Baixe Razão, Proporção e Grandezas: Exercícios e Aplicações e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity!
HABILIDADE(S) EXPECTATIVA(S) DE APRENDIZAGEM DESCRITOR(ES)
DO PAEBES / AMA
1ª Série| Ensino Médio
MATEMÁTICA
RAZÃO , PROPORÇÃO E GRANDEZAS
D027_M Resolver e elaborar problemas que envolvem grandezas determinadas pela razão ou pelo produto de outras (velocidade, densidade demográfica, energia elétrica etc.).
EF09MA07 - Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
EM13MAT314 Resolver e elaborar problemas que envolvem grandezas determinadas pela razão ou pelo produto de outras (velocidade, densidade demográfica, energia elétrica etc.).
Diferenciar taxas, índices e razões em situações contextualizadas.
Resolver problemas que envolvam taxas, índices e razões entre duas grandezas de mesma ou de diferentes espécies.
Identificar que unidades de medida (velocidade média, densidade de um corpo, densidade demográfica, potência elétrica, etc.) são definidas pela divisão e/ou pela multiplicação de outras grandezas de mesma natureza ou não.
Solucionar problemas que envolvem grandezas determinadas pela razão ou produto das medidas, como o consumo de energia elétrica de um aparelho conhecendo sua potência elétrica e seu período de funcionamento, ou o tempo necessário para que um dado pacote de dados (em Gigabytes, Megabytes etc.) se esgote conhecendo a velocidade de transferência de dados utilizada (kilobytes por segundo, megabytes por segundo etc.).
Q U I N Z E N A
1 7 / 0 3 a 2 1 / 0 3
Segundo o Instituto Jones dos Santos Neves (IJSN), o Espírito Santo abriga 18 localidades
indígenas , em sua maioria em Aracruz, e cerca de 87 localidades quilombolas , distribuídas
por 28 municípios, destacando-se Conceição da Barra e São Mateus. Esses números
permitem refletir sobre questões como densidade demográfica e a relação entre população
e território , aspectos que podem ser analisados matematicamente para entender melhor a
organização e os desafios dessas comunidades.
Por exemplo, em Aracruz, a população indígena representa 3% da população total do
município. Esse dado nos leva a pensar sobre a proporção de terras ocupadas por essas
comunidades e como elas são integradas ao restante do município. Já nas localidades
quilombolas, podemos calcular a densidade populacional para compreender a distribuição
da população em relação ao território, considerando fatores como acesso a recursos básicos,
infraestrutura e serviços públicos.
Essas análises mostram como a matemática pode ser aplicada em situações do dia a dia,
ajudando a compreender a resolução de problemas sociais e econômicos. A razão e o
produto de grandezas , como a densidade populacional e o consumo de energia por
habitante, são exemplos de ferramentas matemáticas úteis para estudar a interação entre
diferentes variáveis que impactam a vida das pessoas.
Dessa forma, o estudo das relações matemáticas entre grandezas não se limita ao papel e
aos números. Ele nos permite entender melhor o mundo em que vivemos, incluindo a
realidade das comunidades indígenas e quilombolas, cujas necessidades e desafios podem
ser incluídos com o auxílio de análises matemáticas.
Ao longo deste material, exploraremos esses conceitos matemáticos que podem ser
aplicados em contextos reais, ampliando nossa visão sobre o papel da matemática na
sociedade.
O Instituto Jones dos Santos Neves (IJSN) publicou em 2023 o décimo volume da série Cadernos Desenvolvimento Regional Sustentável - DRS. Com o tema “Povos Indígenas e Quilombolas no Espírito Santo”
ijsn.es.gov.br
Nas estradas, é importante não^ Automóvel em estrada. ultrapassar o limite de velocidade.
VELOCIDADE MÉDIA
A medida da velocidade média é obtida pela razão entre a medida da distância percorrida e a medida do intervalo de tempo gasto.
Se um automóvel percorreu 240 quilômetros em 3 horas, então a medida de
velocidade média dele, em quilômetros por hora, é calculada pela razão entre 240 e 3.
ou seja, 80 km/h. ( Lemos: oitenta quilômetros por hora.)
ou seja, 80 hab./km² (Lemos: oitenta habitantes por quilômetro quadrado.)
DENSIDADE DEMOGRÁFICA
O valor da densidade demográfica de uma região é obtido pela razão entre a quantidade de habitantes da população e a medida de área da região.
