Baixe Especificação de Sequências por Listagem e Recursão e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Matem´atica Discreta
T´opicos da Teoria dos Conjuntos
Texto da Semana 10, Parte 1
Sequˆencias e Produtos Cartesianos
Sum´ario
1 Sequˆencias 2 1.1 Observa¸c˜ao................................ 4 1.2 Exerc´ıcio resolvido............................ 4
2 Igualdade 4 2.1 Observa¸c˜ao................................ 5 2.2 Exerc´ıcio resolvido............................ 5
3 Especifica¸c˜ao de sequˆencias por listagem 6
4 Duas nota¸c˜oes alternativas 7 4.1 Observa¸c˜ao................................ 9 4.2 Exerc´ıcio resolvido............................ 10
5 Produto cartesiano 10 5.1 Observa¸c˜oes................................ 12 5.2 Exerc´ıcios resolvidos........................... 13
Neste texto, abordamos as no¸c˜oes de: sequˆencia e termo (Se¸c˜ao 1), igualdade en- tre sequˆencias (Se¸c˜ao 2) defini¸c˜ao de sequˆencia por listagem e defini¸c˜ao de sequˆencia por recurs˜ao (Se¸c˜ao 4). Depois de estudar este texto, vamos ser capazes de: entender as diferen¸cas fun- damentais entre conjuntos e sequˆencias (Se¸c˜oes 1 e 2); especificar uma sequˆencia pela listagem de seus termos ou por meio da listagem de alguns dos seus termos e uma opera¸c˜ao que fornece os termos n˜ao listados (Exerc´ıcio 1).
Nosso objetivo n˜ao ´e fazer um estudo detalhado das propriedades b´asicas das sequˆencias, como o que estamos fazendo em rela¸c˜ao aos conjuntos, mas apenas fixar as nota¸c˜oes e propriedades b´asicas mais importantes, sobre sequˆencias.
1 Sequˆencias
Al´em de “conjunto”, outra palavra que ´e frequentemente usada em Matem´atica, quando queremos nos referir a uma totalidade de objetos distinguidos dos demais ´e “sequˆencia”:
Uma sequˆencia ´e um
alinhamento, fileira, lista, ordena¸c˜ao, etc
de objetos.
Exemplo 1 Alguns exemplos de sequˆencia s˜ao:
(a) A sequˆencia formada pela letra a (e nada mais).
(b) A sequˆencia formada por todos os nomes das pessoas que habitam o planeta Terra, escritos na ordem alfabetica.
(c) A sequˆencia formada por todos os n´umeros naturais, na ordem usual, iniciada pelo 0, seguido do 1, seguido do 2, seguido do 3, etc.
(d) A sequˆencia formada por trˆes c´opias da est´atua do Cristo Redentor, e duas c´opias do conjunto dos n´umeros naturais.
(e) A sequˆencia formada por dois objetos: a sequˆencia dos n´umeros pares, dispostos na ordem usual e a sequˆencia dos n´umeros ´ımpares, dispostos na ordem usual.
Observe no Exemplo 1 que uma sequˆencia pode ser formada por: (a) um n´umero espec´ıfico de objetos; (b) um n´umero n˜ao espec´ıfico mas finito de objetos; (c) um n´umero infinito de objetos; (d) objetos concretos e objetos abstratos; (e) outras sequˆencias. Uma diferen¸ca essencial entre a maneira como a palavra “sequˆencia” ´e empregada em Matem´atica e como ela ´e usada no dia-a-dia ´e a seguinte:
Em Matem´atica, quando nos referimos a sequˆencias (alinhamentos, fileiras, listas, ordena¸c˜oes, etc) de objetos, estamos assumindo os seguintes aspectos:
- todas as sequˆencias em quest˜ao s˜ao formados com objetos tomados em um conjunto maior, que chamamos de conjunto universo;
- o conjunto universo a partir do qual as sequˆencias s˜ao formados nem sempre ´e explicitamente caracterizado, mas est´a fixo, no contexto;
- a ordem dos objetos nas sequˆencias ´e relevante;
- a repeti¸c˜ao dos objetos nas sequˆencias ´e relevante.
