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Solução de equações diferenciais parciais (EDP’S)
As leis da conservação de massa, momento e energia são básicas para o fenômeno dos transportes. Essas leis aplicadas a sistemas de engenharia química, em sua forma dinâmica com mais de uma variável independente, geram equações diferencias parciais. Por exemplo, equação do balanço de massa:
- equação do balanço de momento:
Onde J = x, y, z.
A equação do balanço de energia:
Uma EDP de segunda ordem linear possui a seguinte forma canônica geral:
Onde a, b, c, e, f e g são constantes ou função de variáveis independentes. Essa equação pode ser classificada em:
b^2 -ac<0, elíptica b^2 -ac=0, parabólica
b^2 -ac>0, hiperbólica
E se g = 0, a equação é dita homogênea. Então, tem-se que:
- Equação de Laplace (elíptica)
- Equação da condução ou difusão (parabólica)
-Equação da onda (hiperbólica)
Condições de contorno
a) Condições de contorno do 1° tipo ( condição de Dirichlet)
T= F(x) em t=0 e 0≤x≤ 1 Ou T = T 0 em t=0 e 0≤x≤ 1
b)Condição de contorno do 2º tipo ( condição de Neumann)
Considere uma função U (t, x, y) definida num dominio 0≤ x ≤ 1 , 0≤ y ≤ 1 e t F 0B 3 0, que podem ser coodernadas adimensionais ou não. A variável dependente é discretizada conforme figura abaixo, sendo representada por:
Onde t (^) n, xi e y (^) j representam cada ponto da malha discretizada. O segundo passo é a proximação por diferenças finitas das derivadas que aparecem na equação diferencial parcial. Por exemplo, para derivada parcial de primeira ordem, utiliza-se a expansão
Para obter
Que é a derivada para frente (forward difference), as outras derivadas estão nas tabelas a seguir :
Discretização de um EDP Elíptica
Considere a equação adimensionalizada do problema de calor de duas dimensões.
0< x, y < 1 x= 0 , x= 1, = 1 y = 0, y =1,
Uma malha bidimensional uniforme com “I” subdomínio na direção x e “J” subdomínio na direção y é utilizada para discretização do problema. Essa malha é aplicada nos pontos onde (^) ij não é
conhecida , isto é, para ( x (^) i, yj) i=0, 1, .. I-1 e j = 0,1,....J, conforme figura da malha da transparência mostrada anteriormente. Então,
( x (^) i , yj), i = 0, ..., I-1 e j= 0,1,...,J
Desenvolvimento da equações do exemplo anterior ( x (^) i , yJ) i=0, 1, .. i-1 e J = 0,1,....J
x= 0 , x= 1, = 1 y = 0, y =1,
i = 0, ..., I-1 e j= 0,1,...,J
Com as seguintes condições de contorno discretizadas
, x= 0 , y = x=1 F 0D E
para y =1 F 0D E j=J
Agora substitui-se esses valores na equação: supondo h (^) x = h (^) y = h
i=0, 1, .. I-1 e j = 0,1,....J
Para i=0 F 0D E
Para i = I-1 F 0D E
Para j=0 F 0D E
Para j= JF 0D E
da condição de contorno tem-se :
então,
Então, o sistema será:
i= 1,...I-2 e j= 1,...,J-1 e com as equações das condições de contorno dadas acima
Discretização de uma EDP parabólica
Os exemplos clássicos de equações parabólicas são: a) A equação do calor em estado transiente
Se A, B, C são positivos e A+B+C≤ 1, então o esquema numérico é estável. Caso isso não ocarra, então se reescreve a equação discretizada, com a derivada de primeira ordem com a diferença para frente.
Agora substitui-se essa equação na equação da difusão, mantendo-se a derivada segunda com diferenças centrais, então
Que para se estável necessita de :
F 0B 3 0 F 0D E ≤ 1
Essa inequação, determina a relação dos tamanhos do passo na direção x(∆x) e na direção do tempo (∆t). Se for considerado que
Então, a equação do método explícito fica:
Deve ser observado que a discretização no tempo, introduz um erro de ordem O (∆t) e a discretização na direção x, um erro de ordem O (∆x 2 ). Dessa forma, ganha-se estabilidade e perde-
se um pouco de precisão. Se a equação for não homogênea, da forma:
Com discretização nas mesmas condições da equação anterior, gera-se a seguinte forma explícita
O mesmo tratamento é dado para a equação parabólica em duas dimensões:
Resultando na seguinte fórmula:
A estabilidade é dada por: Ou seja,
Quando se considera a equação em três dimensões, o critério de estabilidade é
Considera-se agora, alguns métodos implicitos para solução de equações parabólicas. Neste caso, as derivadas parciais são substituídas por diferenças centrais em torno do ponto “ n +1/2”.
Onde é um fator de ponderação e encontra-se no intervalo 0≤ ≤ 1 Combinando-se essas equações, tem-se que:
Note que, como o valor de não é conhecido em n=0, será necessário aplicar a equação anterior aos pontos discretos n (^) j, j=0,...,J-1. Entretanto, a equação apresenta uma singularidade no ponto n=0, devido as termo 1/n. O levantamento dessa singularidade se faz aplicando a regra de L’Hopital, então, lim n→ 0
Levando esse valor na equação original fica:
Deste modo, utilizando diferenças centrais, para as derivadas primeira e segunda em n, e diferença para trás para a derivada temporal, tem-se que:
Para j=0 tem-se:
Para j=1,...,J-1 tem-se:
Onde o indice i corresponde aos pontos discretos ao longo da coordenada do tempo, onde i=
0,j =0^ F 02 2 j , portanto tempo irá variar nos pontos onde não se conhece o valor da função, portanto i= 1, ...,∞
Lembrando que a condição de contorno em n=0F 0D E θ (^) i,-1 =θ (^) i, 1,^ F 02 2 i e n=1 F 0D E θ (^) i, J = 1, F 02 2 i Substituindo esses valores na equação acima tem-se que:
Para j=0:
Para j=J-
Método das linhas
Uma outra técnica para solução das equações parabólicas é o método das linhas, que consiste em discretizar a parte espacial da equação parabólica, convertendo-a num sistema de equação ordinária. Seja a seguinte equação parabólica
Aplicando esse conceito nessa equação, tem-se:
Esse método dá uma solução estável para as equações parabólicas.