Se um município tem população de 12 000 habitantes e medida de área de 150 km² , então, dizemos que o valor da densidade demográfica desse município é a razão entre 12 000 e 150.
DENSIDADE DE UM CORPO
O valor da densidade é obtido pela razão entre a massa de um corpo e o volume que ele ocupa.
Densidade de um corpo é uma grandeza física que relaciona a massa de um objeto com seu volume. Ela indica quanto de matéria está concentrada em uma determinada unidade de volume e é uma característica importante para identificar substâncias ou materiais.
Suponha que você tenha um bloco de madeira com uma massa de 500 g e um volume de 250 cm³. Para calcular a densidade desse bloco, basta dividir a massa pelo volume: ou seja, 2g/cm³ (Lemos: 2 gramas por centímetro cúbico)
Isso significa que a densidade do bloco de madeira é de 2 g/cm³.
canva
Veremos a seguir algumas razões envolvendo grandezas de espécies diferentes.
VELOCIDADE DE TRANSFERÊNCIA DE DADOS
A razão de transferência de dados é um número que representa a velocidade com que os dados fluem entre dispositivos ou através de uma rede. Essa razão pode ser medida em diferentes unidades de tempo, como segundos, minutos ou horas, e geralmente é expressa em unidades como bits por segundo (bps) , bytes por segundo (B/s) , kilobits por segundo (kbps) , megabits por segundo (Mbps) , ou gigabits por segundo (Gbps) , dependendo do volume de dados transmitidos.
O valor da velocidade de transferência de dados é obtido pela razão entre a quantidade de dados transmitidos e o tempo de transmissão.
Se você tem uma conexão de internet que transmite 20 megabytes (MB) de dados em 10 segundos, a velocidade de transferência seria calculada da seguinte forma: Converta megabytes para megabits : 1 byte = 8 bits, portanto, 20 MB = 160 megabits (Mb). Cálculo da velocidade de transferência : ou seja, 16 Mbps (Lemos: 16 megabits por segundo.)
Isso significa que a velocidade de transferência da sua conexão de internet foi de 16 megabits por segundo.
CONSUMO DE ENERGIA ELÉTRICA
O valor do consumo de energia elétrica ( E ) é obtido pela multiplicação (produto) entre a potência do aparelho (P) e o tempo (t) de uso.
Assim temos:
Consumo de energia elétrica é a quantidade de energia utilizada por um equipamento ou sistema durante um determinado período. Ele é medido em unidades como o watt-hora (Wh) ou o quilowatt-hora (kWh), onde:
Watt-hora (Wh): representa o consumo de 1 watt de potência durante 1 hora. Quilowatt-hora (kWh): equivale a 1 000 watts consumidos em 1 hora e é a unidade mais comum para calcular o consumo doméstico e industrial.
E = P ⋅ t
Onde: E é o consumo de energia (em Wh ou kWh); P é a potência do aparelho (em watts, W); t é o tempo de uso (em horas, h).
Veremos a seguir um produto envolvendo grandezas de espécies diferentes.
Quando duas grandezas variam de forma que a razão entre elas se mantém
constante, dizemos que elas são proporcionais. Isso significa que, se uma grandeza aumenta, a outra também aumenta ou diminui de forma correspondente, mantendo
sempre a mesma razão.
Veja exemplos de grandezas proporcionais :
GRANDEZAS PROPORCIONAIS E NÃO PROPORCIONAIS
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Imagine que você está realizando o download de arquivos de um serviço de
armazenamento em nuvem. A velocidade da sua internet é de 10 megabytes por
segundo (MB/s). Isso significa que, para cada segundo de download, você consegue
transferir 10 MB de dados. Se você precisar baixar um arquivo de 50 MB , o tempo necessário será proporcional ao tamanho do arquivo. Se a velocidade da internet
permanecer constante, a razão entre o tamanho do arquivo e o tempo de download
será sempre a mesma. Assim:
as grandezas : tamanho do arquivo e tempo são grandezas proporcionais. existe uma razão constante entre elas.
GRANDEZAS NÃO PROPORCIONAIS
Quando duas grandezas não estão relacionadas de forma direta ou inversa, dizemos que elas são grandezas não proporcionais. Ou seja, não há uma razão fixa que relacione essas
grandezas de maneira constante.
