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2.2. A Semântica Operacional do Cálculo Lambda
Até agora foi descrita a sintaxe do cálculo-. Para chamá-lo de “cálculo”, devemos porém dizer
como “calcular” com ele.
Basicamente isto é realizado através de três regras de conversão, que descrevem como conver-
ter uma expressão- em outra.
2.2.1. Introdução à conversão: Variáveis atadas e livres (bound/free)
Consideremos a expressão- : ( x. + x y) 4
Para avaliar esta expressão necessitamos:
• saber o valor “global” de y.
- não necessitamos saber o valor global de x, pois é o parâmetro formal da função.
• Assim vemos que: x e y possuem um status bastante diferente.
A razão é que x ocorre atado pelo x , é somente um encaixe dentro do qual o argumento 4 é
colocado quando a abstração- for aplicada ao argumento.
Por outr lado, y não é atado por nenhum e assim ocorre livre na expressão.
A ocorrência de uma variável é atada se há uma expressão- envolvente que a amarra, senão
é livre. No exemplo a seguir, x e y ocorrem atados, z porém, ocorre livre:
x. + (( y. + y z) 7) x
Observe que os termos atado e livre se referem a ocorrências específicas da variável em uma expressão.
Uma variável pode possuir tanto uma ocorrência atada como uma livre em uma expressão. Considere o exemplo:
+ x (( x. + x 1) 4)
Aqui x ocorre livre (a primeira vez) e atada (a segunda). Cada ocorrência individual de uma
variável deve ser ou atada ou livre.
As definições formais de livre a atado são dadas abaixo:
2.2.2. Conversão-Beta
Uma abstração - denota uma função. Assim necessitamos descrever como aplicá-la a um
argumento.
A função ( x. + x 1) 4 é a justaposição do função ( x. + x y) e do argumento 4 e, por conse-
guinte, denota a aplicação de uma certa função, denotada pela abstração- , ao argumento 4.
A regra para a aplicação de uma função é muito simples:
- O resultado da aplicação de uma abstração- um argumento é uma instância do corpo da
abstração- no qual ocorrências (livres) do parâmetro formal no corpo são repostos pelo argumento.
O resultado de se aplicar a abstração ao argumento é: + 4 1 onde o (+ 4 1) é um instância do corpo (+ x 1) no qual ocorrências do parâmetro formal x foram repostas pelo argumento 4.
Nós escrevemos as conversões utilizando o símbolo como antes:
Definição de ocorre livre:
x ocorre livre em x (mas não em outra variável ou constante qualquer)
x ocorre livre em ( E F ) x ocorre livre em E ou x ocorre livre em F
x ocorre livre em y.E x e y são variáveis diferentes e x ocorre livre em E
Nota: nenhuma variável oorre atada em uma expressão consistindo e uma única constante.
Definição de ocorre atada:
x ocorre atada em ( E F ) x ocorre atada em E ou x ocorre atada em F
x ocorre atada em y. E ( x e y são a mesma variável e x ocorre livre em E ) ou x ocorre atada em E
⇔
λ ⇔
⇔
λ ⇔
λ
λ λ
λ
λ
λ
→
Uma instância da abstração x é substituída por f onde quer que f apareça no corpo da
abstração de f.
Nomenclatura:
Nomes de parâmetros formais podem não ser únicos:
( x.( x. + ( - x 1)) x 3) 9 ( x. + (- x 1)) 9 3
+ (- 9 1) 3
11
Observe-se que o x interno não foi substituído na primeira redução, pois estava protegido pelo
x envolvente, ou seja, a ocorrência interna de x não é livre no corpo da abstração
x externa.
Dada uma asbtração- , ( x.E) , é possível identificar-se exatamente as ocorrências de x que
deveriam ser substitídas atraves da identificação de todas as ocorrências de x que estão livres.
Dessa forma, para o exemplo acima, examinamos o corpo da abstração:
( x. + (- x 1)) x 3
e vemos que a segunda ocorrência de x é livre, podendo ser substituída.
