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MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
O método das diferenças finitas pode ser aplicado na solução de EDO’S ou EDP’S. Considere, primeiramente, o problema formado por EDO’S, que pode ser um problema de valor de contorno ou inicial. Um problema de valor inicial é dado conforme e abaixo:
F (x, y(x), x F 0B 3 0 x=x 0 y(x (^) 0)= y 0 y’(x (^) 0)= b
Onde x é a variável independente, y(x) é um vetor de variáveis dependentes. O outro tipo de problema é o problema de valor de contorno, que assume a seguinte forma:
F (x, y(x), x F 0C E (a, b) x= a x= b y (a)= w y (b)= z
Onde x é a variável independente, y é o vetor de variáveis dependentes. Os valores também podem ser dados na derivada da função.
O objetivo do método das diferenças finitas é transformar um problema composto por equações diferenciais em um problema formado por equações algébricas. O primeiro passo nessa direção é a chamada discretização do domínio da variável independente, conforme figura abaixo
t 0 tS
t 0 1 2 J-1 J J+
x0 xJ xF
0 1 2 J-1 J J+1 J (^) F x
O domínio pode ser semi-infinito ou finito, em qualquer caso, estipulam-se os pontos que delimitam os subdomínios, que no caso de um domínio finito, são iguais a (J+1) em número. Note que os subdomínios podem ter o mesmo tomanho, gerando uma malha uniforme, ou não, formando uma malha não uniforme. Em muitos casos, existem vantagem no uso de malhas não uniformes. O segundo passo é gerar aproximação para as derivadas das variáveis dependentes, isto é, obter , utilizando apenas os valores de y (^) J nestes pontos discretos. Este procedimento gera um sistema de equações algébricas na forma:
F(y (^) J )= 0
Da mesma forma que o método das diferenças finitas, os métodos dos volumes finitos e de elementos finitos também se baseiam em uma discretização do domínio, mas com diferentes características na obtenção de uma solução aproximada.
APROXIMAÇÃO DE DERIVADAS POR DIFERENÇAS FINITAS
Seja a seguinte expansão em série de Taylor para a função y(x (^) J+1)= y (^) J+1, em torno do ponto xJ,
Então,
Fazendo h (^) J = x (^) J- x (^) J-1 e hJ+1 = xJ+1 - x (^) J
Dessa forma, (*)
Que é chamada de aproximação por diferenças para trás (backward differentiation) e, Que é obtida a partir da equação () com truncamento na primeira derivada, sendo chamada de aproximação por diferenças para frente (forward differentiation). Deve-se verificar que a aproximação por diferenças central é de segunda ordem, e dessa forma, a mais precisa das três, pois as outras duas são de primeira ordem. A diferença central utiliza três valores da função no cálculo de ““, só que para malhas uniformes um dos valores é cancelado. As equações () e () podem ser combinadas para obter uma aproximação para. Assim, multiplicando a equação () por h (^) J e somando-se o resultado a equação (*) multiplicada
por h (^) J+1 , obtém-se:
O segundo termo da equação acima se anula para malhas uniformes, então:
Que é a aproximação por diferenças centrais para derivada segunda.
OBS: Nada impede que seja utilizada uma outra expansão em série de Taylor para melhorar a ordem de aproximação das equações, obtendo-se assim, uma aproximação de ordem h 3. Entretanto, essas aproximações apresentam uma maior dificuldade na solução do sistema de equações algébricas resultante. Por outro lado, quando a malha é uniforme essas diferenças podem ser obtidas pelo seguinte procedimento:
SOLUÇÃO DE EDO’S POR DIFERENÇAS FINITAS
Considere o seguinte problema de valor de contorno, dado abaixo:
x=0, = x=x (^) F , = Seja o domínio discretizado por uma malha uniforme com , onde “J” é número de pontos da malha. Com x (^) 0=0, (^) 0=0 e x = x (^) F, J = Então, aplicando-se a equação diferencial acima nos pontos onde não se conhecem os valores funcionais de tem-se: j=1,.., J- Utilizando as aproximações das derivadas por diferenças centrais, ; Então,
Quando a condição de contorno é do segundo tipo, o valor da derivada da variável dependente é dado no contorno, isto é,
x = x (^) C,
Por exemplo, considere a equação do trocador de calor admensionalizada do problema anterior.
x=0, = x=x (^) F , =
Discretizando a equação acima nos pontos onde não se conhecem os valores funcionais de , tem-se : j = 0,1, ..., J-
Então, conforme discretização do exemplo anterior tem-se :
A única diferença do problema anterior é que a equação também foi a plicada no ponto x= 0, pois o valor da variável dependente neste ponto não é conhecido. Para j=0 tem-se:
Da condição de contorno temos
Então,
Para j= J-1 tem-se :
Da condição de contorno, (^) J+1= (^) J =
Então, o sistema será dado por:
Quando a condição de contorno é do terceiro tipo, a forma geral será: x = x (^) c , a Por exemplo, considere a equação do trocador de calor do exemplo anterior:
x= 0, = x= X (^) c , Discretizando a equação acima nos pontos onde não se conhece os valores da função,, tem-se j = 1, ..., J
j= 2,...,J-
Embora uma mudança na condição de contorno afete apenas umas poucas equações discreta do sistema, a solução é , geralmente, altamente influenciada por estes efeitos. Os sistemas gerados pela discretização feitas anteriormente são sistemas de equações algébricas lineares, visto que as equações, junto com as condições de contorno são lineares, sendo, então necessário utilizar técnicas de solução de sistemas lineares para os sistemas discretizados.
Exemplo ( esse exemplo devará ser entregue no terceiro seminário em conjunto com o trabalho que ser pedido): Considere a solução do problema de valor de contorno anterior, com a condição de contorno de segundo tipo, com Nu=1 e Pe=1,e obtenha a solução do sistema para diversas malhas uniformes com 4, 8, 16, 32, 64 e 128 pontos. Compare os resultados.
LINEARIZAÇÃO EM PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO
Considere o problema de valor de contorno com o número de Nusselt dado pela seguinte espressão: Nu= a+b Onde a e b são constantes conhecidas. Inserindo essa equação na equação do trocador de calor, tem- se que: j=1,..., J- Para um problema com condição de contorno do 1º tipo. Obserav-se que o último termo da equação acima não é linear, e deve ser portanto, linearizado. A linearização é feita em relação a um índice k, isto é, admite-se que existirá um processo iterativo que corrigirá o valor das variáveis
J. Utilizando a expansão em série de Taylor de^ J, na iteração k, e truncando-se após o termo de primeira ordem, obtém-se:
Substituindo-se essa linearização na equação , após discretização fica:
J=1,...,J-
Que após rearrumação dá:
Considerando a condição de contorno do tipo 1, tem-se: J-1 =^ 0=
j=2,...,J-
Com (^) J+1 = (^) J = 1 (no ponto j=J-1)
O sistema linear pode ser resolvido diretamente por eliminação usando o algoritmo de Thomas. O sistema linearizado, dado pela equação acima é resolvido iterativamente, conforme esquema abaixo:
Convergir Teste de convergência