Exemplo de Não Proporcionalidade :
No Festival Ybyporã – Celebrando a Terra
Sagrada, realizado na Aldeia Irajá, em
Aracruz, o tempo de duração das
celebrações não está diretamente
relacionado ao número de participantes. O
evento pode durar várias horas ou até dias,
reunindo danças, cantos e outras expressões
culturais, mas a duração do festival não
depende de quantas pessoas estão
presentes.
Neste caso: o tempo do ritual e o número de pessoas envolvidas não são grandezas proporcionais. não existe uma razão constante entre elas.
Festival Ybyporã – Celebrando a Terra Sagrada’ na Aldeia Irajá, em Aracruz
es.gov.br
EXERCÍCIO 1
SOLUÇÃO
Esse problema incentiva a compreensão de proporções e permite refletir sobre as principais causas de infrações no trânsito e como reduzi-las para um trânsito mais seguro. Discuta o tema em sala de aula!
Em uma campanha educativa, foi observado que, em um período de 35 dias, ocorreram 15 infrações de trânsito por excesso de velocidade e 20 por estacionamento irregular em uma determinada região. Com base nessa situação, responda: a) Qual é a razão entre a quantidade de infrações por estacionamento irregular e o total de infrações registradas nesse período? b) Qual é a razão entre a quantidade de infrações por excesso de velocidade e a quantidade de infrações por estacionamento irregular? c) Qual é a razão entre a quantidade de infrações por estacionamento irregular e a quantidade de infrações por excesso de velocidade?
Sabemos que: Total de infrações = 35 Infrações por excesso de velocidade = 15 Infrações por estacionamento irregular = 20 Agora, vamos resolver cada item: a) A razão é calculada dividindo a quantidade de infrações por estacionamento irregular pelo total de infrações:
Simplificando:
c) A razão é calculada dividindo a quantidade de infrações por estacionamento irregular pela quantidade de infrações por excesso de velocidade:
b) A razão é calculada dividindo a quantidade de infrações por excesso de velocidade pela quantidade de infrações por estacionamento irregular:
Razão = __________________________________________Infrações por estacionamento irregular Total de infrações
= ___^2035
___ = 4
___
Razão = __________________________________________Infrações por excesso de velocidade^ =
Infrações por estacionamento irregular^20
___ = 3
___
Razão = __________________________________________Infrações por estacionamento irregular^ = (^2015) Infrações por excesso de velocidade
___ = 4
___
Sugerimos a leitura do texto da página: 125 , para que os estudantes exercitem a habilidade de leitura de textos científicos interdisciplinares e reforcem a habilidade EM13MAT.
LIVRO MATEMÁTICA EM CONTEXTOS -
FUNÇÃO EXPONENCIAL, FUNÇÃO LOGARÍTMICA E
SEQUÊNCIAS
RAZÕES
RAZÃO ENTRE
GRANDEZAS DIFERENTES
GRANDEZAS
PROPORCIONAIS
SAIBA MAIS APONTANDO O CELULAR PARA
O QR CODE ABAIXO OU CLIQUE NO BOTÃO.
ATIVIDADE 1
ATIVIDADE 2
A) 0,003 habitante por km² B) 0,310 habitantes por km² C) 32,2 habitantes por km² D) 322 habitantes por km² E) 427 habitantes por km²
Lucas e sua família planejam uma viagem de carro de Vitória até o Rio de Janeiro. A distância total da viagem é de 518 quilômetros. Eles dirigem por 3 horas e depois param para almoçar por 1 hora. Após o almoço, continuam a viagem e dirigem durante 4 horas até chegar ao destino. Lucas quer calcular a velocidade média da viagem, incluindo o tempo de parada para o almoço. Qual é a velocidade média aproximada da viagem de Lucas? A) 60 km/h B) 65 km/h C) 70 km/h D) 75 km/h E) 80 km/h
A cidade de Marataízes, no litoral Sul do Espírito Santo, possui uma área de 130,268 km² e uma população de 41 929 habitantes, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) no ano de 2022. O prefeito de uma cidade vizinha está curioso para saber qual é a densidade demográfica de Marataízes, pois está considerando um projeto de desenvolvimento urbano similar para sua cidade. Qual é, aproximadamente, a densidade demográfica da cidade de Marataízes?