Assim, reservamos a no¸c˜ao de conjunto para lidar com situa¸c˜oes nas quais a repeti¸c˜ao e a ordem dos objetos n˜ao s˜ao consideradas como relevantes, enquanto que empregamos a no¸c˜ao de sequˆencia para lidar com situa¸c˜oes nas quais a repeti¸c˜ao e a ordem dos objetos s˜ao consideradas como relevantes.
1.1 Observa¸c˜ao
Observa¸c˜ao 1 Nunca ´e demais enfatizar que as conven¸c˜oes sobre as defini¸c˜oes de conjuntos e sequˆencias por listagem devem ser estritamente observadas. Em Ma- tem´atica, conjuntos e sequˆencias n˜ao podem ser definidos por listagem de nenhuma outra maneira que n˜ao as aqui consideradas: conjuntos usam chaves e sequˆencias usam parˆenteses.
1.2 Exerc´ıcio resolvido
Exerc´ıcio 1 Para cada conceito especificado abaixo, determine se ´e melhor classi- fic´a-lo como conjunto ou sequˆencia, no contexto dado:
(i) Grupo de amigos em uma festa. (ii) Trˆes atletas no p´odio para receberem as medalhas de ouro, prata e bronze. (iii) Pessoas escolhidas em um grupo para formar uma comiss˜ao. (iv) Pessoas formando uma fila. (v) Pares de alunos em uma aula de dan¸ca de sal˜ao.
Antes de ler a resolu¸c˜ao, tente resolver o exerc´ıcio usando os con- ceitos estudados.
Resolu¸c˜ao do Exerc´ıcio 1 : (i) Melhor como conjunto, pois n˜ao est´a especificada nenhuma hierarquia entre os amigos na festa. (ii) Melhor como sequˆencia, pois h´a uma hierarquia entre os atletas que recebem medalhas. (iii) Melhor como conjunto, pois n˜ao est´a especificada nenhuma hierarquia entre os membros da comiss˜ao. (iv) Melhor como sequˆencia, pois h´a uma hierarquia entre as pessoas na fila. (v) Melhor como conjunto, pois n˜ao est´a especificada nenhuma hierarquia entre os pares de alunos.
2 Igualdade
Observe que diferentemente do que acontece com os conjuntos, possuir os mesmos termos n˜ao ´e uma garantia de que duas sequˆencias sejam iguais.
Exemplo 4 As sequˆencias
(1) , (1, 1) , (1, 1 , 1) , (1, 1 , 1 , 1) , (1, 1 , 1 , 1 , 1)
s˜ao diferentes duas a duas mas, estritamente falando, possuem todas os mesmos termos: o n´umero 1. Por outro lado, todos os conjuntos
{ 1 } , { 1 , 1 } , { 1 , 1 , 1 } , { 1 , 1 , 1 , 1 } , { 1 , 1 , 1 , 1 , 1 }
s˜ao iguais, pois todos possuem apenas um elemento: o n´umero 1.
Quando tratamos de sequˆencias finitas, a rela¸c˜ao de igualdade ´e regulada pelo seguinte princ´ıpio:
Duas sequˆencias s˜ao iguais se, e somente se, tˆem o mesmo n´umero de termos, os mesmos termos, e eles est˜ao dispostos na mesma ordem.
Exemplo 5 A sequˆencia S, formada pelas letras a, b e c tomadas nesta ordem, ´e diferente da sequˆencia T , formada pelas letras c, b e a tomadas nesta ordem. De fato, para S temos: S 1 = a, S 2 = b e S 3 = c. J´a para T , temos: T 1 = c, T 2 = b e T 3 = a. Como, por exemplo, S 1 6 = T 1 , temos que S 6 = T.