A idéia do aninhamento do escopo de variáveis em uma linguagem de programação estruturada é análoga a esta regra.
Outro exemplo:
( x. y.+ x (( x.- x 3) y)) 5 6
( y.+ 5 (( x.- x 3) y)) 6
+ 5 (( x.- x 3) 6)
+ 5 (- 6 3)
8
Novamente, o x mais interno não é substituído, uma vez que não é livre no corpo da abstração mais externa.
→
λ
λ
λ λ → λ
→
→
λ
λ
λ λ
λ
λ λ λ
→ λ λ
→ λ
→
→
Exemplo maior: Modelagem de Construtores de Dados
Definimos CONS, HEAD e TAIL da seguinte forma:
CONS = ( a. b. f.f a b)
HEAD = ( c.c ( a. b.a))
TAIL = ( c.c ( a. b.b))
as fórmulas acima obedecem às regras para CONS, HEAD e TAIL definidas anteriormente (Seção 2.1.3). Exemplo:
HEAD (CONS p q) = ( c.c ( a. b.a))(CONS p q)
CONS p q ( a. b.a)
= ( a. b. f.f a b) p q ( a. b.a)
( b. f.f p b)q ( a. b.a)
( f.f p q)( a. b.a)
( a. b.a)p q
( b p) q
p
Isto significa:
- Não existe necessidade real para as funções embutidas HEAD e CONS ou TAIL.
- Todas as funções embutidas podem ser modeladas como abstrações-lambda.
- De um ponto de vista teórico, isto é satisfatório, para efeitos práticos porém, não é utilizado (eficiência).
2.2.3. Conversão-Alfa
Considere:
( x. + x 1) e ( y. + y 1)
Evidentemente elas devem ser equivalentes. A conversão- é o nome dado à operação de
mudança de nome (consistente) de um parâmetro formal.
Notação:
( x. + x 1) ( y. + y 1)
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
→ λ λ
λ λ λ λ λ
→ λ λ λ λ
→ λ λ λ
→ λ λ
→ λ
→
λ λ
α
λ ↔
λ
- Quando as duas expressões denotam funções, esta prova pode se tornar extremamente longa.
Há porém, métodos para abreviar provas, que não sacrificam o seu rigor. Exemplo :
IF TRUE (( p.p) 3) e ( x. 3)
Ambas as expressões denotam a mesma função, que invariavelmente retorna o valor 3 , não importa o valor de seu argumento e seria de se esperar que ambas sejam interconvertíveis.
Isto realmente ocorre:
IF TRUE (( p.p) 3) IF TRUE 3
( x. IF TRUE 3 x)
( x. 3)
onde o passo final é a regra de redução para IF.
Um método alternativo de se provar a interconvertibilidade de duas expressões, muito mais con- veniente, é o de se aplicar as duas expressões a um argumento w , como:
IF TRUE (( p.p) 3) w ( x. 3) w
( p.p) 3 3
3
Portanto: IF TRUE (( p.p) 3) ( x. 3)
Esta prova tem a vantagem de somente utilizar a redução e de evitar o uso explícito da conver-
são-.
O raciocínio por detrás da generalização da interconvertibilidade acima segue abaixo. Suponha que possamos demonstrar que:
F 1 w E
e
F 2 w E
λ λ
λ (^) ↔
↔
λ
→ λ
λ λ
→ λ →
→
λ ↔ λ
η
→
→
onde w é uma variável que não ocorre livre tampouco em F 1 como em F 2 , e E é alguma expres-
são, então podemos raciocinar da seguinte forma:
F 1 ( w. F 1 w)
( w. E)
( w. F 2 w)
F 2
e por conseguinte F 1 F 2.
Não é sempre que expressões- que “deveriam” dizer a mesma coisa são interconvertíveis.
Isto será tratado mais tarde.
2.2.6. Sumário: Regras de Conversão
Há três regras de conversão que possibilitam a interconversão de expressões envolvendo
abstrações- :
- Mudança de nome : a conversão- permite que se troque o nome de parâmetros formais
de uma abstração- , penquanto isto for feito de forma consistente.
