Semin´ario-I- Fundamentos de probabilidades
F´abio Andr´e De Oliveira Louren¸co
28 de dezembro de 2022
1 Experiˆencia aleat´oria
Dizemos que uma experiˆencia ´e aleat´oria se verifica
as seguintes propriedades:
•Todos os resultados s˜ao conhecidos previa-
mente
•A experiˆencia pode ser repetida sob condi¸c˜oes
idˆenticas
•O resuldado (da sua realiza¸c˜ao) ´e incerto, ou
seja, n˜ao ´e conhecido `a priori
Algumas considera¸c˜oes:
•A incerteza da experiˆencia ´e o ob jeto do estudo;
•A cada experiˆencia ´e associado um conjunto Ω,
que se define pelo conjunto de todos os resul-
tados possiveis da experiˆencia;
•Aos seus elementos, chamamos de aconteci-
mentos elementares;
2 Algebra dos acontecimentos
A titulo de motiva¸c˜ao, convido o leitor a refletir
sobre a seguinte pergunta:
•Quais os subconjuntos de Ω, ´e que p odem ser
considerados acontecimentos?
Ora bem, para a judar na an´alise, vamos supor
que existe uma moeda (equilibrada), com as fa-
ces {♠,♣}. Considerando a experiˆencia aleat´oria:
”Lan¸car a moeda e resgistar a sua face”.
Podemos a cada acontecimento associar um subcon-
junto de Ω, por ex:
•{♠,♣}:= Sai ♠ou sai ♣
•{♠}:= Sai ♠
•{♣}:=Sai ♣
•{∅}:= Sai ♠e sai ♣
Os acontecimentos que acab´amos de definir s˜ao sub-
conjuntos de Ω, vamos ver que, cada um destes
subconjuntos em particular, pertence a uma classe
muito especial, designada por σ−algebra.
2.1 σ−algebra
O conjunto (ou classe) A´e uma σ−algebra sobre
Ω, se s˜ao verificadas as seguintes propriedades:
1. Ω ∈ A
2. b∈ A ⇒ ¯
b∈ A
3. b1, b2,· · · , bn∈ A ⇒ Sn
i=1 bi∈ A
Estamos a considerar que os acontecimentos s˜ao
finitos ou infinitos numer´aveis. Nestas condi¸c˜oes
dizemos que A=P(Ω) ´e o espa¸co dos aconteci-
mentos sobre Ω.
Exerc´ıcio:
Mostre que o conjunto
B:= {{♠} ,{♠,♣} ,{♣} ,{∅}}, ´e uma σ−algebra
sobre Ω := {♠,♣}.
2.2 Espa¸co amostral
Chama-se espa¸co de amostra ou espa¸co amostral `a
dupla (Ω,A).´
E importante sublinhar que:
•∀b∈A, ´e um acontecimento;
•O espa¸co de amostra ´e discreto, quando Ω
cont´em um nºf inito ou inf inito de casos
numer´aveis;
No exemplo de h´a pouco,o espa¸co de
amostra continha um nºfinito de casos.
O nºde lan¸camentos at´e obter ♣:Estaria-
mos neste caso, perante um espa¸co de amostra que
continha um nºinfinito de casos numer´aveis, j´a
que o espa¸co de resultados seria todo o conjunto
{0,1,2,3,4,· · ·}.
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