúù x y = [ I ] autovetores canônica ëêé ûúù x 1 y 1 Logo ëêé ûúù x
y = ëêêé
ûúúù – 1
ëêé ûúù x 1 y 1 4º. Passo : A equação original se reduz a
Tornando x 2 = x 1 – 3 e y 2 = y 1 + 2, obtemos y 2 2 + 2x 2 – 6 = 0 ou finalmente x 2 = – 1 2 y 2 2 Assim, a equação acima representa a cônica em realçaão a um novo referencial R 3 , obtido por translação e podemos finalmente identificá-la como sendo uma parábola , conforme indica a Figura abaixo. A origem deste último referencial R 3 será x 2 = 0 e y 2 = 0, isto é, x 1
3 = 0 e y 1 + 2 = 0. Agora iremos formular o procedimento geral de classificação das cônicas, estabelecendo em detalhes o que deve ser feito em cada passo. Procedimento Geral de Classificação das Cônicas: Dada a equação (em coordenadas canônicas de R 2 ) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (A ou B ou C ¹ 0), para achar que figura ela representa no plano, devemos proceder do seguinte modo: 1º. Passo : Escrevemos a equação na forma matricial:
[x y] ëêêé
ûúúù A
B
B
2 C ëêé ûúù x y + [D E] ëêé ûúù x y + F = 0 2º. Passo : Diagonalizamos a forma quadrática para eliminar os termos mistos. Para isto, precisamos encontrar os autovalores l1 e l2 e os autovetores ortonormais v 1 e v 2 de
ëêêé
ûúúù A
B
B
2 C
3º. Passo : Obtemos as novas coordenadas. Para isto, precisamos para substituir na equação de ëêé ûúù x y = [ I ] autovetores canônica ëêé ûúù x y 4º. Passo : Substituimos as novas coordenadas na equação, obtendo a equação na nova base {v 1 , v 2 } [x 1 y 1 ] ëêé ûúù l 1 0 0 l 2 ëêé ûúù x
y1 + [D E] [ I ] autovetores canônica ëêé ûúù x y1 + F = 0 ou seja, l 1 x 1 2 + l 2 y 1 2 + ax 1 + by 1 + F = 0 5º. Passo : Eliminamos os termos lineares das coordenadas cujos autovalores são não nulos. Temos então três casos: i) l 1 e l 2 ¹ 0 l 1 x 1 2 + ax 1 + l 2 y 1 2 + by 1 + F = 0 l 1 èçæ ø÷ö x 1 + a 2 l 1 2 – a 2 4 l 1
- l + l 2 èçæ ø÷ö y 1 + b 2 l 2 2 – b 2 4 l 2
- F = 0 Seja x 2 = x 1 + a 2 l 1 e y 2 = y 1 + b 2 l 2 , temos então l 1 x 2 2 + l 2 x 2 2 + f = 0 (que é uma das equações típicas) onde f = F – a 2 4 l 1 – b 2 4 l 2 ii) l 1 ¹0 e l 1 = 0 l 1 x 1 2 + ax 1 + by 1 + F = 0 l 1 èçæ ø÷ö x 1 + a 2 l 1 2 – a 2 4 l 1
- by1 + F = 0
i) se a ¹ 0, teremos uma parábola. ii) Se a = 0, poderemos ter um par de retas paralelas, uma reta ou o vazio. (III) O caso em que l 2 = 0 é discutido de maneira análoga ao (II). Podemos resumir os resultados até aquí obtidos no seguinte teorema: Teorema: Dada uma cônica definida pela equação (*) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F =
Seja l 1 e l 2 os autovalores associados à sua forma quadrática; então: i) Se l 1. l 2 > 0 esta equação representa uma elipse, ou suas degenerações (um ponto ou o vazio) ii) Se l 1. l 2 < 0 esta equação representa uma hipérbole ou sua degeneração (par de retas concorrentes). iii) Se l 1. l 2 = 0 esta equação representa uma parábola ou suas degenerações (par de retas paralelas, uma reta ou o vazio). Podemos afirmar que o determinante associado à forma quadrática
ëêêé
ûúúù A
B
B
2 C
é igual ao produto de seus autovalores l 1. l 2. Assim o sinal de l 1. l 2 é o mesmo de – èçæ ø÷ö B 2 4 – AC , que por sua vez tem o mesmo sinal de – (B 2 – 4AC). Podemos assim reescrever o teorema anterior em função do “discriminante” B 2 – 4AC. Teorema: Dada a equação: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, esta equação no plano representará: i) uma elipse ou suas degenerações, se B 2 – 4AC < 0 ii) uma parábola ou suas degenerações, se B 2 – 4AC = 0 iii) uma hipérbole, se B 2 – 4AC > 0 QUÁDRICAS EM R 3 Definição: Uma quádrica em R 3 é um conjunto de pontos cujas coordenadas em relação à base canônica satisfazem a equação: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 com A ou B ou C ou D ou E ou F ¹ 0. Exemplos Elipsóide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 Hiperbolóide de uma folha x 2 a 2 + y 2