- Aplicação de funções : A redução- permite a aplicação de abstrações- a um argumen-
toatravés de geração de uma nova instância do corpo da abstração, substituindo o argu- mento por ocorrências livres do parâmetro formal. Cuidado especial deve ser tomado quando o argumento contém variáveis livres.
- Eliminação de abstrações- redundantes : A redução- pode as vezes eliminar uma
abstração-.
Dentro deste contexto, podemos considerar as funções embutidas (predefinidas) como mais
uma forma de conversão. Esta forma de conversão recebe o nome de conversão-.
↔
λ
↔ λ
↔ λ
↔ η ↔ λ λ α λ
β λ
λ η
λ
δ
2.3.1. Ordem Normal de Redução
² Uma questão que se coloca, além da questão "poderei encontrar uma forma normal ?", é a questão de se existe mais de uma forma normal para para uma expressão, ou:
Poderá uma seqüência de redução diferente levar a uma forma normal diferente?
Ambas as questões estão interligadas. ² A resposta para a última pergunta é: não. Isto é uma conseqüência dos teoremas de Church-Rosser CRT1 e CRT2.
Teorema de Church-Rosser 1 (CRT1): Se E 1 <-> E 2 , então existe uma expressão E , tal que E 1 -> E e E 2 -> E Corolário: Nenhuma expressão pode ser convertida em duas formas normais distintas. Isto significa que não existem duas formas normais para uma expressão que não sejam a- convertíveis entre si. Prova: Suponha que E 1 <-> E e E 2 <-> E , onde E 1 e E 2 estão na forma normal.
Então E 1 <-> E 2 e, pelo CRT1, deve haver uma expressão F tal que E 1 -> F e E 2 -> F.
Como tanto E 1 como E 2 não possuem redexes, logo E 1 = F = E (^2)
² Informalmente, o teorema CRT1 diz que todas as seqüências de redução que terminam, haverão de atingir o mesmo resultao.
O segundo teorema de Church-Rosser, CRT2, diz respeito a uma ordem particular de redução, chamada ordem normal de redução.
Teorema de Church-Rosser 2 (CRT2): Se E 1 -> E 2 , e E 2 está na forma normal, então existe uma ordem normal de seqüência de redução de E 1 para E 2.
Conseqüências: ² Existe no mínimo um resultado possível e ² a ordem normal de redução encontrará este resultado, caso ele exista. ² Observe que nenhuma seqüência de redução poderá levar a um resultado incorreto, o máximo que poderá acontecer é a não-terminação. A Ordem Normal de Redução especifica que o redex mais à esquerda mais externo deverá ser reduzido primeiro. ²No exemplo anterior ( λ x.3) (D D) , escolheríamos o redex-λx primeiro, não o (D D). ² Esta regra encorpa a intuição de que argumentos para funções podem ser descartados, de forma que deveríamos aplicar a função ( l x.3) primeiro, ao invés de primeiro avaliarmos o argumento (D D).
2.3.2. Ordens de redução ótimas
² Enquanto a ordem normal de redução garante que ou uma solução seja encontrada ou o não-término ocorra, ela não garante que isto ocorra no número mínimo de passos de redução, o que é um fato relevante na utilização do cálculo-l para a implementação de linguagens de programação interpretadas.
² No caso da implementação da resolução através de redução de grafos - que estudaremos mais tarde - porém, aparentemente a ordem normal de redução é "geralmente ótima" em questão de tempo de execução.
Analisar uma expressão para encontrar o redex ótimo para ser reduzido é aparentemente muito mais trabalhoso e gasta mais tempo do que arriscar uma redução com mais passos seguindo "cegamente" a ordem normal.
² Alguns autores como ( Levy, J.J.; Optimal Reductions in the Lambda Calculus in Essays on Combinatory Logic, Academic Press, 1980 ) se ocuparam de algoritmos para encontrar ordens ótimas ou quase-ótimas de redução que preservassem as qualidades da ordem normal de redução. Isto é assunto de um tópico avançado que não cabe nesta disciplina.
