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AULA
Matrizes
METAS:
- Introduzir o conceito de matriz.
- Reformular o m´etodo de Gauss em termos de opera¸c˜oes ele-
mentares sobre as linhas da matriz aumentada.
- Introduzir as opera¸c˜oes com matrizes.
OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos dever˜ao ser capazes de:
- usar as opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da matriz au-
mentada para resolver um sistema linear pelo metodo de
Gauss;
- usar corretamente as opera¸c˜oes com matrizes e as proprieda-
des dessas opera¸c˜oes.
PR´E-REQUISITOS:
- Sistemas de equa¸c˜oes lineares.
- M´etodo de Gauss.
Matrizes
2.1 Introdu¸c˜ao
As matrizes, que conhe¸ceremos nessa aula, aparecer˜ao como uma
ferramenta simples e intuitiva para a grava¸c˜ao das informa¸c˜oes es-
senciais sobre um sistema linear. Portanto, n˜ao ´e surpreendente
que o m´etodo de Gauss, por exemplo, admite uma formula¸c˜ao efi-
ciente em termos de matrizes. No entanto, as aplica¸c˜oes das matri-
zes na Algebra Linear n˜´ ao se reduzem a uma ou outra refomula¸c˜ao
dos m´etodos de resolu¸c˜ao de sistemas lineares. As matrizes n˜ao s˜ao
simples “tabelas de escalares” mas, sim, objetos alg´ebricos para os
quais podemos definir opera¸c˜oes. Essas opera¸c˜oes e suas proprie-
dades conheceremos na segunda parte da aula.
2.2 Matrizes
2.2.1 Defini¸c˜ao e algumas classes de matrizes
Todas as informa¸c˜oes sobre um sistema linear est˜ao contidas nos
coeficientes e nas constantes das equa¸c˜oes. Consideremos o sistema
linear do Exemplo 1.
⎧ ⎪⎪ ⎪⎨
2 x +3y +3z = 4
4 x −y +2z = 3
6 x −y − 4 z = 0
Os coeficientes do sistema escrevemos na forma de uma tabela:
⎛
A posi¸c˜ao de cada um dos n´umeros na tabela ´e importante. Por
exemplo, o primeiro coeficiente da terceira equa¸c˜ao do sistema en-
Matrizes
A matriz do sistema ´e a matriz dos coeficientes, isto ´e, a matriz
a 11 a 12... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
am 1 am 2... amn
Aplicando o m´etodo de Gauss a um sistema linear, modificamos
os coeficientes e as constantes do sistema. E conveniente definir´
uma matriz cujas entradas s˜ao os coeficientes e as constantes do
sistema.
A matriz aumentada de um sistema linear (1.11) ´e a matriz
dos coeficientes e das constantes do sistema. Escrevemos
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
a 11 a 12... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
am 1 am 2... amn
b 1
b 2
bm
2.2.3 Opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da ma-
triz aumentada
As opera¸c˜oes sobre as equa¸c˜oes de um sistema linear, usadas no
m´etodo de Gauss podemos susbstituir por opera¸c˜oes sobre as linhas
da matriz aumentada. Com efeito, a i-´esima linha
ai 1 ai 2... ain | bi
da matriz (2.30) contem todas as informa¸c˜oes sobre a i-´esima
equa¸c˜ao do sistema linear (1.11),
ai 1 x 1 + ai 2 x 2 + · · · + ainxn = bi.
Algebra Linear I´
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Proposi¸c˜ao 2.1. Uma troca das posi¸c˜oes da i-esima e da j-´esima
equa¸c˜ao
1 no sistema linear (1.11), isto ´e, uma substitui¸c˜ao do sis-
tema linear (^) ⎧
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎨
a 11 x 1 +... +a 1 nxn = b 1
ai 1 x 1 +... +ainxn = bi
aj 1 x 1 +... +ajnxn = bj
am 1 x 1 +... +amnxn = bm
pelo sistema equivalente
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎨
a 11 x 1 +... +a 1 nxn = b 1
aj 1 x 1 +... +ajnxn = bj
ai 1 x 1 +... +ainxn = bi
am 1 x 1 +... +amnxn = bm
corresponde `a troca da i-´esima e da j-´esima linha da matriz au-
mentada (2.30),
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
a 11... a 1 n
ai 1... ain
aj 1... ajn
am 1... amn
b 1
bi
bj
bm
a 11... a 1 n
aj 1... ajn
ai 1... ain
am 1... amn
b 1
bj
bi
bm
(^1) Sem perda de generalidade assumimos que 1 ≤ i < j ≤ m.
