O problema de determinar a área de uma figura plana foi, desde os tempos mais antigos, uma preocupação dos matemáticos. O procedimento mais utilizado foi o método exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas.

Uma definição de Área : Dada uma função contínua não-negativa y = f(x), num intervalo [a,b]. A área da região R limitada abaixo pelo eixo x , lateralmente pelas retas x = a, y = b e acima pela curva y = f(x).

Para calcular a área da região R , usaremos a seguinte Idéia básica:

Dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais;
Em cada subintervalo, construir um retângulo cuja altura é o valor de f em algum ponto do subintervalo;
A união desses retângulos forma uma região R (^) n, cuja Área pode ser vista como uma aproximação da área A da região R.
Repetir o processo usando cada vez mais um número maior de subdivisões;
Definir a área de R como sendo o limite das áreas das regiões aproximantes Rn , isto é:

A = área (R) = Definindo como o comprimento de cada subintervalo, e f(x (^) k)^ a altura do^ k- ésimo retângulo no intervalo, então a área de cada intervalo será: Ak = f(xk )F 04 4 x

E a área total da região Rn será:

Com esta notação a área sob a curva y = f(x), de a até b , é definida por:

O limite acima é geralmente, difícil ou impossível de ser encontrado, de modo que, quando necessária uma área exata devemos utilizar a seguinte definição.

INTEGRAL DEFINIDA

Definição : Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e seja P uma partição qualquer de

[a,b]. A integral definida de f de a até b , denotada por: é dada por , desde que o limite exista. Denominada Integral de Riemann , onde a e b são chamados limites de integração. Quando a função f(x) é contínua e não negativa em [a,b], a definição da integral definida coincide com a definição da área. Portanto, neste caso a integral definida acima é a área da região sob o gráfico de f de a até b.

Sempre que utilizarmos um intervalo [a.,b], supomos a<b. assim, em nossa definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite superior. Definição : (a) Se a > b , então (b) Se a = b e f(a) existe, então Teorema : Se f é contínua sobre [a,b], então f é integrável em [a,b].

Propriedades da Integral Definida: (1) Se f é integrável em [a,b] e k é um número real arbitrário, então k f é integrável em [a,b] e: (2) Se f e g são funções integráveis em [a,b], então f+g é integrável em [a,b] e: (3) Se a<c<b e f é integrável em [a,c] e em [c,b] , então f é integrável em [a,b] e: (4) Se f é integrável e se f(x) F 0B 3 0 para todo x em [a,b], então F 0B 3 0 (5) Se f e g são integráveis em [a,b] e f(x) F 0B 3 g(x) para todo x em [a,b], então (6) Se f é uma função contínua em [a,b], existe um ponto c ente a e b tal que TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Seja a integral definida: , fixando o limite inferior a e fazendo variar o limite superior, b em x, tem-se:. Ou seja, para x F 0C E [a,b],^ defini-se a função: , como a área abaixo do gráfico de^ f^ entre^ a^ e^ x. Podemos observar que G(a) =0 e G(b) nos dá a área da região R entre a curva f(x) no intervalo [a,b].

Proposição : Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b]. Então a função G: [a,b]F 0A E R, definida por

, tem derivada em todos os ponto x F 0C E [a,b]^ que é dada por^ G´(x) = f(x),^ ou seja, Teorema : Se f é continua sobre [a,b] e se F é uma primitiva de f neste intervalo, então

Exemplos : (1) Calcule as integrais definidas:

(i) (ii) (iii) (iv)

Exercícios : Calcule a s integrais abaixo:

(1) (2) (3) (4)

Lista de Exercícios:Página 375, Lista 6.10.

CÁLCULO DE ÁREAS

O cálculo de área de figuras planas pode ser feito por integração, seguindo os seguintes passos: