Baixe Limites de sequências e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity!
C´alculo I
Prof. Cleon Barroso
March 23, 2009
1 Introdu¸c˜ao
O objetivo desse texto ´e reunir num s´o ”local” as notas de um curso de c´alculo. Em uma forma preliminar, gostar´ıamos de iniciar revisando as seguintes propriedades concernentes a estrutura alg´ebrico-anal´ıtica do conjunto dos n´umeros reais. Tais propriedades fazem dos reais R um corpo ordenado:
Adi¸c˜ao. A opera¸c˜ao adi¸c˜ao em R goza das seguintes propriedades:
A.1. (Comutatividade) x + y = y + x, para todo x, y ∈ R.
A.2. (Elemento neutro) x + 0 = x, para todo x ∈ R.
A.3. (Associatividade) x + (y + z) = (x + y) + z, para quaisquer x, y, z ∈ R.
A.4. (Inverso Aditivo) x + (−x) = 0, para qualquer x ∈ R.
Produto. A opera¸c˜ao produto em R goza das seguintes propriedades:
P.1. (Comutatividade) x · y = y · x
P.2. (Associatividade) x.(y.z) = (x.y).z
P.3. (Distributividade) x.(y + z) = x.y + x.z
P.4. (Elemento neutro) x.1 = x
P.5. (Inverso multiplicativo) x. 1 x
= 1, para qualquer x 6 = 0.
P.6. Se x ≥ 0 e y ≤ z, ent˜ao x.y ≤ x.z.
2 Seq¨uˆencias de N´umeros Reais
Uma seq¨uˆencia de n´umeros reais ´e uma fun¸c˜ao x : N → R.
Example 2.1 Vejamos alguns exemplos:
- Seq¨uˆencia natural ´e a fun¸c˜ao x : N → R definida por x(n) = n.
- Seq¨uˆencia harmˆonica ´e a fun¸c˜ao x : N → R definida por x(n) = 1/n.
- Seq¨uˆencia geom´etrica ´e a fun¸c˜ao x : N → R dada por x(n) = an, em que a > 0.
- Sequ¨uˆencia constante ´e t˜ao somente uma fun¸c˜ao constante dos naturais N nos reais R.
2.1 Nota¸c˜oes Simb´olicas
A imagem x(n) de um natural n por uma seq¨uˆencia x : N → R ´e representada por xn. Neste caso, xn ´e chamado o n-´esimo termo de x. Com as simbologias
x = (xn) = (xn)n∈N = (x 1 , x 2 ,... , xn,... )
fica subentendido que trata-se de uma seq¨uˆencia de n´umeros naturais. No caso em que x : N → R ´e uma fun¸c˜ao injetiva, dizemos que os termos x′ ns da seq¨uˆencia s˜ao dois a dois distintos.
2.2 Subseq¨uˆencias
Dada uma seq¨uˆencia x = (xn) de n´umeros reais, uma subseq¨uˆencia de (xn) ´e a restri¸c˜ao da fun¸c˜ao x a um subconjunto infinito N∗^ dos naturais N. Percebe-se ent˜ao que uma subseq¨uˆencia ´e uma nova seq¨uˆencia cujos termos foram selecionados da seq¨uˆencia anterior.
Example 2.2 Vejamos alguns exemplos:
- Seja x = (xn) a seq¨uˆencia natural. Restringindo x ao conjuntos dos naturais pares, (ou seja, ao conjunto N∗^ = { 2 , 4 , 6 ,... } = { 2 k : k ≥ 1 }), obtemos a subseq¨uˆencia (x 2 k)k∈N = (2k)k∈N.
- Seja x = (xn) tal que xn =
n. Observe que cada termo dessa seq¨uˆencia tem a ”tarefa” de calcular a raiz quadrada do respectivo ´ındice. Al´em disso, vˆe-se que (
2 n − 1) define uma subseq¨uˆencia de (xn). No caso, o conjunto N∗^ ´e o conjunto dos n´umeros ´ımpares.
2.5 Seq¨uˆencias Limitadas
Uma seq¨uˆencia (xn) ´e dita ser limitada (em R) quando existir um n´umero positivo M > 0 tal que: |xn| ≤ M, ∀n ∈ N. (2)
Do contr´ario, dizemos que (xn) ´e ilimitada. Em analogia com a inequa¸c˜ao (1), podemos resolver a inequa¸c˜ao |Z| ≤ M,
para concluir que uma seq¨uˆencia ´e limitada se for poss´ıvel determinar um intervalo fechado [−M, M ] que contenha todos os termos xn. O teorema a seguir ´e extrema importˆancia para o c´alculo e tem haver com a estrutura arquimediana do conjunto dos n´umeros naturais.
Theorem 2.2 A seq¨uˆencia natural (n) = (1, 2 , 3 ,... ) ´e ilimitada. Ou seja, n˜ao existe n´umero positivo M tal que
n ∈ [−M, M ], ∀n ∈ N.
Diferentemente do que ocorre com a seq¨uˆencia natural, a seq¨uˆencia harmˆonica ´e limitada:
Proposition 2.1 A seq¨uˆencia harmˆonica ´e limitada.