2.1 Observa¸c˜ao
Observa¸c˜ao 2 Informalmente, podemos dizer que a principal distin¸c˜ao entre a igualdade de conjuntos e a igualdade de sequˆencias ´e que, enquanto dois conjun- tos que parecem muito diferentes podem, na verdade, serem iguais, para que sejam iguais duas sequˆencias devem ser, realmente, idˆenticas.
2.2 Exerc´ıcio resolvido
Exerc´ıcio 2 Seja A um conjunto tal que todas as sequˆencias formadas com elemen- tos de A possuem os mesmos termos. Qual das op¸c˜oes abaixo ´e a correta?
A = N A = {a, b} A = {a} A = ∅
Antes de ler a resolu¸c˜ao, tente resolver o exerc´ıcio usando os con- ceitos estudados.
Resolu¸c˜ao do Exerc´ıcio 2 : Como todas as sequˆencias formadas com elementos de A devem possuir os mesmos termos, A s´o pode ter um ´unico elemento. De fato, se existissem dois elementos distintos, a e b em A, ter´ıamos as sequˆencias (a) e (b), formadas com elementos de A, que possuiriam termos distintos. Assim, A = {a}.
4 Duas nota¸c˜oes alternativas
Quando n˜ao ´e conveniente listar todos os (nomes dos) termos de uma sequˆencia para especific´a-la, podemos usar duas nota¸c˜oes alternativas. A primeira, como no caso dos conjuntos, consiste em utilizar as reticˆencias... para denotar os termos que consideramos impl´ıcitos no contexto.
Exemplo 7 (a) A sequˆencia dos m´ultiplos de 2 entre 0 e 1.000, inclusive, dispostos em ordem crescente, pode ser especificada como
(0, 2 , 4 ,... , 996 , 998 , 1 .000)
Est´a subentendido que esta sequˆencia s´o possui como termos, al´em dos que est˜ao listados, os outros n´umeros naturais pares entre 4 e 996 que n˜ao est˜ao listados.
(b) A sequˆencia das letras do alfabeto da L´ıngua Portuguesa, listadas em ordem alfabetica, mas de modo que cada letra ocorre um n´umero de vezes igual ao que ela ocupa na ordem alfabetica, pode ser especificada como
(a, b, b, c, c, c, d, d, d, d,... , z)
Est´a subentendido que esta sequˆencia s´o possui como termos, al´em dos que est˜ao listados, as outras letras, listadas de modo a condi¸c˜ao acima ser satisfeita.
De uma maneira geral, usamos a seguinte nota¸c˜ao para especificar a sequˆencia finita que possui os n termos, a 1 , a 2 ,... , an, listados nesta ordem:
(a 1 , a 2 ,... , an)
Esta nota¸c˜ao n˜ao exclui o caso de um ou mais dos objetos a 1 , a 2 ,... , an estarem repetidos.
A segunda maneira de especificar uma sequˆencia sem listar (os nomes de todos os) seus termos pode ser vista como uma fus˜ao das duas maneiras usadas na especifica¸c˜ao de conjuntos sem listar todos os elementos: fazer uma lista parcial e usar uma propriedade.
Podemos definir uma sequˆencia sem listar todos os seus termos, fazendo uma lista dos seus termos iniciais e especificando um procedimento que nos permite, a partir dos termos j´a listados, obter todos os outros termos da sequˆencia.
Exemplo 8 Considerando o conjunto N dos n´umeros naturais como o universo, a sequˆencia dos 1.000 primeiros m´ultiplos de 2, dispostos em ordem crescente, pode ser especificada do seguinte modo:
- Primeiro, elaboramos uma nota¸c˜ao espec´ıfica para os termos iniciais da sequˆen- cia que queremos listar. Usualmente, uma letra min´uscula indexada pelos n´umeros que determinam a posi¸c˜ao que o termo ocupa na sequˆencia. Por exemplo, a 1 , a 2 , a 3.
- Depois, especificamos os termos iniciais da sequˆencia. Por exemplo, a 1 = 0, a 2 = 2, a 3 = 4.
- Finalmente, especificamos como obter os outros termos da sequˆencia, a partir de termos j´a listados, atrav´es de uma regra, que quando aplicada sucessiva- mente, deve gerar todos os termos que formam a sequˆencia, na ordem em que eles devem ser listados. Por exemplo, na sequˆencia em quest˜ao, a partir do termo a 3 cada termo pode ser obtido a partir do imediatamente anterior pelo acr´escimo de 2 unidades, ou seja: ai = ai− 1 + 2, para 3 < i ≤ 1. 000.
Assim, calculamos:
a 4 = a 4 − 1 + 2 = a 3 + 2 = 4 + 2 = 6 a 5 = a 5 − 1 + 2 = a 4 + 2 = 6 + 2 = 8 a 6 = a 6 − 1 + 2 = a 5 + 2 = 8 + 2 = 10 .. .
at´e obtermos o valor de a 1. 000.
Observe como fizemos uma lista inicial com os termos 0, 2 e 4 e, depois, apresen- tamos o enunciado ai = ai− 1 + 2, que especifica como podemos calcular todos os outros termos da sequˆencia.
Esta forma de definir uma sequˆencia ´e chamada defini¸c˜ao por recurs˜ao ou defini¸c˜ao recursiva da sequˆencia.
Analogamente a defini¸c˜ao de conjuntos por meio de propriedades, uma mesma sequˆencia pode ser definida por recurs˜ao de v´arias maneiras.
4.2 Exerc´ıcio resolvido
Exerc´ıcio 3 Uma das sequˆencias mais famosas da Matem´atica ´e a sequˆencia de Fibonacci, que aparece — de maneira natural — nos mais variados contextos e possui uma imensa gama de aplica¸c˜oes. A sequˆencia de Fibonacci ´e definida recursivamente do seguinte modo:
F 1 = 1 F 2 = 1 Fn = Fn− 1 + Fn− 2 para 3 ≤ n
Determine os 10 primeiros termos da sequˆencia de Fibonacci, ou seja, determine F 1 , F 2 , F 3 ,... , F 10.
Antes de ler a resolu¸c˜ao, tente resolver o exerc´ıcio usando os con- ceitos estudados.
Resolu¸c˜ao do Exerc´ıcio 3 : Observe que, de acordo com a defini¸c˜ao recursiva, os dois primeiros termos da sequˆencia s˜ao dados; e que a partir do terceiro, cada termo ´e a soma dos dois termos anteriores. Assim, temos: F 1 = 1, F 2 = 1, F 3 = F 1 + F 2 = 1 + 1 = 2, F 4 = F 2 + F 3 = 1 + 2 = 3, F 5 = F 3 + F 4 = 2 + 3 = 5, F 6 = F 4 + F 5 = 3 + 5 = 8, F 7 = F 5 + F 6 = 5 + 8 = 13, F 8 = F 6 + F 7 = 8 + 13 = 21, F 9 = F 7 + F 8 = 13 + 21 = 34, F 10 = F 8 + F 9 = 21 + 34 = 55.
5 Produto cartesiano
Dados dois objetos quaiquer, a e b, podemos formar o conjunto
{a, b}
cujos ´unicos elementos s˜ao a e b. Observe que se estes objetos s˜ao idˆenticos, ou seja, se a = b, ent˜ao todos os conjuntos {a} , {b} , {a, b} , {b, a}
s˜ao iguais. Por´em, se estes objetos s˜ao distintos, ou seja, se a 6 = b, o conjunto {a, b} ´e diferente dos conjuntos {a} , {b}
mas ´e igual ao conjunto {b, a} Agora, se queremos formar a partir de a e b um novo objeto do qual “podemos extrair” a e b, mas no qual a ordem em que a e b ocorrem ´e importante, devemos recorrer a no¸c˜ao de sequˆencia e n˜ao a de conjunto.
Sejam A e B conjuntos, a um elemento de A e b um elemento de B.
O par ordenado ab ´e a sequˆencia
(a, b)
cujo primeiro termo ´e a e cujo segundo termo ´e b.