Algebra Linear I´
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A matriz do sistema (2.31) ´e substituida pela matriz
a 11... a 1 n
ai 1 + αaj 1... ain + αajn
aj 1... ajn
am 1... amn
b 1
bi + αbj
bj
bm
Ent˜ao o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss pode ser descrito (e
aplicado tamb´em) em termos das seguintes opera¸c˜oes elemen-
tares sobre as linhas da matriz aumentada do sistema linear.
- Troca das posi¸c˜oes de duas linhas da matriz.
- Multiplica¸c˜ao de uma linha por um escalar n˜ao-nulo.
- Substitui¸c˜ao de uma linha pela soma da mesma linha e de
uma outra linha da matriz multiplicada por um escalar.
Exemplo 2.12. Encontre as solu¸c˜oes (se tiver) do sistema linear
y −z = − 1
x +y +z = 3
2 x − 4 y +2z = 3
Solu¸c˜ao. A matriz estendida do sistema ´e
⎛
A entrada de posi¸c˜ao 11 desta matriz ´e igual a zero. No entanto,
existem na primeira coluna da matriz entradas n˜ao nulas. Por
Matrizes
exemplo, a entrada de posi¸c˜ao 21 ´e igual a 1. Podemos trocar a
primeira e a segunda linha da matriz:
⎛
troca da 1a e
da 2a linha −−−−−−−−−→
O elemento de posi¸c˜ao 11 da matriz nova ´e n˜ao-nulo.
Primeira elimina¸c˜ao. Substituimos a terceira linha da matriz pela
soma da terceira linha e da primeira linha multiplicada por (−2):
⎛
substiti¸c˜ao da
3a linha −−−−−−−−−→
Agora o ´unico elemento diferente de zero na primeira coluna da
matriz ´e o elemento de posi¸c˜ao 11.
Segunda elimina¸c˜ao. Substituimos a terceira linha da matriz
pela soma da terceira linha e da segunda linha multiplicada por 6 :
⎛
substiti¸c˜ao da
3a linha −−−−−−−−−→
Depois da segunda elimina¸c˜ao a matriz do sistema, isto ´e a matriz
dos coeficientes (^) ⎛
est´a na forma escalonada.
Defini¸c˜ao 2.5. Dizemos que uma matriz esta na forma escalo-
nada quando as linhas da matriz satisfazem as seguintes condi¸c˜oes.
Matrizes
podemos definir tamb´em opera¸c˜oes com matrizes que tˆem inu-
meras aplica¸c˜oes. As opera¸c˜oes com matrizes s˜ao definidas atraves
de opera¸c˜oes com as entradas das matrizes. E conveniete usar uma´
nota¸c˜ao que relaciona as matrizes e as suas entradas.
2.3.1 Nota¸c˜ao
Matrizes e entradas
- Seja A uma matriz m × n. Denotaremos por [A]ij (i =
1 ,... , m, j = 1,... , n) a entrada de posi¸c˜ao ij da matriz
A.
- Sejam B uma matriz m × n e bij (i = 1,... , m, j = 1,... , n)
as entradas da matriz B. Indiquemos a matriz B por (bij ).
Isto ´e, (bij ) ser´a usado como um s´ımbolo alternativo para B.
Conjuntos de matrizes
- Denotaremos por Mm×n(K) o conjunto de todas as matrizes
m × n com entradas em K. Por exemplo, Mm× 1 (R) ser´a o
conjunto das matrizes-coluna com m linhas e entradas reais,
enquanto M 1 ×n(C) ser´a o conjunto das matrizes-linha com
n colunas e entradas complexas.
- Denotaremos por Mn(K) o conjunto das matrizes quadradas
n × n com entradas em K.
2.3.2 Igualdade de matrizes
Antes de definir as opera¸c˜oes com matrizes, definiremos uma rela¸c˜ao:
a iguldade de duas matrizes.