marataizes.es.gov.br
ATIVIDADE 6
ATIVIDADE 7
A vazão é uma medida do volume de fluido (como água, ar ou outro líquido/gás) que passa através de um ponto ou uma superfície em um determinado intervalo de tempo,
ou seja,. Joana está enchendo uma piscina com água usando uma
mangueira. A vazão da mangueira é de 20 litros a cada minuto. A piscina tem um volume total de 12 000 litros. Joana quer saber quanto tempo levará para encher completamente a piscina usando a mangueira. Quanto é, aproximadamente, esse tempo? A) 300 minutos B) 500 minutos C) 600 minutos D) 720 minutos E) 810 minutos
Rafael está treinando para uma corrida e correu uma distância de 10 000 metros em 40 minutos. Ele quer saber qual foi sua velocidade média durante o treino, em km/h. Qual foi sua velocidade média nesse treino? A) 10,0 km/h B) 12,5 km/h C) 15,0 km/h D) 17,5 km/h E) 20,0 km/h
ATIVIDADE 8
Julia está planejando fazer uma receita de bolo que serve 8 pessoas. A receita pede 400 gramas de farinha, 200 gramas de açúcar e 100 gramas de manteiga. No entanto, Julia quer adaptar a receita para servir 12 pessoas. Ela precisa ajustar a quantidade de cada ingrediente proporcionalmente. Quantos gramas de farinha Julia deve usar para servir 12 pessoas? A) 600g B) 550g C) 500g D) 450g E) 400g
ATIVIDADE 9
ATIVIDADE 10
Um carro percorre 300 km com 20 litros de combustível. Se mantiver a mesma velocidade e condições de tráfego, quantos quilômetros ele percorrerá com 25 litros de combustível? A) 375 km B) 400 km C) 425 km D) 450 km E) 475 km
Uma empresa de tecnologia está avaliando a eficiência de dois tipos de máquinas de reciclagem. A máquina A consome 5 litros de água para reciclar 8 kg de plástico, enquanto a máquina B consome 7 litros de água para reciclar 10 kg de plástico. A empresa decidiu instalar 10 máquinas do mesmo modelo e quer escolher aquela que tiver a melhor eficiência em termos de kg de plástico reciclado por litro de água. Com base nos dados apresentados, qual seria a eficiência de cada máquina e qual delas deve ser escolhida? A) Máquina A: 1,6 kg/L; Máquina B: 1,43 kg/L → Escolher a máquina A. B) Máquina A: 1,6 kg/L; Máquina B: 1,43 kg/L → Escolher a máquina B. C) Máquina A: 1,5 kg/L; Máquina B: 1,4 kg/L → Escolher a máquina A. D) Máquina A: 1,6 kg/L; Máquina B: 1,5 kg/L → Escolher a máquina B. E) Máquina A: 1,4 kg/L; Máquina B: 1,6 kg/L → Escolher a máquina B.
ATIVIDADE 6
ATIVIDADE 8
ATIVIDADE 9
ATIVIDADE 10
ATIVIDADE 7
Alternativa C
Alternativa C
Alternativa A
Alternativa A
Alternativa A
Para calcular a eficiência de cada máquina em termos de quilogramas de plástico reciclado por litro de água, podemos usar a seguinte fórmula:
Máquina A: Consumo de água: 5 litros e plástico reciclado: 8 kg Calculando a eficiência da Máquina A:
Máquina B: Consumo de água: 7 litros e plástico reciclado: 10 kg Calculando a eficiência da Máquina B:
Comparação Eficiência da Máquina A: 1.6 kg/litro Eficiência da Máquina B: 1.43 kg/litro
Portanto, a Máquina A tem uma eficiência maior (1.6 kg/litro) em comparação com a Máquina B (1. kg/litro). Portanto, a empresa deve escolher a Máquina A para instalar, pois ela recicla mais plástico por litro de água consumido.
ATIVIDADE 5
Alternativa C
ACADEMIA KHAN. Identificando relações proporcionais. Disponível em :
https://pt.khanacademy.org. Acesso em: 2 dez. 2024.
BONJORNO, Giovanni Jr.; CÂMARA, Paulo. Prisma: matemática – conjuntos e
funções. São Paulo: FTD, 2020.
DANTE, Luiz Roberto. Telaris – Matemática: 9º ano. 3.ed. São Paulo: Editora
Ática, 2018.