Demonstra¸c˜ao. Considere a seq¨uˆencia harmˆonica (1/n). Sabemos que cada termo 1 /n ´e positivo. Por outro lado, sendo o denominador n um n´umero natural, vemos que n ≥ 1 ,
donde podemos multiplicar em ambos os lados dessa desigualdade pela fra¸c˜ao^1 n e concluir que 1 n
· n ≥ 1 n
o que implica dizer que
1 ≥
n , ou equivalentemente, 1/n ≤ 1. Desta forma, cada termo de (1/n) pertence ao intervalo [− 1 , 1]. Isso prova o resultado. §
3 Limites de Seq¨uˆencias
Um dos objetivos prim´arios no estudo de seq¨uˆencias consiste em analisar o comporta- mento de seus termos. At´e aqui aprendemos ao menos dois crit´erios que possibilitam alguma an´alise nesse sentido, a saber, quando uma seq¨uˆencia ´e mon´otona e quando ela ´e limitada. Nesta se¸c˜ao, estamos interessados em saber quando os termos de uma seq¨ueˆencia se aglomeram em torno de um n´umero real.
Definition 3.1 Dada uma seq¨uˆencia (xn), dizemos que um n´umero L ∈ R ´e o limite de (xn) quando n tende ao infinito se, sempre que for escolhido um intervalo centrado em L, digamos (L − ≤, L + ≤), existirem infinitos termos dentro desse intervalo e no m´aximo uma quantidade finita fora dele.
Em termos simb´olicos, isso se trasuz na seguinte senten¸ca matem´atica:
Para todo ≤ > 0 , Existe um ´ındice n≤ ∈ N tal que |xn − L| < ≤, Sempre que n > n≤.
Simbologia 3.1 Usamos a nota¸c˜ao:
n^ lim→∞ xn^ =^ L,
para indicar que L ´e o limte de xn quando n tende ao infinito. No caso, ´e comum dizermos tamb´em que a seq¨uˆencia (xn) ´e convergente e converge para o n´umero L.
Questionamentos b´asicos. A partir de agora, os seguintes questionamentos ade- speito de uma seq¨uˆencia (xn) s˜ao pertinentes:
Q.1. (xn) ´e limitada?
Q.2. (xn) ´e Mon´otona?
Q.3. (xn) ´e convergente?
Q.4. Se (xn) converge, ent˜ao qual o seu limite?
A seguir daremos uma primeira ilustra¸c˜ao de um fato intuitivamente aceit´avel.
Proposition 3.
n^ lim→∞^1 n
3.2 Limite da Seq¨uˆencia Geom´etrica
A seguir, ilustraremos no segundo c´alculo de limites de seq¨uˆencias. Mais precisa- mente, provaremos o seguinte resultado:
Proposition 3.2 Se 0 < a < 1 , ent˜ao:
n^ lim→∞ an^ = 0. Demonstra¸c˜ao. Para facilitar o entendimento, a demonstra¸c˜ao ser´a feita em trˆes etapas:
Etapa 1. (an) ´e limitada. De fato, como 0 < a < 1 ent˜ao elevando a n-´esima potˆencia em ambos os lados dessa desigualdade vemos que
0 = 0n^ < an^ < 1 n^ = 1,
para todo n ≥ 1. Ent˜ao, an^ ∈ [0, 1] para todo n ≥ 1. Isso mostra que (an) ´e limitada.
Etapa 2. (an) ´e mon´otona decrescente. Com efeito, segue-se que se multiplicarmos por a em ambos os lados de 0 < a < 1 ,
obtemos 0 = 0 · a < a · a < 1 · a, ou seja, 0 < a^2 < a. Assim, o segundo termo de (an) ´e estritamente menor que o primeiro. Semelhantemente, se multiplicarmos por a em ambos os lados da desigualdade a^2 < a vemos que a^2 · a < a · a, o que implica
0 < a^3 < a^2 < a.
Portanto, o terceiro termo ´e estritamente menor que o segundo. Por indu¸c˜ao em n, segue-se que an+1^ < an^ para todo n ≥ 1. Isso prova que (an) ´e mon´otonoa decrescente.
Etapa 3. Como (an) ´e mon´otona e limitada, segue-se que (an) ´e convergente, dig- amos limn→∞ an^ = L, veja Teorema 3.2. A etapa 3 da demonstra¸c˜ao consistem em mostrar que L = 0. Isso ocorre de fato. Com efeito, sendo (a^2 n) uma subseq¨uˆencia de (an), sabemos do teorema fundamental (Teorema 3.2) que
nlim→∞ a^2 n^ =^ L. Por outro lado, usando as propriedade operacionais de limtes vemos que:
L^2 = L · L = lim n→∞ an^ · (^) nlim→∞ an^ = lim n→∞
an^ · an
= lim n→∞ a^2 n^ = L.
Como a seq¨uˆencia (an) ´e decrescente, o limite L n˜ao pode ser igual a 1. Portanto, L = 0.