Algebra Linear I´
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Defini¸c˜ao 2.6. Sejam A e B duas matrizes. Dizemos que A ´e
igual a B e escrevemos A = B se
(a) o n´umero de linhas da matriz A ´e igual ao n´umero de linhas
da matriz B (seja m este n´umero);
(b) o n´umero de colunas da matriz A ´e igual ao n´umero de colunas
da matriz B (seja n este n´umero);
(c) [A]ij = [B]ij ; i = 1,... , m; j = 1,... , n.
Verifica-se que que a igualdade de matrizes ´e:
(i) reflexiva (A = A);
(ii) sim´etrica (se A = B ent˜ao B = A);
(iii) transitiva (A = B, B = C ⇒ A = C).
2.3.3 Adi¸c˜ao de matrizes
Defini¸c˜ao 2.7. Sejam A = (aij ) e B = (bij ) duas matrizes m × n
com entradas em K. Dizemos que a matriz m × n
C = (cij )
´e a soma das matrizes A e B e escrevemos C = A + B se
cij = aij + bij , i = 1,... m; j = 1,... n.
Exemplo 2.13. Sejam A e B as matrizes 2 × 3 dadas por
A =
⎠ , B =
A soma dessas matrizes e a matriz
A + B =
Algebra Linear I´
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Sendo o n´umero de colunas de A igual ao n´umero de linhas de B, o
produto AB est´a definido. Ele ´e uma matriz 3 × 2 j´a que o n´umero
de linhas de A ´e igual a 3 e o n´umero de colunas de B ´e igual a 2.
O produto AB ´e dado por
AB =
Por outro lado, o produto BA n˜ao est´a definido porque o n´umero
de colunas de B ´e igual a 2 enquanto o n´umero de linhas de A ´e
igual a 3.
2.3.6 Propriedades das opera¸c˜oes com matrizes
As trˆes opera¸c˜oes com matrizes (adi¸c˜ao de matrizes, multiplica¸c˜ao
de uma matriz por um escalar e multiplica¸c˜ao de matrizes) fo-
ram definidas em termos de opera¸c˜oes com entradas das matrizes.
As propriedades destas opera¸c˜oes decorrem das propriedades das
opera¸c˜oes com escalares. Na descri¸c˜ao das propriedades assumimos
que A, B, C s˜ao matrizes com entradas em um corpo K, enquanto
α, β s˜ao escalares (elementos do corpo K).
(a) Comutatividade da adi¸c˜ao
Sejam A e B matrizes m × n. Ent˜ao
A + B = B + A.
Matrizes
Demosntra¸c˜ao. Usando a Defini¸c˜ao 2.7 de adi¸c˜ao de matrizes,
obtemos
[A + B]ij = [A]ij + [B]ij = [B]ij + [A]ij = [B + A]ij.
Usando a Defini¸c˜ao 2.6 concluimos que A + B = B + A.
(b) Associatividade da adi¸c˜ao
Sejam A, B e C matrizes m × n. Ent˜ao
(A + B) + C = A + (B + C).
Demonstra¸c˜ao.
[(A + B) + C]ij = [A + B]ij + [C]ij = [A]ij + [B]ij + [C]ij
= [A]ij + [B + C]ij = [A + (B + C)]ij.
Logo, (A + B) + C = A + (B + C).
(c) Existˆencia e unicidade do elemento neutro aditivo
Em cada conjunto Mm×n(K) existe uma matriz, denotada por 0 ,
tal que
A + 0 = A. (2.34)
E a matriz´ m × n com todas as entradas iguais a 0,
Verifica-se facilmente que o elemento com a propriedade (2.34) ´e
´unico em cada Mm×n(K). A diferen¸ca de duas matrizes A e B
Matrizes
(h) Asociatividade da multiplica¸c˜ao de matrizes
Sejam A uma matriz m × k, B uma matriz k × l e C uma matriz
l × n. Ent˜ao
A(BC) = (AB)C.
Demonstra¸c˜ao.
[A(BC)]ij =
k ∑
r=
[A]ir[BC]rj =
k ∑
r=
[A]ir
l ∑
s=
[B]rs[C]sj
∑^ l
s=
∑k
r=
[A]ir[B]rs
[C]sj = [(AB)C]ij.