2.4. Funções Recursivas
² Se o propósito da utilização de cálculo lambda é a conversão de programas funcionais neste para que possamos resolvê-los, devemos ser capazes de representar uma das características mais marcantes das linguagens funcionais, a recursão.
² O cálculo lambda suporta a representação de recursividade sem maiores extensões através da utilização de alguns pequenos truques.
2.4.1. Funções Recursivas e o Y
² Considere a definição da função fatorial abaixo:
FAC = ( λn.IF (= n 0) 1 (* n (FAC (- n 1 ))))
² Esta definição baseia-se na capacididade de se dar um nome a uma abstração lambda e de fazer referência a esta dentro dela mesma.
² Nenhuma construção deste tipo é provida pelo cálculo lambda.
² O maior problema aqui é que funções lambda são anônimas.
² Dessa forma elas não podem nomear-se e assim não podem se referenciar a si mesmas.
Para resolver este problema iniciamos com um caso onde encontramos a recursão na sua forma mais pura:
FAC = ( λn. ... FAC ... )
² Aplicando uma abstração-b sobre FAC, podemos transformar esta definição em:
FAC = ( λfac.(λn. (...fac...)))FAC
² Esta definição podemos escrever da forma:
FAC = H FAC (2.1)
² onde:
-> * 1 (IF (= 0 0) 1 (* n (Y H(- 0 1)))) -> * 1 1 -> 1
2.4.2. Y pode ser definido como uma Abstração Lambda
² Para a transformação de uma expressão recursiva em uma não-recursiva, utilizamos o combinador de ponto fixo, uma função que chamamos de Y.
² A propriedade que Y necessita ter é: Y H = H (Y H)
² e isto representa evidentemente a recursão da forma mais pura, uma vez que esta fórmula pode ser utilizada para representar, de forma abstrata, qualquer fórmul arecursiva que queiramos.
² O truque é que podemos representar Y como uma abstração lambda sem utilizar a recursão: Y = ( λ h. ( λ x.h (x x)) ( λ x. h (x x)))
Para demonstrar que Y possui a qualidade desejada, evaluemos:
Y H = ( λ h. ( λ x.h (x x)) ( λ x. h (x x))) H <-> ( λ x.H (x x)) ( λ x. H (x x)) <-> H (( λ x.H (x x)) ( λ x. H (x x))) <-> H (Y H)
² O fato de Y poder ser definido como uma abstração lambda é, do ponto de vista matemático, realmente digno de nota.
² Do ponto de vista da implementação, é relativamente ineficiente implementar Y como uma abstração lambda. Para a construção de linguagens funcionais, utiliza-se geralmente uma função embutida com a regra de redução: Y H -> H (Y H)
2.4.3. Exercícios (entregar próxima aula)
I. Redução :
Reduza as seguintes expressões-lambda às suas respectivas formas normais:
((( λf.λx.λy.(x)(f)y)p)q)r
((( λx.λy.λz.(y)x)(x)y)(u)z)y
( λx.(λy.(x)(y)y) λz.(x)(z)(λu.λv.u)w
((( λx.λy.λz.((x)z)(y)z)(λu.λv.u)w)λs.s)t
((( λx.(λz.(x)(y)y)ly.(x)(y)y)λz.λu.λv.(u)(z)v)(λr.λs.r)t)w
( λx.x(xy))N
( λx.y)N
( λx.(λy.xy)N)M
( λx.xx)(λx.xx)
( λx.xxy)(λx.xxy)
( λx.z)((λx.xxy)((λx.xxy))
II. Recursividade :
- Dê uma definição recursiva para o maior divisor comum de dois inteiros e calcule o valor de ((mdc) 10) 14) utilizando o combinador Y.
- Tente o mesmo para os números de Fibonacci e use Y para computar (Fibo) 5.