DANTE, Luiz Roberto; VIANA, Fernando. Matemática em contextos. Volume 1.
São Paulo: Ática, 2020
KHAN ACADEMY. Analyzing and identifying proportional relationships 2.
Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/pre-
algebra/xb4832e56:proportional-relationships/xb4832e56:identifying-
proportional-relationships/e/analyzing-and-identifying-proportional-
relationships-2. Acesso em: 2 dez. 2024.
9º ANO MATEMÁTICA PROPORCIONALIDADE. Proporcionalidade e grandezas
proporcionais - Matemática. YouTube, 2021. Disponível em: [ https ://www
.youtube .com /watch ?v =9OFFffAX3wKw. Acesso em: 2 dez. 2024.
Hospital Estadual de Urgência e Emergência (HEUE), em Vitória, nutricionistas da unidade alertaram colaboradores da unidade e acompanhantes de pacientes sobre a importância de manter uma alimentação saudável para uma melhor qualidade de vida.
www.es.gov.br
Isso destaca a importância de uma alimentação balanceada e a necessidade de
promover a educação nutricional como uma ferramenta essencial para prevenir
doenças cardíacas.
O conceito de grandezas diretamente proporcionais pode ser aplicado, por
exemplo, quando falamos sobre a relação entre consumo de frutas e aumento
de fibras na dieta. Se cada fruta consumida diariamente fornece em média 4
gramas de fibras, o total de fibras consumidas aumenta proporcionalmente ao
número de frutas ingeridas.
Assim, como a alimentação balanceada é muito importante para a saúde
cardíaca, a pratica de exercícios físicos é fundamental para o controle dos níveis
de colesterol no sangue.
Então, considere uma pessoa que queira controlar seus níveis de colesterol e
comece a praticar caminhadas e ela estabelece caminhar uma distância fixa.
Agora pense, se ela aumentar a velocidade da caminhada, menor será o tempo
necessário para percorrer a distância. Portanto, as grandezas velocidade e
tempo são exemplos de grandezas inversamente proporcionais.
Entender e aplicar esses conceitos matemáticos pode ajudar a construir hábitos
saudáveis e a prevenir problemas relacionados à saúde. Neste material, será
abordado sobre as grandezas diretamente e inversamente proporcionais e como
utilizar a proporcionalidade entre duas grandezas na resolução de problemas.
BONS ESTUDOS!
De acordo com uma pesquisa realizada
em 2018 pela Sociedade Brasileira de
Cardiologia (SBC), quatro em cada dez
adultos brasileiros apresentam níveis
elevados de colesterol, e quase 70% só
realizaram o exame após os 45 anos de
idade. O levantamento, realizado com
mais de 800 pessoas de todo o Brasil,
revela um dado preocupante sobre a
saúde da população brasileira.
No material anterior, aprendemos o que são grandezas proporcionais, agora iremos explorar mais sobre o assunto e revisar sobre as grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Mas antes precisamos compreender o conceito de proporcionalidade.
PROPORCIONALIDADE
Alguns estudantes passaram na papelaria, antes da aula e viram o quadro da promoção ao lado, 3 canetas por 10 reais, os estudantes tiraram conclusões usando a ideia de proporcionalidade. Veja a conversa deles:
1 pacote custa 10 reais, se eu comprar 4 pacotes vou pagar 40 reais.
Se com 10 reais dá pra comprar 1 pacote, então, com 30 reais dá para comprar 3 pacotes de canetas.
Se o preço de 3 canetas é 10 reais, então o preço de 6 canetas é 20 reais.
A proporcionalidade é um conceito matemático que descreve a relação entre duas
grandezas que variam de forma que a razão entre elas permanece constante. Em outras
palavras, quando uma grandeza aumenta ou diminui, a outra também muda na mesma proporção, mantendo sempre a mesma relação.
No exemplo da promoção da papelaria, “3 canetas por 10 reais”, os estudantes perceberam que a relação entre a quantidade de canetas e o preço segue um padrão fixo.
Isso significa que, ao dobrar ou triplicar a quantidade de canetas, o preço correspondente
também será dobrado ou triplicado, mantendo a mesma razão.
Sabendo que 1 pacote tem 3 canetas, se eu comprar 4 pacotes, ficarei com 12 canetas.
Para ter 18 canetas, vou precisar comprar 6 pacotes, iguais a este.
canva
