aula matrizes, Notas de estudo de Cultura

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MATRIZ

É uma tabela disposta em “m” linhas e “n”

colunas.

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn m n

a a a a

a a a a

a a a a



Tipos de Matrizes

Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual

ao de colunas.

Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha

pela coluna e vice-versa da matriz original.



























2 3 6

0 2 4

1 3 5

A

T

A

Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima

e abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

Traço da Matriz: é a soma dos elementos da

diagonal

principal.

Traço: 4 + 2 + 6 = 12

Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados

acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.





















3 1 6

5 2 0

4 0 0





















0 0 3

0 5 0

2 0 0

Matriz Simétrica:

T

A  A

1 2 0

2 7 4

0 4 3

 

 

 

 

 

Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.

Matriz Anti-Simétrica:

T

A  A

0 5 2

5 0 1

2 1 0

  

 

  

    

Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.

Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.

Matrizes Exercício Resolvido

Ex.: Escreva uma matriz tal que:













 

5 8

6 5 t

X X

Solução:













 



























 











 























 













5 8

6 5

2

2

5 8

6 5

b c d

a b c

b d

a c

c d

a b

Substituíndo temos

b d

a c

e X

c d

a b

Chamaremos de X

t

Matrizes Exercício Resolvido













 

5 8

6 5 t

X X

Solução:

2a = 6 a=

2d = 8 d=

b + c = 5

Ex.: Escreva uma matriz tal que:













5 4

3 0













4 4

3 1

Multiplicação de Matrizes

Só podemos multiplicar duas matrizes entre si, quando o número de

colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz.

O resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira e

número de colunas da segunda matriz.

mxn nxp mxp

A. B  C

0 1

1 2 3

3 5

0 4 2

4 2

 

  (^)  

     (^)  

    (^)  

 













    

    

0 0 4 ( 3 ) 2 4 0 1 4 5 2 2

1 0 2 ( 3 ) 3 4 1 1 2 5 3 2

x x x x x x

x x x x x x













   

   

0 12 8 0 20 4

0 6 12 1 10 6













4  24

6 17

=

=

Matriz Inversa:

 1

A

O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à

matriz identidade.

A A  I

 1

.

Sendo 

A (^) , determine

 1

A



1

A

I – Definição

É um número associado a uma matriz quadrada.

II – Determinante de uma matriz de 2ª ordem

Seja a matriz A =

















21 22

11 12

a a

a a , então:

11 22 12 21

a. a  a. a det A =

DETERMINANTES

III – Determinante de uma matriz de 3ª ordem

(Regra de Sarrus)

Ex: 3 1 2

4 3 1

1 6 5





1 6

4 3

3 1

1 6 5

4 3 1

3 1 2









det = 3.(-3).5 + 1.1.(-1) + 2.4.6 – (-1).(-3).(2) – 6.1.3 – 5.4.

det = – 45 – 1 + 48 – 6 – 18 – 20

det = – 42

IV – Menor Complementar ( D ij

É o determinante da matriz obtida após ser

eliminada a linha e a coluna do elemento a ij

considerado.

Ex. Sendo

0 1 2

3 4 5

2 7 1

A

  

 

  

    

, calcule D 12

2 1

3 5



det = 3 + 10

det = 13

D

12

Propriedades dos Determinantes:

1ª propriedade:

Se os elementos de uma linha ou coluna de uma

matriz quadrada forem todos iguais a zero, o

seu determinantes será zero.

Ex. (^3 0 )

4 0 1

6 0 2

 

 

  

    

2ª propriedade:

Se os elementos de duas linhas ou colunas de

uma matriz quadrada forem iguais ou

proporcionais, o seu determinante será zero.

Ex. (^2 6 )

3 5 3

4 1 4

 

 

 

 

 