(i) Matriz identidade de ordem n
Para cada n natural definimos uma matriz quadrada n×n que tem
todas as entradas na diagonal principal iguais a 1 enquanto todas
as entradas fora da diagonal principal s˜ao iguais a 0. Esta matriz
In =
´e a matriz identidade. Verifica-se que para toda matriz m × n
A vale
ImA = AIn.
2.3.7 A forma matricial de um sistema linear
Dado um sistema linear de m equa¸c˜oes com n incognitas
⎧ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎨
a 11 x 1 +a 12 x 2 +... +a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +... +a 2 nxn = b 2
am 1 x 1 +am 2 x 2 +... +amnxn = bm
Algebra Linear I´
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sejam
- A a matriz m × n do sistema, A = (aij )
- B uma matriz m × 1 e X uma matriz n × 1 dadas por
B =
b 1
bm
, X =
x 1
xn
O sistema (2.35) ´e equivalente `a equa¸c˜ao matricial
AX = B (2.36)
no seguinte sentido.
Resultado 2.1. Uma sequencia finita de escalares c 1 , c 2 ,... , cn ´e
uma solu¸c˜ao para o sistema (2.35) se, e somente se, a matriz n × 1
C =
c 1
cn
´a uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao matricial (2.36).
ATIV. 2.5. Prove o Resultado 2.1.
2.4 Conclus˜oes
As matrizes s˜ao tabelas de escalares. Introduzidas como uma fer-
ramenta t´ecnica na resolu¸c˜ao de sistemas lineares elas se tornam
objetos alg´ebricos interessantes ap´os a defini¸c˜ao de opera¸c˜oes com
matrizes: adi¸c˜ao de matrizes, multiplica¸c˜ao de matrizes por esca-
lares e multiplica¸c˜ao de matrizes.
Algebra Linear I´
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matriz coluna matriz com uma ´unica coluna.
matriz de um sistema linear a matriz dos coeficientes do sis-
tema linear.
matriz linha matriz com uma ´unica linha.
matriz quadrada matriz cujo n´umero de linhas ´e igual ao nu-
mero de colunas.
opera¸c˜oes com matrizes sa˜a chamada as opera¸c˜oes de (1) adi¸c˜ao
de matrizes; (2) multiplica¸c˜ao de matrizes por escalares; (3)
multiplica¸c˜ao de matrizes.
opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de uma matriz s˜ao as
opera¸c˜oes de (1) troca das posi¸c˜oes de duas linhas da matriz;
(2) multiplica¸c˜ao de uma linha por um escalar n˜ao-nulo; (3)
substitui¸c˜ao de uma linha pela soma da mesma linha e de
uma outra linha da matriz multiplicada por um escalar.
2.7 Atividades
ATIV. 2.6. Escreva a matriz do sistema linear
⎧ ⎪⎪ ⎪⎨
x +2y +5z = − 9
x +2y +5z = 2
x +2y +5z = 25
ATIV. 2.7. Escreva a matriz aumentada do sistema linear (2.37).
ATIV. 2.8. Use opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da matriz
aumentada do sistema linear (2.37) para resolver o sistema.
Resposta: x = 2, y = − 3 , z = − 1.
Matrizes
ATIV. 2.9. Escreva a matriz aumentada do sistema linear
⎧ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨
x − 5 y − 8 z +t = 3
3 x +y − 3 z − 5 t = 1
x − 7 z +2t = − 5
11 y +20z − 9 t = 2
ATIV. 2.10. Use opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da matriz
aumentada do sistema linear (2.38) para determinar se o sistema
tem solu¸c˜oes. Se tiver, ache as solu¸c˜oes.
Resposta: o sistema n˜ao possui solu¸c˜oes.
ATIV. 2.11. Ache o produto das matrizes
Resposta:
2.8 Pr´oxima aula
Na pr´oxima aula vocˆe vai conhecer um dos objetos mais importan-
tes da Algebra Linear: o espa¸´ co vetorial.
2.9 Referˆencias
FRIEDBERG, Stephen H., INSEL, Arnold J., SPENCE, Lawrence
E. Linear Algebra. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1989.
LANG, Serge. Algebra Linear. S˜´ ao Paulo: Edgard Bl¨ucher, 1971.
SHOKRANIAN, Salahoddin. Introdu¸c˜ao `a Algebra Linear. Bras´´ ılia:
UnB, 2004.