Decorre da no¸c˜ao de igualdade entre sequˆencias que para que dois pares ordena- dos sejam iguais eles devem possuir os mesmos termos dispostos na mesma ordem:
Princ´ıpio da igualdade para pares ordenados
Sejam (a, b) e (c, d) pares ordenados.
Dizemos que (a, b) ´e igual a (c, d), simbolizado
(a, b) = (c, d)
se, e somente se, a = c e b = d.
Exemplo 10 Se temos os objetos a, b, c e d, e sabemos que (a, a) = (a, b) e que (b, b) = (c, d), podemos concluir que a = b = c = d.
Os termos de um par ordenado recebem uma denomina¸c˜ao especial:
Seja (a, b) um par ordenado.
Dizemos que a ´e a primeira coordenada de (a, b) e que b ´e a segunda coordenada de (a, b).
Exemplo 11 (a) O par ordenado (a, a) tem primeira coordenada a e segunda co- ordenada a.
(b) O par ordenado ({ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, Z) tem um conjunto finito como primeira coorde- nada e um conjunto infinito como segunda coordenada.
A partir da no¸c˜ao de par ordenado, podemos definir uma das mais importantes opera¸c˜oes entre conjuntos:
Sejam A 1 , A 2 ,... , An conjuntos.
O produto cartesiano de A 1 , A 2 ,... , An, tomados nesta ordem, ´e o conjunto de todas as sequˆencias de n termos cujo primeiro termo pertence a A 1 , cujo segundo termo pertence a A 2 ,... , cujo n-´esimo termo pertence a An. Ou seja:
A 1 × A 2 × · · · × An = {(x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ U : x 1 ∈ A 1 , x 2 ∈ A 2 ,... e xn ∈ An}
Assim, dados uma sequˆencia (x 1 , x 2 ,... , xn) e n conjuntos A 1 , A 2 ,... , An, temos:
(x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ A 1 × A 2 × · · · × An ↔ x 1 ∈ A 1 ∧ x 2 ∈ A 2 ∧ · · · ∧ xn ∈ An
5.2 Exerc´ıcios resolvidos
Exerc´ıcio 4 Considere os conjuntos A = { 1 , 2 , 5 , 7 }, B = { 1 , 3 , 4 }, C = { 2 , 3 , 9 } e D = { 1 , 3 , 7 }. Determine os seguintes conjuntos:
(i) (A × B) − (C × D) (ii) (A − B) × (D − C) (iii) [(B ∪ C) ∩ D] × (A − D)
Exerc´ıcio 5 Se A × B = {(a, a)}, o que podemos concluir sobre A e B?
Antes de ler a resolu¸c˜ao, tente resolver o exerc´ıcio usando os con- ceitos estudados.
Resolu¸c˜ao do Exerc´ıcio 4 : (i) Temos que A × B = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (7, 1), (7, 3), (7, 4)}. E que C × D = {(2, 1), (2, 3), (2, 7), (3, 1), (3, 3), (3, 7), (9, 1), (9, 3), (9, 7)}. Assim, (A×B)−(C×D) = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (7, 1), (7, 3), (7, 4)}. (ii) Temos que A − B = { 2 , 5 , 7 }. E que D − C = { 1 , 7 }. Assim, (A − B) × (D − C) = {(2, 1), (2, 7), (5, 1), (5, 7), (7, 1), (7, 7)}. (iii) Temos que B ∪C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 9 }. Assim, (B ∪C)∩D = { 1 , 3 }. Al´em disso, A − D = { 2 , 5 }. Logo, [(B ∪ C) ∩ D] × (A − D) = {(1, 2), (1, 5), (3, 2), (3, 5)}. Resolu¸c˜ao do Exerc´ıcio 5 : Temos que a ´e o ´unico elemento de A e de B, ou seja, A = B = {a}.
© c 2016 M´arcia Cerioli e Petrucio Viana Coordena¸c˜ao da Disciplina MD/CEDERJ-UAB
Atualizado em 29 de mar¸co de 2016.
